1．1毕业设计课题——挡土墙的概述
公路挡土墙是用来支承路基填土或山坡土体，防止填土或土体变形失稳的一种构造物。在路基工程中，挡土墙可用以稳定路堤和路堑边坡，减少土石方工程量和占地面积，防止水流冲刷路基，并经常用于整治坍方、滑坡等路基病害。在山区公路中，挡土墙的应用更为广泛。
路基在遇到下列情况时可考虑修建挡土墙：
（1）陡坡地段；
（2）岩石风化的路堑边坡地段；
（3）为避免大量挖方及降低边坡高度的路堑地段；
（4）可能产生塌方、滑坡的不良地质地段；
（5）高填方地段；
（6）水流冲刷严重或长期受水浸泡的沿河路基地段；
（7）为节约用地、减少拆迁或少占农田的地段。
在考虑挡土墙的设计方案时，应与其他方案进行技术经济比较。例如，采用路堤或路肩挡土墙时，常与栈桥或填方等进行方案比较；采用路堑或山坡挡土墙时，常与隧道、明洞或刷缓边坡等方案进行比较，以求工程技术经济合理。
1．2挡土墙的类型及适用条件
挡土墙类型的划分方法较多，一般以挡土墙的结构形式分类为主，常见的挡土墙形式有：重力式、衡重式、悬臂式、扶壁式、加筋土式、锚杆式和锚定板式。各类挡土墙的适用范围取决于墙址地形、工程地质、水文地质、建筑材料、墙的用途、施工方法、技术经济条件及当地的经济等因素。
1．2．1重力式挡土墙
重力式挡土墙一般由块石或混凝土材料砌筑。重力式挡土墙是靠墙身自重保证墙身稳定的，因此，墙身截面较大，适用于小型工程，通常墙高小于8米，但结构简单，施工方便，能就地取材，因此广泛应用于实际工程中。
1．2．2悬臂式挡土墙
当地基土质较差或缺少石料而墙又较高时，通常采用悬臂式挡土墙，一般设计成L型，由钢筋混凝土建造，墙的稳定性主要依靠墙踵悬臂以上土重来维持。墙体内设置钢筋以承受拉应力，故墙身截面较小。
1．2．3扶壁式挡土墙
由墙面板、墙趾板、墙踵板和扶肋组成，即沿悬臂式挡土墙的墙长方向，每隔一定距离增设一道扶肋，把墙面板和墙踵板连接起来。适用于缺乏石料的地区或地基承载力较差的地段。当墙高较高时，比悬臂式挡土墙更为经济。
1．2．4锚定板及锚杆式挡土墙
锚定板挡土墙是由预制的钢筋混凝土立柱、墙面、钢拉杆和埋置在填土中的锚定板在现场拼装而成，依靠填土与结构的相互作用力维持其自身稳定。与重力式挡土墙相比，具有结构轻、柔性大、工程量少、造价低、施工方便等优点，特别适合用于地基承载力不大的地区。设计时，为了维持锚定板挡土墙结构的内力平衡，必须保证锚定板结构周围的整体稳定和土的摩阻力大于由土自重和荷载产生的土压力。锚杆式挡土墙是利用嵌入坚实岩层的灌浆锚杆作为拉杆的一种挡土结构。
1．2．5加筋土挡土墙
由墙面板、拉筋和填土三部分组成，借助于拉筋于填土间的摩擦作用，把土的侧压力传给拉筋，从而稳定土体。即是柔性结构，可承受地基较大的变形；又是重力式结构，可承受荷载的冲击、振动作用。施工简便、外形美观、占地面积小、而且对地基的适应性强。适用于缺乏石料的地区和大型填方工程。
1．2．6 土钉墙
土钉墙是有面板、土钉与边坡相互作用形成的支挡结构。它适用于一般地区土质及破碎软岩质地段，也可置于桩板挡土墙之间支挡岩土以保证边坡稳定。
土钉墙面层为喷射混凝土中间夹钢筋网，土钉要和面板有效连接，外端设钢垫板或加强钢筋通过螺丝端杆锚具或焊接进行连接。
1．3 设计给定的工程地质条件
图1 地形地质条件图
设计资料：黄土覆盖厚度 3.0m-6.0m
黄土性质：含水率 9%-14% 重度 =13.6-15.7
红层软岩风化物：呈碎砾状，其中夹杂沙砾约35%
松散，含水率估计 5%-8%，重度=18.2-19.3，粘聚力C=0。内摩擦角=31度。墙背填土的重度为14.2,墙背摩擦角取为8度，基底摩擦系数为0.5,碎石土承载力标准值等于800 kPa。挡土墙使用材料浆砌块石的容重24，钢筋混凝土的容重为25。
1．4支挡结构的方案设计
该路基支挡工程的总体方案是：在保证工程质量的前提下，尽可能地优化方案，节约支挡结构的造价，降低施工难度，加快施工进程。综合分析考虑建筑场地的地理地质条件及工程特性，确定最为经济合理的挡土墙形式有重力式挡土墙和扶壁式挡土墙两种。为了确保设计的节约经济，科学合理，将对这两种挡土墙形都进行设计计算，确定其结构形式，以及所用材料、截面尺寸、配筋等，然后进行造价工程量的比较分析，最终确定一种最佳方案作为施工设计。
1．5 墙后回填土的选择
根据土压力理论分析可知，不同的土质对应的土压力是不同的。挡土墙设计中希望土压力越小越好，这样可以减小墙的断面，节省土石方量，从而降低造价。
（1）理想的回填土。卵石、砾砂、粗砂、中砂的内摩擦角较大，主动土压力系数小，则作用在挡土墙上的土压力就小，从而节省工程量，保持稳定性。因此上述粗颗粒土为挡土墙后理想的回填土。本设计采用此类型的填土，且回填土粘聚力等于零，墙后填土分层夯实，以提高填土质量。
（2）可用的回填土。细砂、粉砂、含水量接近最佳含水量的的粉土、粉质粘土和低塑性粘土为可用的回填土，如当地无粗颗粒，外运不经济。
（3）不宜采用的回填土。凡软粘土、成块的硬粘土、 膨胀土和耕植土，因性质不稳定，在冬季冰冻时或雨季吸水膨胀将产生额外的土压力，导致墙体外移，甚至失去稳定，故不能用作墙的回填土。
第二章 公路挡土墙设计
2．1 边坡稳定性分析
为了准确把握拟建挡土墙后土体的稳定性及土压力情况，首先要对边坡进行稳定性分析。
由设计给定的工程地质条件可知，拟建的挡土墙后土体为松散的碎砾石土，其粘聚力为零，即该土坡为无粘性土土坡，必须按照无粘性土土坡的稳定性分析方法进行分析。
无粘性土形成的土坡，产生滑坡时其滑动面近似于平面，常用直线滑动面分析土坡的稳定性。均质的无粘性土坡颗粒间无粘聚力，只要坡面上的土体能保持稳定，那么整个土坡便是稳定的。
土坡的稳定性用土坡稳定安全系数来表示，抗剪力与抗切拉之比即为土坡稳定安全系数：
