(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.

7、几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；

(3)ab≤2(a，b∈R)；

(4) 2≤(a，b∈R)．

8、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

9、利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小)．

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

考点1：不等式的性质及应用

1、已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是(　D　)

A．ad>bc             B．ac>bd                  C．a－c>b－d     D．a＋c>b＋d

2、若<<0，则下列结论不正确的是(　D　)

A．a2|a＋b|

3、设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的(　A　) 

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分又不必要条件

解析：因为a＋－＝，若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．

4、若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是(　B　)

A.            B.               C.    D.

解析：∵－ <β<π，∴－π<－β<，∴－ <α－β<.又∵α<β，∴α－β<0，从而－<α－β<0.

考点2：一元二次不等式

1、解下列不等式：

(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(a＋1)x＋a<0.

解析：　(1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}.

(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，

当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a<1时，原不等式的解集为(a,1).

2、已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　B　)

A．{x|2解析：∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，∴解得则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.

3、已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为(　A　)

A．[－1,1]                       B．[－2,2]         C．[－2,1]         D．[－1,2]

解析：法一：当x≤0时，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①

当x>0时，－x＋2≥x2，∴0由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．

法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，

由图知f(x)≥x2的解集为[－1,1]．

4、不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________. 

解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，

当a≠2时，则有即∴－2综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．

5、若集合A＝＝∅，则实数a的值的集合是(　D　) 

A．{a|0解析：由题意知a＝0时，满足条件，a≠0时，由得0考点3：二元一次不等式(组)和线性规划

1、已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　B　)

A．(－24,7)　    B．(－7,24)      C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)      D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

2、　不等式组表示的平面区域的面积为__________．

解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由得

∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．

直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4,0)．因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4.

3、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)

A．a<5           B．a≥7               C．5≤a<7    D．a<5或a≥7

解析：如图，

当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.

4、设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为__________．

解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax＝3×2－2＝4.

5、已知实数x，y满足且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________．

解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.

6、若变量x，y满足约束条件则z＝的取值范围是__________．

解析：作出不等式组所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，

其中点A(1,1)，B(－1，－1)，C.z＝表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化简得－1≤z≤.

7、已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是(　　)

A．－　　　    B．1         C．2    D．5

解析：作出可行域，如图所示的阴影部分．

∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.

8、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)

解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.选D。

考点4：基本不等式

1、（直接法）求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋                         （2）y＝x＋

解：(1)y＝3x 2＋≥2＝∴值域为[，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；

当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2  ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

2、（配凑法）已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　)

A．－1　　　　 B．0                         C．1    D．2

解析：由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．选C。

3、（间接法）（1）已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；

解析　∵x>0，y>0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号

（2）已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)

A．10                B．9                C．8    D．7

解析：∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.

（3）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．

解析：(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.

（4）当x>0时，则f(x)＝的最大值为________.

解析：∵x>0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.

4、（证明问题）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

(1)＋＋≥8；         (2) ≥9.

证明：(1)＋＋＝2，∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).

(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，

∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，

∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).

法二： ＝1＋＋＋，由(1)知，＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9.

1、若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A.＞　　　　　　B.＜          C.＞            D.＜

【解析】 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd，∴－＞，∴＜.故选D.

2、设a＝log0.22，b＝log0.23，c＝20.2，d＝0.22，则这四个数的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c＜d             B．d＜c＜a＜b  C．b＜a＜c＜d             D．b＜a＜d＜c

【解析】 由指数函数和对数函数的性质得log0.23＜log0.22＜0＜0.22＜1＜20.2，所以选D.

3、“x1＞3且x2＞3”是“x1＋x2＞6且x1x2＞9”的(　　)

A．充分不必要条件            B．必要不充分条件

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

【解析】 x1＞3，x2＞3⇒x1＋x2＞6，x1x2＞9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20.【答案】 A

4、下列命题中，正确的是(　　)

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd             B．若ac＞bc，则a＞b

C．若＜，则a＜b                    D．若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d

【解析】 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c＜0时，ac＞bc⇒a＜b，∴B错误；∵＜，∴c≠0，又c2＞0，∴a＜b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．【答案】 C

5、 若不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为，则的值为(　A　)

A.                        B.                  C．－                    D．－

【解析】 由题意得ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，∴－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.

6、若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式＞0的解集为(　　)

A．(－2，0)∪(1，＋∞)          B．(－∞，0)∪(1，2)

C．(－∞，－2)∪(0，1)          D．(－∞，1)∪(2，＋∞)

【解析】 关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，∴a＜0，＝－2，∴b＝－2a，∴＝.∵a＜0，∴＜0，解得x＜0或1＜x＜2.故选B.

7、直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)

A．0个　　　　　　　　　B．1个            C．2个                        D．无数个

【解析】 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5，0)，且其斜率k＝－2＜kAB＝－，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5，0)．【答案】 B

8、已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．3                   B．－3                     C．1                D.

【解析】 作出可行域，如图所示的阴影部分，当直线z＝2x＋y过点A(2，－1)时，z最大，是3，故选A.

9、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙种产品要用A原料1吨，B原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A原料不能超过10吨，B原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x，y的可行域用阴影部分表示正确的是(　　)

【解析】 由题可知故选A.

10、已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　A　)

A.                      B.                        C．1                     D．2

【解析】 如图所示，目标函数z＝2x＋y在点(1，－2a)处取得最小值，2×1－2a＝1，解得a＝.

11、已知实数x，y满足约束条件，则ω＝的最小值是(　　)

A．－2                          B．2                C．－1                           D．1

【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图，

ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，

由图象可知当P位于点D(1，0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.故选D.

12、已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是(　　)

A.                B．[0，5]            C.                D.

【解析】 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×－2×－1≤z＜2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是.【答案】 D

13、已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为(　　)

A.                B．2             C.                 D．1

【解析】 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x－4y－13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x－4y－13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x－4y－13＝0的距离等于＝2，即点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为2.【答案】 B

14、已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　A　)

A．8                     B．4              C．2                     D．0

【解析】 由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x＞0，y＞0.∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.

15、已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则＋的最小值为(　C　)

A.                     B．2            C.                      D．3

【解析】 由题意知，x＋2＞0，y＋1＞0，(x＋2)＋(y＋1)＝4，则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]＝≥＝，当且仅当x＝，y＝时，＋取最小值.

16、若直线2ax＋by－2＝0(a、b∈R)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是(　　)

A．1                B．5             C．4     D．3＋2

[解析]　直线平分圆，则必过圆心．圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝11.∴圆心C(1,2)在直线上⇒2a＋2b－2＝0⇒a＋b＝1.∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2，故选D．

17、若对任意正实数a，不等式x2＜1＋a恒成立，则实数x的最小值为________．

【解析】 ∵a是正实数，∴1＋a＞1，∴不等式x2＜1＋a恒成立等价于x2≤1，解得－1≤x≤1，∴实数x的最小值为－1。

18、函数f(x)＝x＋(x＞2)的最小值为________．

【解析】 ∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x＝2＝1，即x＝3时取等号．∴函数f(x)的最小值为f(3)＝4.

19、已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.

(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求＋的最小值．

【解析】 (1)∵x＞0，y＞0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.

∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．

因此有解得此时xy有最大值10.

∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.

(2)∵x＞0，y＞0，∴＋＝·＝≥＝，

当且仅当＝时，等号成立．