代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。在中学所学的初等代数中，字母仅用来表示数。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时，还研究次数更高的一元方程及多元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。

线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中，字母的含义也推广了，它不仅用来表示数，也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说，线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上，更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。

行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)。1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则)。17年，法国数学家贝佐特(Bezout)把确定行列式每一项的符号的.

相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日(Lagrange)在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日乘数法。为了判定多元函数的最大、最小值，他首先需要一阶偏导数为0，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负定二次型及正、负定矩阵的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。1848年英格兰数学家西尔维斯特(Sylvester)首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855年英国数学家凯莱(Cayley)建立了矩阵运算的规则。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。

高斯(Gauss)大约在1800年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。(这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。)虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在两千多年前我国的数学名著《九章算术》中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯-约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的法国数学家约当(Camille Jordan)误认为是“高斯-约当”消去法中的约当。

向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义， 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度、散度、旋度就更有说服力。第一个涉及一个不可交换向量积(即v×w不等于w×v)的向量代数是1844年由德国数学家格拉斯曼(Grassmann)在他的《线性扩张论》一书中提出的。在这部名著中，他引入了欧几里得n维空间概念，研究了点、直线、平面、两点间距离等概念，并把这些概念推广到n维空间。在19世纪末美国数学物理学家吉布斯(Gibbs)发表了关于《向量分析基础》的著名论述。其后英国物理学家迪拉克(Dirac)提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。

线性代数的主要理论成熟于十九世纪。由于代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，再综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基

参考文献

【1】 上海交通大学数学系线性代数（第二版）科学教育出版社 P1-190下载本文