K=
根据规范，边坡工程等级为二级的土坡，采用直线式滑动法分析的土坡，安全稳定系数K取1.30，故该土坡的稳定坡角可以求出：
其中 为土坡的安全稳定坡角。
显然，所得的稳定坡角较小，与实际条件中约为60度的边坡相距甚大，因此该土坡是不稳定的，为了得到一个稳定的土坡，若不采取挡墙支护，则需要放缓坡，而实际的工程地质条件给定的坡高较高，放缓坡所需要的挖方量巨大，明显不经济，所以放缓坡不合适，必须采取挡墙支护。
2．2 重力式挡土墙的设计
重力式挡土墙是以墙身自重来维持挡土墙在土压力作用下的稳定，它是我国目前最常用的一种挡土墙形式。重力式挡土墙多用浆砌片石砌筑，缺乏石料地区有时可用混凝土预制块作为砌体，也可直接用混凝土浇筑，一般不配钢筋，或只在局部范围配置少量钢筋，这种挡土墙形式简单，施工方便，可就地取材，适用性强，因而应用广泛。
由已知设计资料和工程地质条件，所设的重力式挡土墙墙高9米，顶宽1米，底宽5米，选择浆砌块石砌筑，墙背垂直，如图2-1所示。
图2-1 重力式挡土墙的截面尺寸图
2．2．1土压力计算
墙体自重W =
根据拟建挡土墙的条件浆砌块石，查得墙背摩擦角为，此处取，墙后填土倾斜，=25， 则查表可知主动土压力系数Ka=0.46,墙后填土选择为黄土，容重为13.6~15.7kN/m,取为14.2 kN/m。所以
土压力的竖向分力：
土压力的水平分力：
2．2．2抗滑移稳定性验算
2．2．3抗倾覆稳定性验算
求出作用在挡土墙上诸力对墙趾O点的力臂：
自重W的力臂：
将挡墙的截面分为一个矩形和一个三角形分别计算自重：
如图所示，得各自力臂：
Eay的力臂：b=5.0m
Eax的力臂：h=3.0m
应用公式可得抗倾覆稳定安全系数：
2．2．4地基承载力验算
①作用在基础底面上总的竖向力：
N=W+Eay=8+90.5=738.5KN/m
②合力作用点与墙前趾O点的距离：
③偏心距：
④基底边缘力：
⑤要求满足下列公式：
由于基底为碎石土，密实状态下，基底的承载力f=800kPa.
所以〈f=800kPa
基底平均应力及最大压力均满足要求。
最终确定挡土墙的尺寸：顶宽1.0m,底宽5.0m。
2．3 扶壁式挡土墙的设计
扶壁式挡土墙的设计内容主要包括墙身构造设计、墙身截面尺寸的拟定，墙身稳定性和基底应力及合力偏心距验算、墙身配筋设计和裂缝开展宽度等。
2．3．1墙身构造设计
扶壁式挡土墙墙高不宜超过15m，一般在9—10m左右，段长度不宜大于20m，扶肋间距应根据经济性要求确定，一般为1/4—1/2墙高，每段中宜设置三个或三个以上的扶肋，扶肋厚度一般为扶肋间距的1/10—1/4，但不应该小于0.3m。采用随高度逐渐向后加厚的变截面，也可以采用等厚式，以便于施工。
墙面板宽度和墙底板的厚度与扶肋间距成正比，墙面板顶宽不得小于0.2m，可采用等厚的垂直面板。墙踵板宽一般为墙高的1/4—1/2，且不小于0.5m。墙趾板宽宜为墙高的1/20—1/5，墙底板板端厚度不小于0.3m。
如图2-1所示。
2．3．2截面尺寸拟定
根据《建筑边坡工程技术规范》及工程地质条件，此扶壁式挡土墙墙高拟定为H=10m,分段长度为20m,扶肋间距L=4m,扶肋宽度0.6m。墙面板顶宽b=300m,为了利于施工，采用等厚垂直面板，墙底板板端厚度0.4m,墙踵板宽度B1=1m。
a) b)
图2-1 扶壁式挡土墙构造（单位cm）
a) 平面图； b)横断面图
2．3．3 土压力的计算
图2-2 主动土压力计算图
其中 ，，。
如图2所示，扶壁式挡土墙墙背垂直，BC为开挖后的土坡坡面，作为第一破裂面，BC与垂直方向的夹角为25度，ADBC即为破裂棱体。这个棱体作用着三个力，即破裂棱体的自重W，主动土压力的反力Ea，破裂面的反力R。其中Ea的方向与墙背成角，由工程地质条件所给得=，且偏于阻止棱体下滑的方向。R的方向与破裂面法线成角，同样偏于阻止棱体下滑的方向。由于棱体处于平衡状态，因此力的三角形闭合。从力的三角形中可得：
式中
根据前面计算得的稳定坡角，此处的挡墙后填土坡度拟定为25度，填土的重度为,则：
其中 。
所以，算得。
主动土压力反力。
2．3．4 墙面板设计计算
1.计算模型与计算荷载
墙面板计算通常取扶肋中到扶肋中或跨中到跨中的一段为计算单元，视为固支于扶肋及墙踵板上的三向固支板，属于超静定结构，一般作简化近似计算。计算时，将其沿墙高或墙长划分为若干单位宽度的水平板条与竖向板条，假设每一个单位条上作用均布荷载，其大小为该条单位位置处的平均值，近似按支承于扶肋的连续板来计算水平板条的弯矩和剪力，按固支于墙底板上的刚架梁来计算竖向板条的弯矩。
墙面板的荷载仅考虑墙后主动土压力的水平分力，而墙自重、土压力竖向分力及被动土压力等均不考虑。
其中土压应力为：
图2-3 墙面板简化土应压力图
（ ）
（）
（）
2. 水平内力
根据墙面板计算模型，水平内力计算简图如图2-4所示。
各内力分别为：
支点负弯矩：
支点剪力：
跨中正弯矩：
边跨自由端弯矩：
其中，为扶肋间净距。
图2-4 墙面板的水平内力计算
a) 计算模型；b)荷载的作用图； c) 设计弯矩图。
墙面板承受的最大水平正弯矩及最大水平负弯矩在竖直方向上分别发生在扶肋跨中的1/2H1处和扶肋固支处的第三个H1/4处，如图2-5所示。
设计采用的弯矩值和实际弯矩值相比是安全的，如图4-c)所示。例如，对于固端梁而言，当它承受均布荷载时，其跨中弯矩应为，但是，考虑到墙面板虽然按连续梁计算，然而它们的固支程度并不充分，为安全起见，故设计值按式确定。
3．竖直弯矩
墙面板在土压力的作用下，除了上述的水平弯矩外，将同时产生沿墙高方向的竖直弯矩。其扶肋跨中的竖直弯矩沿墙高的分布如图5所示。负弯矩出现在墙杯一侧底部H1/4范围内，正弯矩出现在墙面一侧，最大值在第三个H1/4段内，其最大值可近似按下列公式计算：
竖直负弯矩：
图2-5 墙面板跨中及扶肋处的弯矩图
a)跨中弯矩 b)扶肋处弯矩
竖直正弯矩：
沿墙长方向（纵向），竖直弯矩的分布如图6所示，呈抛物线形分布。设计时，可采用中部2l/3范围内的竖直弯矩不变，两端各l/6范围内的竖直弯矩较跨中减少一半的阶梯形分布。
图2-6 墙面板竖直弯矩图
a)竖直弯矩沿墙高分布；b)竖直弯矩沿墙纵向分布
4. 扶肋外悬臂长度l’的确定
扶肋外外悬臂节长l’，可按悬臂梁的固端弯矩与设计用弯矩相等求得，即：
2．3．5墙踵板设计计算
1. 计算模型和计算荷载
墙踵板可视为支承于扶肋上的连续板，不计墙面板对它的约束，而视其为铰支。内力计算时，可将墙踵板顺墙长方向划分为若干单位宽度的水平板条，根据作用于墙踵板上的荷载，对每一个连续板条进行弯矩，剪力计算，并假定竖向荷载在每一连续板条上的最大值均匀作用在板条上。
作用在墙踵板上的力有：计算墙背间与实际墙背的土重W1；墙踵板自重W2；作用在墙踵板顶面上的土压力竖向分力W3；作用在墙踵板端部的土压力竖向分力W4；由墙趾板固端弯矩M1的作用在墙踵板上引起的等代荷载W5；以及地基反力等，如图所示。
为了简化计算，假设 W3为中心荷载，W4是悬臂端荷载Ety所引起的，实际应力呈虚线表示二次抛物线分布，简化为实线表示的三角形分布；M1引起的等代荷载的竖向应力近似地假设成图7所示的抛物线形，其重心位于距固支端5/8B3处，以其对固支端的力矩与M1相平衡，可得墙踵处的应力。
将上述荷载在墙踵板上的引起的竖向应力叠加，即可得到墙踵板的计算荷载。由于 墙面板对墙踵板的支撑约束作用，在墙踵板与墙面板的衔接处，墙踵板沿墙长方向板条的弯矩为零，并向墙踵方向变形逐渐增大。故可近似假设沿墙踵板的计算荷载为三角形分布，最大值在踵点处。如图2-7所示。
各部分应力计算：
，其中
是作用在BC面上的土压力，所以。
所以，
所以，
， 其中
是作用在CD表面上的土压力，所以
同样的
所以，
所以，
墙踵板固端处的计算弯矩M1：
，其中
所以
即
求得
所以
图2-7墙踵板计算荷载图式
a) 墙踵板受力图；b)对墙踵板的作用；c)对墙踵板的作用；d)M1对墙踵板的作用；e)墙踵板法向应力总和
上述中：
——作用在BC面上的土压力（kN）；
——作用在CD面上的土压力（kN）；
M1——墙趾板固端处的计算弯矩（kNm）;
——墙后填土和钢筋混凝土的容重（Kn/m）;
——墙踵板厚度（m）；
——墙踵板端处的地基反力(kPa)。
2.纵向内力
墙踵板顺墙长方向板条的弯矩和剪力计算与墙面板相同，各内力分别为：
支点负弯矩：
支点剪力：
跨中正弯矩：
边跨自由端弯矩：
3. 横向弯矩
墙踵板沿墙长方向（横向）的弯矩由两部分组成：
（1）在图7-e所示的三角形分布荷载作用下产生的横向弯矩最大值出现在墙踵板的根部。由于墙踵板的宽度通常只有墙高的1/3左右，其值一般较小，对墙踵板横向配筋不起控制作用，故不必计算此横向弯矩。
（2）由于在荷载作用下墙面板与墙踵板有相反方向的移动趋势，即在墙踵板根部产生与墙面板的竖直弯矩纵向分布的相同。如图2-6-b)所示。
2．3．6 扶肋设计计算
1.计算模型与计算荷载
a) b) c)
图2-8 扶肋计算图式
扶肋可视为锚固在墙踵板上的T形变截面悬臂梁，墙面板则作为该T形梁的翼缘板，如图2-8-a)所示，翼缘板的有效计算宽度由墙顶向下逐渐加宽，如图2-8-a),b)所示，为了简化计算，只考虑墙背主动土压力的水平分力，而扶肋和墙面板的自重以及土压力的竖向分力忽略不计。
2.剪力和弯矩
悬臂梁承受两相邻的跨中至跨中长度lw与墙面板高H1范围内的土压力。在土压力中，作用在AB面上的土压力的水平分力作用下，产生的剪力和弯矩为：
当时的：
如图所示，计算长度Lw,按下式计算，且。
（中跨）
（悬臂跨）
3. 翼缘宽度
扶肋的受压区有效翼缘宽度bi, 墙顶部bi=b,底部b1=Lw, 中间为直线变化，如图9所示，即：
。
2．3．7容许应力验算
扶壁式挡土墙的验算内容包括抗滑移稳定性，抗倾覆稳定性，基底应力及合力偏心距的验算。其验算方法与重力式挡土墙相同。
（1）抗滑移稳定性验算
挡土墙的抗滑移稳定性是指在土压力和其他的荷载作用下，基底摩阻力抵抗挡土墙滑移的能力，用抗滑移稳定系数表示，即作用于挡土墙的抗滑力与实际下滑力之比。
其中。
（查得Ka=0.45）
以墙踵板的板端竖直面作为假想墙背，则：
所以（查得基底摩擦系数为0.5）
故抗滑移稳定性满足要求。
（2）抗倾覆稳定性验算
挡土墙的抗倾覆稳定性是指它抵抗墙身绕墙趾向外转动倾覆的能力，用抗倾覆系数Ko表示，即对墙趾的稳定力矩之和与 倾覆力矩之和的比值。（算得土压力的水平分力的力臂h=3.0m）则，
所以满足抗倾覆稳定性的要求。
（3）地基承载力及偏心距的验算
为了保证挡土墙的基底应力不超过地基的容许承载力，应进行基底应力验算。为了使挡土墙墙形结构合理和避免发生不均匀的沉降，还应控制作用于挡土墙基底的合力偏心距。
a.底面上的总竖向力
b.合力作用点与墙前趾的距离
c.偏心距
d.基底边缘应力
e.要求满足下列公式
查得在密实状态下，碎石土承载力标准值为700-900kPa,此处取=800kPa。
基底平均应力和最大压力均满足要求。
所以，最初拟定的挡土墙截面尺寸即可作为实际挡土墙的尺寸。
2．3．8 配筋设计
扶壁式挡土墙墙面板，墙趾板按矩形截面受弯构件配筋，而扶肋按变截面T形梁配筋。
1．墙面板
墙面板的水平受拉钢筋分为内外侧钢筋两种。
（1）水平受力钢筋
内侧水平受拉钢筋N2布置在墙面板靠填土一侧，承受水平负弯矩，以扶肋处支点弯矩设计计算，全墙可分为3—4段。
a.以墙面板中间H1/2的弯矩作为控制进行计算。经算得M=-55KNM.
选用材料：以HRB335钢筋作为受拉钢筋，混凝土的强度等级选用C20，查得,。
钢筋保护层厚度C=30mm,估计选用钢筋直径为20mm。截面尺寸拟定为h=300mm,b取1米宽进行设计。则截面有效高度h0=h-c-d/2=260mm。
将以上的数据代入基本公式：
算得：
查《混凝土结构设计原理》附表19得：
选配
验算适用条件：
验算满足要求。
b.以墙面板顶H1/8处作为控制面进行计算，此时M=27.5KN/m.代入基本公式得：
求得：
同样查得，选用，。验算满足适用条件。
由以上的计算可知，墙面板内侧的受拉钢筋分布为：墙顶H1/8，墙底 H1/8范围内选配14的钢筋，间距为250mm；墙面板中间的范围选配22的钢筋，间距为250mm。
外侧受拉钢筋N3布置在中间跨墙面板临空一侧，承受水平正弯矩，该钢筋沿墙长方向通长布置。为方便施工，可在扶肋中心切断，沿墙高可分为几个 区段进行配筋，但区段不宜分得太多。
a.以墙面板的中间H1/2处作为控制面进行计算，此时M=33kNm.同样代入基本公式得：
求得： 。
查表得：选配，。验算满足适用条件。
b.以墙面板墙顶H1/8处作为控制面进行计算，此时M=16。5KNm。代入基本公式计算得：
此时，，故需按最小配筋率进行配筋，即：
查得选配，。验算满足适用条件。
以上配筋计算可知，墙面板外侧水平受拉钢筋N2的分布为：全墙采用14的钢筋，间距为250mm。
（2）竖向受力钢筋
内侧竖向收里钢筋N4布置在靠填土一侧，承受墙面板的竖直负弯矩，该筋向下伸入墙踵板不少于一个钢筋锚固长度，向上在距离墙踵板顶高H1/4处加上一个钢筋锚固长度处切断，每跨中部2L/3范围内按跨中的最大竖直负弯矩MD配筋，靠近扶肋两侧各L/6部分按MD/2配筋。
a.跨中2L/3范围内的弯矩M=71.72kNm，代入基本公式得：
求得：
查表得选配，。验算满足适用条件。
b.靠近扶肋两侧L/6部分的弯矩M=MD/2=35.86kNm。
同样代入基本公式求得：，。此时，
，故需按最小配筋率进行配筋，由以上可知，选配的钢筋为：，。
所以，由上可知，墙面板内侧竖向受力钢筋的分布为：每跨中部2L/3范围采用18钢筋，间距为250mm；靠近扶肋两侧L/6范围内采用14钢筋，间距为250mm。
外侧竖向受力钢筋N5布置在墙面板的临空一侧，承受墙面板的竖向正弯矩，该钢筋通长布置，兼作墙面板的分布钢筋用。由于正弯矩较小M=17.93kNm，由上面的计算可知，需按最小配筋率进行配筋，故墙外侧的钢筋布置为：全墙布置14钢筋，间距为250mm。
（3）墙面板与扶肋的U形拉筋
连接墙面板与扶肋的U形拉筋N6，其开口向扶肋的背侧，该钢筋每一支承受高度为拉筋间距水平板条的支点剪力Q，在扶肋水平方向通长布置。
由上面的计算可知，选配的U形钢筋为14，承受拉力作用，每个扶肋上U形钢筋的个数为：根。
2. 墙踵板
墙踵板顶面横向水平钢筋N7,是为了墙面板承受竖直负弯矩的钢筋N4得以发挥作用而设置的.该钢筋位于墙踵板顶面,垂直于墙面板方向,其布置与钢筋N4相同,该钢筋一端插入墙面板一个钢筋锚固长度,另一端伸至墙踵端,作为墙踵板纵向钢筋N8的定位钢筋,如钢筋N7的间距很小,可以将其中一半在距墙踵端减一个钢筋锚固长度处切断。
墙踵板的顶面和底面纵向水平受拉钢筋N8,N9,承受墙踵板在扶肋两端的负弯矩和跨中正弯矩.该钢筋的切断情况与N2,N3相同。
墙踵板的选用材料跟墙面板的相同,墙踵板厚度为0.4m,属于基础, 所以混凝土保护层的厚度应大于70mm,此处取为C=80mm.估计选配的钢筋直径为20mm,所以截面有效高度.
由前面的计算可知,墙踵板的支点负弯矩为M=-319.68kNm.带入基本公式得:
求得:,.
查表得选配,.验算满足适用条件.
跨中正弯矩M=191.8kNm,同样可得:
,
查表得选配,,验算满足适用条件.
连接墙踵板与扶肋之间的U形钢筋N10,其开口向上.可在距墙踵板顶面一个钢筋锚固长度处切断,也可延至扶肋的顶面,作为扶肋两侧的分布钢筋,在垂直于墙面板方向的钢筋分布与墙踵板顶面纵向水平钢筋N8相同.
3. 墙趾板
墙趾板的受力筋N1设置于墙趾板的底面,为了方便施工,将墙面板外侧竖向受力筋N5弯曲作为墙趾板的受力筋.
4.扶肋
扶肋背侧的受拉筋N11,应根据扶肋的弯矩图,选择2-3个截面,分别计算所需的拉筋根数.为了节省混凝土,钢筋N11可以多层排列,但不得多于3层,其间距应满足规范要求,必要时可采用束筋,各层钢筋上端应按不需此钢筋的截面再延长一个钢筋锚固长度,必要时可将钢筋沿横向弯入墙踵板的底面.
除受力钢筋之外,还需要根据截面剪力配置箍筋,并按构造要求布置构造钢筋.
2．4 施工设计方案比选
为了使支挡结构的设计更加节约经济，科学合理，对前面的两种挡土墙设计所得进行分析比较，选择一种造价、工程量、施工工艺更为合理的方案作为施工设计。
由上设计计算所得可知，重力式挡土墙的截面尺寸为顶宽1米，底宽5米，高9米，所使用的混凝土强度等级为C20，估算材料用量可知，重力式挡土墙横向没延米所需的混凝土用量为27平米。由于该挡墙的尺寸较大，施工架设模板难度较大。
扶壁式挡土墙的截面尺寸为：墙面板高9.6米，厚度0.3米，墙底板宽4.3米，厚度0.4米，扶肋高9.6米，厚度0.6米，底宽3米。估算材料用量得每延米的混凝土用量为8.6平米，使用HRB335级钢筋。
显然，重力式挡土墙所需的混凝土用量比扶壁式的大得多，因此所花费的造价也要高，而且工程量巨大，施工难度高。一般情况下，坡高大于8米时不选择采用重力式挡土墙作为支挡结构。
以上分析看出，该地段不宜采用重力式挡墙支护，而采用扶壁式挡墙支护，总体造价不高，经济合理，又符合墙高要求。故此工程采用扶壁式挡土墙作为施工组织设计方案。
2．5 扶壁式挡墙结构加固措施
在选择了扶壁式挡土墙作为施工方案设计，完成了挡土墙截面设计及稳定、强度验算之后，必须采取必要的措施，以保证挡土墙的安全性。
2．5．1基底拓展
为减少基底压应力，增加抗倾覆的稳定性，在墙趾处伸出一台阶，以拓宽基底，墙趾台阶宽度为25mm,台阶高宽比为3：2。
2．5．2排水设计
挡土墙排水措施的作用在于疏干墙后土体和防止地表水下渗，以免墙后积水形成静压力。良好的排水在寒冷地区可以减小回填土的冻胀压力。
排水措施主要包括
（1）截水沟。截水沟又称天沟，设置在挖方路基边坡挡土墙坡顶以外，用以拦截并排除在山坡上流淌的地面径流，减轻边沟的水流负担，保证挖方边坡不受流水冲刷，截水沟采用梯形截面，内边坡的坡度为1：1，采用25cm厚的5号浆砌片石加固，并设置15cm厚的砂砾垫层。
（2）泄水孔。若已渗入墙后填土中的水，则应将其迅速排出，通常在挡土墙的下部设置泄水孔。一般泄水孔的直径为5-10cm,间距2-3cm,泄水孔应高于墙前水位，以免倒灌。此外，在泄水孔入口附近应用易渗的粗颗粒材料做反滤层，并在泄水孔入口下方铺设粘土夯实层，防止积水渗入地基不利于墙的稳定性。泄水孔的布置应错开呈梅花桩式，以免在某一个面上形成软弱层，影响挡土墙的稳定性。
（3）排水沟。主要用途在于引水，将路基范围内的各种水源水流引至桥涵或路基范围内的指定地点。采用梯形截面，25cm厚5号浆砌片石加固，并设15cm厚砂砾垫层。
2．5．3沉降缝和伸缩缝的设置：为避免地基不均匀沉降引起墙身开裂，需按墙高和地基性质的变异，设置沉降缝，同时，为了减少圬工砌体因收缩硬化和温度化作用而产生裂缝，需设置伸缩缝。挡土墙的沉降缝和伸缩缝设置在一起，每隔10m设置一道，缝宽3cm，自墙顶做至基底，缝内宜用沥青麻絮、沥青竹绒或涂以沥青的木板等具有弹性材料，沿墙的内、外、顶三侧填塞，填塞的深度为20cm.
第三章 毕业设计心得
公路挡土墙是路基防护工程的重要组成部分。在山区公路中，挡土墙的应用更为广泛。挡土墙设计时，应进行详细地调查、勘测，确定构造物的形式与尺寸，运用合适的理论计算土压力，并进行稳定性和截面强度方面的验算，采取合理、可行的措施，以保证挡土墙的安全性。扶壁式挡土墙结构是在重力式挡土墙的基础上因地制宜发展而来的，实际工程中，可采取联合的结构形式，其计算方法基本相同。对于多地震带的地区，只要在地基应力允许的条件下，应尽量扩大抗滑计算值。
结束语
随着毕业日子的到来，毕业设计也接近了尾声。经过几个月的奋战我的毕业设计终于完成了。在没有做毕业设计以前觉得毕业设计只是对这几年来所学知识的单纯总结，但是通过这次做毕业设计发现自己的看法有点太片面。毕业设计不仅是对前面所学知识的一种检验，而且也是对自己能力的一种提高。通过这次毕业设计使我明白了自己原来知识还比较欠缺，自己要学习的东西还太多。通过这次毕业设计，我才明白学习是一个长期积累的过程，在以后的工作、生活中都应该不断的学习，努力提高自己知识和综合素质。
在这次毕业设计中也使我们的同学关系更进一步了，同学之间互相帮助，有什么不懂的大家在一起商量，听听不同的看法对我们更好的理解知识，所以在这里非常感谢帮助我的同学。
总之，不管学会的还是学不会的的确觉得困难比较多，真是万事开头难，不知道如何入手。最后终于做完了有种如释重负的感觉。此外，还得出一个结论：知识必须通过应用才能实现其价值！有些东西以为学会了，但真正到用的时候才发现是两回事，所以我认为只有到真正会用的时候才是真的学会了。
致谢
在此要感谢我的指导老师米海珍和乔雄对我悉心的指导，感谢老师给我的帮助。在设计过程中，我通过查阅大量有关资料，与同学交流经验和自学，并向老师请教等方式，使自己学到了不少知识，也经历了不少艰辛，但收获同样巨大。在整个设计中我懂得了许多东西，也培养了我工作的能力，树立了对自己工作能力的信心，相信会对今后的学习工作生活有非常重要的影响。而且大大提高了动手的能力，使我充分体会到了在创造过程中探索的艰难和成功时的喜悦。虽然这个设计做的也不太好，但是在设计过程中所学到的东西是这次毕业设计的最大收获和财富，使我终身受益。
设计参考文献
[1]中华人民共和国国家标准，《建筑边坡工程技术规范》（GB50330—2002），人民交通出版社，北京，2002；
[2] 陈忠达，《公路挡土墙设计》，人民交通出版社，北京，1999；
[3] 赵树德，《土力学》，高等教育出版社，北京，2002；
[4] 池淑兰，《路基及支挡结构》，中国铁道出版社，北京，2002；
[5] 邓学均，《路基路面工程》，人民交通出版社，北京，2002；
[6] 冯忠居，《基础工程》，人民交通出版社，北京，2002；
[7]《基础工程分析与设计》， 中国建筑工业出版社；
[8] 朱彦鹏，《混凝土结构设计原理》，重庆大学出版社，重庆，2002；
[9] 张雨化，朱照宏，《道路勘测设计》，人民交通出版社，北京，1997；
[10] 中华人民共和国国家标准，《公路工程技术标准》（JTG B01-2003）人民交通出版社，北京，2004；
[11]其他与设计相关的资料等。
附：英文翻译
LIMIT ANALYSIS OF SOIL SLOPES SUBJECTED TO PORE-WATER PRESSURES
By J.Kim R.salgado, assoicite member, ASCE ,and H.S., member,ASCE
ABSTRACT: the limit-equilibrium method is commonly, used for slope stability analysis. However, it is well known that the solution obtained from the limit-equilibrium method is not rigorous, because neither static nor kinematic admissibility conditions are satisfied. Limit analysis takes advantage of the lower-and upper-bound theorem of plasticity to provide relatively simple but rigorous bounds on the true solution. In this paper, three nodded linear triangular finite elements are used to construct both statically admissible stress fields for lower-bound analysis and kinematically admissible velocity fields for upper-bound analysis. By assuming linear variation of nodal and elemental variables the determination of the best lower-and upper-bound solution maybe set up as a linear programming problem with constraints based on the satisfaction of static and kinematic admissibility. The effects of pro-water pressure are considered and incorporated into the finite-element formulations so that effective stress analysis of saturated slope may be done. Results obtained from limit analysis of simple slopes with different ground-water patterns are compared with those obtained from the limit-equilibrium method.
INTRODUCTION
Stability and deformation problem in geotechnical engineering are boundary-value problem; differential equations must be solved for given boundary conditions. Solutions are found by solving differential equations derived from condition of equilibrium, compatibility, and the constitutive relation of the soil, subjected to boundary condition. Traditionally, in soil mechanics, the theory of elasticity is used to set up the differential equations for deformation problems, while the theory of plasticity is used for stability problems. To obtain solution for loadings ranging from small to sufficiently large to cause collapse of a portion of the soil mass, a complete elastoplastic analysis considering the mechanical behavior of the soil until failure may be thought of as a possible method. However, such an elastoplastic analysis is rarely used in practice due to the complexity of the computations. From a practical standpoint, the primary focus of a stability problem is on the failure condition of the soil mass. Thus, practical solutions can be found in a simpler manner by focusing on conditions at impending collapse.
Stability problem of natural slopes, or cut slopes are commonly encountered in civil engineering projects. Solutions may be based on the slip-line method, the limit-equilibrium method, or limit analysis. The limit-equilibrium method has gained wide acceptance in practice due to its simplicity. Most limit-equilibrium method are based on the method of slices, in which a failure surface is assumed and the soil mass above the failure surface is divided into vertical slices. Global static-equilibrium conditions for assumed failure surface are examined, and a critical slip surface is searched, for which the factor of safety is minimized. In the development of the limit-equilibrium method, efforts have focused on how to reduce the indeterminacy of the problem mainly by making assumptions on inter-slice forces. However, no solution based on the limit-equilibrium method, not even the so called “rigorous” solutions can be regarded as rigorous in a strict mechanical sense. In limit-equilibrium, the equilibrium equations are not satisfied for every point in the soil mass. Additionally, the flow rule is not satisfied in typical assumed slip surface, nor are the compatibility condition and pre-failure constitutive relationship.
Limit analysis takes advantage of the upper-and lower-bound theorems of plasticity theory to bound the rigorous solution to a stability problem from below and above. Limit analysis solutions are rigorous in the sense that the stress field associated with a lower-bound solution is in equilibrium with imposed loads at every point in the soil mass, while the velocity field associated with an upper-bound solution is compatible with imposed displacements. In simple terms, under lower-bound loadings, collapse is not in progress, but it may be imminent if the lower bound coincides with the true solution lies can be narrowed down by finding the highest possible lower-bound solution and the lowest possible upper-bound solution. For slope stability analysis, the solution is in terms of either a critical slope height or a collapse loading applied on some portion of the slope boundary, for given soil properties and/or given slope geometry. In the past, for slope stability applications, most research concentrated on the upper-bound method. This is due to the fact that the construction of proper statically admissible stress fields for finding lower-bound solutions is a difficult task. Most previous work was based on total stresses. For effective stress analysis, it is necessary to calculate pore-water pressures. In the limit-equilibrium method, pore-water pressures are estimated from ground-water conditions simulated by defining a phreatic surface, and possibly a flow net, or by a pore-water pressure ratio. Similar methods can be used to specify pore-water pressure for limit analysis.
The effects of pore-water pressure have been considered in some studies focusing on calculation of upper-bound solutions to the slope stability problem. Miller and Hamilton examined two types of failure mechanism: (1) rigid body rotation; and (2) a combination of rigid rotation and continuous deformation. Pore-water pressure was assumed to be hydrostatic beneath a parabolic free water surface. Although their calculations led to correct answers, the physical interpretation of their calculation of energy dissipation, where the pore-water pressures were considered as internal forces and had the effect of reducing internal energy dissipation for a given collapse mechanism, has been disputed. Pore-water pressures may also be regarded as external force. In a study by Michalowski, rigid body rotation along a log-spiral failure surface was assumed, and pore-water pressure was calculated using the pore-water pressure ratio ru=u/ǐz, where u=pore-water pressure, ǐ=total unit weight of soil, and z=depth of the point below the soil surface. It was showed that the pore-water pressure has no influence on the analysis when the internal friction angle is equal to zero, which validates the use of total stress analysis with Φ=0. In another study, Michalowski followed the same approach, except for the use of failure surface with different shapes to incorporate the effect of pore-water pressure on upper-bound analysis of slopes, the writers are not aware of any lower-bound limit analysis done in term of effective stresses. This is probably due to the increased in constructing statically admissible stress fields accounting also for the pore-water pressures.
The objectives of this paper are (1) present a finite-element formulation in terms of effective stresses for limit analysis of soil slopes subjected to pore-water pressures; and (2) to check the accuracy of Bishop’s simplified method for slope stability analysis by comparing Bishop’s solution with lower-and upper-bound solution. The present study is an extension of previous research, where Bishop’s simplified limit-equilibrium solutions are compared with lower-and upper-bund solutions for simple slopes without considering the effect of pore-water pressure. In the present paper, the effect of pore-water pressure is considered in both lower-and upper-bound limit analysis under plane-strain conditions. Pore-water pressures are accounted for by making modifications to the numerical algorithm for lower-and upper-bound calculations using linear three-noded triangles developed by Sloan and Sloan and Kleeman. To model the stress field criterion, flow of linear equations in terms of nodal stresses and pore-water pressures, or velocities, the problem of finding optimum lower- and upper-bound solutions can be set up as a linear programming problem. Lower- and upper-bound collapse loadings are calculated for several simple slope configurations and groundwater patterns, and the solutions are presented in the form of chart.
LIMIT ANALYSIS WITH PORE-WATER PRESSURE
Assumptions and Their implementation
Limit analysis uses an idealized yield criterion and stress-strain relation: soil is assumed to follow perfect plasticity with an associated flow rule. The assumption of perfect plasticity expresses the possible states of stress in the form
F() = 0 (1)
Where F() = yield function; and = effective stress tensor.
Associated flow rule defines the plastic strain rate by assuming the yield function F to coincide with the plastic potential function G, from which the plastic strain rate can be obtained though
（2）
where = nonnegative plastic multiplier rate that is positive only when plastic deformations occur.
Eq. (2) is often referred to as the normality condition, which states that the direction of plastic strain rate is perpendicular to the yield surface. Perfect plasticity with an associated with very large displacements are of concern. In addition, theoretical studies show that the collapse loads for earth slopes, where soils are not heavily constrained, are quite insensitive to whether the flow rule is associated or non-associated.
Principle of Virtual Work
Both the lower-and upper –bound theorems are based on the principle of virtual work. The virtual work equation is applicable, given the assumption of small deformations before collapse, and can be expressed as either
（3）
Or （4）
Where = boundary loadings; = body forces not including seepage and buoyancy forces; = body forces including seepage and buoyancy forces;= total stress tensor in equilibrium with and ; = effective stress tensor in equilibrium with and ; = Kronecker delta; p = pore-water pressure; and = strain rate tensor compatible with the velocity field .
There is no need for , , and to be related to and in any particular way for (3) or (4) represent the rate of the external work, while the right-hand sides represent the rate of the internal power dissipation done by the assumed stress field and external loads on the assumed strain and velocity fields. The difference between (3) and (4) is the way to incorporate the effect of pore-water pressure: the pore-water pressures are considered as internal force, reducing the internal power dissipation, in (3), while they are considered external force in (4). By taking advantage of the normality condition , it can be easily shown that elastic stress and strain have no influence on the collapse load; that is, only plastic deformation occurs during plastic flow, and = .This makes limit analysis a simple method to solve stability problems, without loss of rigor, assuming rigid perfect plasticity.
Lower-bound Theorem
If the stress field within the soil mass is stable and statically admissible, then collapse does not occur; that is, the true collapse load is definitely greater than the applied load. This can be written in the form of the virtual work equation, using (3), as
(5)
Where = statically admissible stress field in equilibrium with the traction and body force not including the seepage and buoyancy force; = actual stress; = actual stain rate; and = velocity fields.
In (5), the inequality is due to the principle of maximum plastic dissipation, according to which the actual strain rate field is always larger than the rate of work done on the actual strain rate field by a stress field not causing collapse. In (5), only the equilibrium condition and the stress boundary conditions not taken into account. The best lower bound to the true collapse load can be found by analyzing various trial statically admissible stress fields.
中文对照翻译：
孔隙水压力作用下土坡的极限分析
摘要：极限平衡法一般用于土坡的稳定性分析。然而，众所周知的是，从极限分析法中获得的解是不严密的，因为它既不满足静态的允许条件，又不满足动态的允许条件。极限分析法充分利用了塑性体的上下边界原理，在求真实解中提供了一个相对简单但又严密的边界。在这篇文章中，三点确定的三角形三边有限元法被利用与构造在下边界分析中的静态允许应力场和上边界分析中的速度场。通过假设三角形顶点的线变量和元素变量，真实解应该是一个线形的约束问题。在静态和动态的条件都满足的基础上，真实解应该处在上下边界所得的解之间。在有限元公式中，要考虑包括了孔隙压力的影响，以便使饱和土坡的有效应力分析可以得出。作者对从不同地下水形式下简单土坡的极限分析所得的结果与极限平衡法中所得的结果作了比较。
概述：稳定性和变形问题在全球技术工程领域是一个边界值问题。微分方程必须用给定的边界条件来解决。通过解决由平衡协调条件以及沙土的本构关系推出的微分方程，从而得到边界条件下的解。按照传统的说法，在土力学中，弹性理论是用来建立变形微分方程的，就象塑性理论是用来建立稳定性问题的微分方程一样 。为了获得这个解，荷载由小到大变化，直到足够大引起部分土体的滑坡。作为土体破坏的力学行为，完整的弹塑性分析以为是一个可能的方法。然而，这样一个弹塑性分析方法很少应用于实际问题当中，因为他的计算机太过复杂。站在实践的立场上，稳定性的最基本关注点应该是土体破坏条件。因此，真实解应该是通过关注即将发生的破坏条件的一个简单的方法中得来。
自然土坡、填方土坡和挖方土坡的稳定性问题是土木工程领域碰到的最常见的问题。求解通常建立在滑移线方法上，极限平衡方法或极限分析法的基础上。由于它的简单，在实践中，极限平衡法是最被广泛使用的。极限平衡法大部分建立在分块理论的基础上，在这种理论中，假设有一个破坏的滑动面，而且在此之上的土体被划分为若干垂直土条，整个静态平衡条件下假设的失稳表面是被确定的，一个临界的滑动破裂面必须要找到，因为它的安全因数最小。在极限平衡法的发展过程中，要努力去做的是怎么降低通过内力假设的不确定性。但是，没有一种解的得来是建立在这样的极限分析法的基础上，甚至在严格的力学意义上讲，它都不算一个严密的解。在极限平衡法中，平衡方程并不是对土体的每一点都适用的。另外，在典型的假定滑动面方法中，流动法则是不满足的，同样，协调性条件和破坏前的本构关系也是不满足的。
极限分析法充分利用了边界理论，得出了相对应用于上下边界的两个严密的解。极限分析法在以下两种意义上是严密的，一是土体在外加荷载作用下的平衡，下边界解所对应的应力场；二是与外加位移相协调，上边界所对应的速度场。就简单而言，下边界荷载作用下，滑动不会发生，但是如果下边界受到外加荷载的作用，则滑动可能立即发生。同样，在上边界作用外加荷载，滑坡也会立即发生。通过寻找下边界的最大可能解和上边界的最小可能解，真实解存在于他们之间的范围内。对于土坡稳定性问题，给定土体的性质或几何尺寸的基础上，知道土坡发生滑动的临界高度和发生部分滑坡的临界荷载才能得出解来。在过去，对于土坡稳定性的应用，大多数研究工作都集中在上边界法上，这是因为通过求解下边界适合静态允许应力场方程的解是一项很困难的任务。大多数先前的工作都基于总应力之上。对于有效应力的分析，考虑孔隙水压力的作用是很有必要的。在极限平衡法中，孔隙水压力是通过限定一个地下水表面和一个可能的流动网或者通过一个孔隙水压力比率模拟地下水条件推测出来的。相似的方法可以用于明确说明孔隙水压力作用下的极限分析。
在大量的实践中，孔隙水压力的影响被看作集中考虑在土坡稳定性问题的上边界解上。Miller和Hamilton两人实验出了两种力学破坏类型：（1）刚体旋转；（2）刚体旋转和持续变形相结合。孔隙水压力被假定成流体静力学下的一个抛物线型的自由水表面，尽管他们的研究得出了正确的答案，但是，从物理学上解释他们的研究，在能量消散上是有争议的。在他们的理论中，孔隙水压力被看作是内力，在给定的滑坡机理下，它对降低内部能量消散是有影响的。孔隙水压力也可以看作是一种外力。在Michalowsk的研究中，假设刚体是沿着螺旋线破坏的。孔隙水压力被考虑用孔隙水压力比来表示：这里，u是孔隙水压力；是沙土的比重；z是土体表面以下的深度。它表示孔隙水压力在内部摩擦力等于零时的分析没有影响，这就证实了用总应力分析时。在另一项研究中，除了用不同形状的破裂面结合分块分析法时，Michalowski秉承了相同的方法。当这种努力结合孔隙水压力作用在土坡上边界的影响中，作者没有意识到就有效应力而言有任何的下边界极限分析要做。这可能因为在考虑孔隙水压力的情况下，构造静态允许应力场的难度增大。
这篇文章的目的有两个：（1）就有效应力而言，为土坡在孔隙水压力作用下的极限分析提出了一个有限元的公式；（2）通过比较Bishop的上下边界解来核实土坡稳定性分析方法在被Bishop简化的极限平衡法所得的解与简单坡中不考虑孔隙水压力作用，上下边界所得的解相比较。在这篇文章中，在平面应变条件下，上下边界的极限分析是要考虑孔隙水压力影响的。Slon和Kleenman在考虑了上边界和下边界的情况下，利用了三点构成的三边线性代数的方法将孔隙水压力计算出来的。为了模仿应力场和速度场，由三点组成的三边线性元素就要被利用。公认的力学理论包括刚体的转动和持续变形。就分点的应力和孔隙水压力或者速度而言，用平衡方程、协调条件、流动法则、屈服准则、边界条件的线性代数等式来表达，那么，求解最佳上下边界是在几个简单土坡的构造和地下水形式下被考虑的，解是以诺莫图的形式给出。
孔隙水压力作用下的极限分析：
极限分析用了屈服准则和应力应变关系：土体在流动法则下假设成一个理想的塑性体。在这个理想的塑性体假设表明了可能的应力状态形式：
(1)
这里，F是应变函数，是有效应力张量。
通过假设应变函数F配合塑性体潜在的应变函数G，用伴随的流动法则来定义塑性体应变率，塑性应变率可以从中得出：
(2)
这里，是非负的塑性比值，也就是当发生塑性变形时的正直。
等式（2）通常被认为是常态条件，就表面当量而言，塑性应变率的方向关系是垂直的。理想的塑性体伴随着流动法则是一个合理的假设，如果考虑荷载下伴随非常大的位移。另外，理论研究表明，不管有没有流动法则的存在，当土体没有受到严重的受压，土坡的坍塌荷载是很不敏感的。
内部作用法则：
上边界和下边界原理都建立在内部作用原则的基础上，在发生坍塌前，给定了假设的小变形，内部作用等式是可以运用的，并且可以用以下的关系来表达：
(3)
或者
(4)
这里，是边界荷载；是不包括渗透量和浮力的自重是包括渗透量和浮力的自重；是在和平衡下的总应力张量；是在和平衡下的有效应力张量；是Kronecker增量；P是孔隙水压力；是与速度场一致的应变率张量。
不需要用任何特殊的方式通过（3）式和（4）式把,和联系在一起。在（3）式和（4）式的左边代表外部作用比率，而（3）式（4）式右边代表外部能量消散比率，通过假设外加荷载的应力场和假设应变的速度场，（3）式和（4）式之间的区别在于组成有效孔隙水压力的形式不同。（3）式中，孔隙水压力被认为是内力，它减少了内部的能量消散，而在（4）式中，孔隙水压力被认为是外力。
通过充分利用常态条件，显而易见的是弹性应力和应变对坍塌荷载没有影响，即：= .也就是说，只有在塑性体流动时，塑性变形才发生。假设刚体是理想的塑性体，用一个简单的极限分析去解决稳定性问题是没有严格损失的。
下边界理论：
如果土体内的应力场是稳定的，静态允许的，那么坍塌不会发生，也就是说，真实的坍塌荷载一定比计算荷载要大。这里可以用内部作用等式的形式来表示，由（3）式得：
(5)
这里是不包括渗透量和浮力的自重与摩擦力平衡时的静态允许应力。是真实的应力，是真实的应变率，是速度场。
在（5）式中，不等式的成立是由于最大塑性消散原则，根据在真实应变率场下的真实坍塌应力场得出的内部作用比率总是比在真实应变率场下而引起坍塌的应力场得出的比率要大而得出。在（5）式中， 只有平衡条件和应力边界条件是满足的，流动法则和速度边界条件是不计算在内的，对于真实的坍塌荷载，最佳的下边界是通过分析不同的 静态允许应力场试验而得出的。下载本文
