知识纵横
抛物线与直线形的结合另一表现形式是,以抛物线为载体, 探讨是否存在一些点,使其能构成某些特殊四边形, 有以下常见的基本形式:
(1)抛物线上的点能否构成平行四边形;
(2)抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形;
(3)抛物线上的点能否构成梯形.
特殊四边形的性质与判定是解这类问题基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的关键.
例题求解
【例1】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x0，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D．
(1)确定A、C、D三点的坐标；
(2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式；
(3)若过点(0，3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．
(4)当＜x＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．
解： (1)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是(2，0)
∴点A的坐标是(－4，0)
由tan∠BAC＝2可得OC＝8
∴C(0，8)
∵点A关于y轴的对称点为D
∴点D的坐标是(4，0)
(2)设过三点的抛物线解析式为y＝a(x－2)(x－4)
代入点C(0，8)，解得a＝1
∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8
(3)∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点(0，3)平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴M(1，3)，N(5，3)，＝4
而抛物线的顶点为(3，－1)
当y＞3时
S＝4(y－3)＝4y－12
当－1≤y＜3时
S＝4(3－y)＝－4y＋12
(4)以MN为一边，P(x，y)为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大
∴当x＝3，y＝－1时，h＝4
S＝•h＝4×4＝16
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16
点评：以抛物线与平行四边形相结合为背景的综合性试题，涉及的有二次函数的性质、求点的坐标、用待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定和性质等有关知识点,考查了数形结合、分类讨论、问题转化、函数等数学思想和方法.
【例2】已知抛物线经过及原点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由已知可得：
解之得，．
因而得，抛物线的解析式为：．
（2）存在．
设点的坐标为，则，
要使，则有，即
解之得，．
当时，，即为点，所以得
要使，则有，即
解之得，，当时，即为点，
当时，，所以得．
故存在两个点使得与相似．
点的坐标为．
点评：以上是以抛物线与矩形相结合为背景的综合性试题，主要考查了二次函数有关性质、一元二次方程的解法、矩形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、点的坐标的几何意义等有关知识，通过探索性试题、考查了学生的探究能力和分析问题、解决问题的能力。
【例3】如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
分析: 由题意知，动点E(x,y)在第四象限沿抛物线运动过程中，平行四边形OEAF的一组顶点E、F的位置在不断变化，而另一组顶点O、A的位置不变.问题(2)中，要求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系，关键是用x表示出动点E(x,y)的纵坐标y，而问题(3)是判断平行四边形OEAF是否为菱形与正方形的存在性问题.由菱形的性质易知，要判断平行四边形OEAF是否为菱形，只须判断OA的垂直平分线是否与抛物线有交点，正方形是特殊的菱形，要判断平行四边形OEAF是否为正方形，还须判断是否存在OA=EF.
解: (1)由抛物线的对称轴为直线可设解析式为.
把A，B两点的坐标代入上式得
解得.
故抛物线的解析式为，顶点坐标为().
(2)∵点E(x,y)是抛物线上的一动点，且位于第四象限，
∴y＜0，即-y＞0，-y表示E到OA的距离.
∴
.
∵抛物线与x同的交点为(6,0)和(1,0)，
∴自变量x的取值范围是1＜x＜6.
(3)①根据题意得，当S=24时，即
， 解得x1=3，x2=4.
故所求的点E有两个，分别是(3,-4)，(4,-4).
当EF垂直平分OA时，E点是惟一存在的，为E(3,-4)，这时平行四边形OEAF是菱形.②要使平行四边形OEAF是正方形，还须满足条件OA=EF，此时E点的坐标只能是(3,-3)，而此点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF是正方形.
点评: 本题以抛物线与菱形相结合为背景的综合性试题，主要考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一元二次方程的解法、菱形（正方形）的判定与性质、点坐标与函数解析式的对应关系等有关知识。本题目也是一个存在性问题的探究，要求学生通过具体的计算验证后，否定了问题的存在，单用猜想解决不了问题，有效考查了学生的逻辑思维能力和综合分析问题解决问题的能力。
【例4】如图，以边长为的正方形的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线经过点且与直线只有一个公共点．
（1）求直线的解析式．
（2）求抛物线的解析式．
（3）若点为（2）中抛物线上一点，过点作轴于点，问是否存在这样的点，使△PMC ∽△ADC ？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
由已知可得A（-1，0），B（0，-1）则
∴
∴直线AB的解析式为：y=-x-1
（2）把B（0，-1）代入抛物线y=x2+bx+c中得c=-1，
联立 得x2+（b+1）x=0，
当△=0时，解得b=-1，
∴抛物线解析式为：y=x2-x-1
（3）存在这样的点P，使△PMC∽△ADC，
∵△ADC为等腰直角三角形，则△PMC为等腰直角三角形，即CM=PM=m，
又OC=1，根据图象P点坐标可设为（1+m，m），（1-m，m），（1-m，-m），
代入抛物线解析式y=x2-x-1中，
解方程：（1+m）2-（1+m）-1=m，
（1-m）2-（1-m）-1=m，
（1-m）2-（1-m）-1=-m；
解得m=-1，1，1± ，
∴P点的坐标为（0，-1），（2，1），（ ，1- ），（- ，1+ ）．
点评: 本题以正方形为背景的综合性试题，主要功能考查待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、点的坐标的几何意义、正方形的性质和判定等有关知识，考查学生的发散思维能力。
学力训练
【练习1】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）．将绕AC的中点旋转1800，点O落到点B的位置．抛物线经过点A，点D是该抛物线的顶点．
(1) 求a的值，点B的坐标；
(2) 若点P是线段OA上一点，且，求点P的坐标；
(3) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，
该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标(直接写出答案即可)．
【练习2】关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方．
（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；
（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．
参考资料：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．
解：（1）据题意得：，
．
当时，．
当时，．
又抛物线与轴的交点在轴上方，．
抛物线的解析式为：．
函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）
（2）解：令，得．
当时，，，
．
当时，，
．
．
关于的函数关系是：
当时，；
当时，．
（3）解法一：当时，令，
得．
解得（舍），或．
将代入，
得．
当时，令，得．
解得（舍），或．
将代入，得．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
解法二：当时，同“解法一”可得．
正方形的周长．
当时，同“解法一”可得．
正方形的周长．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
解法三：点在轴右侧的抛物线上，
，且点的坐标为．
令，则．
，①或②
由①解得（舍），或；
由②解得（舍），或．
又，
当时；
当时．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
【练习3】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线
y＝ax2＋ax－2经过点C。
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；
解：（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA，得OD=2+1=3，CD=1
∴C点坐标为（－3，1），
∴抛物线经过点C，
∴1=a（－3）2+a（－3）－2，∴a=
∴抛物线的解析式为y=x2+x－2
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。
以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，
可证△PBE≌△AQG≌△BAO，
∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，－1）。
由（1）抛物线y=x2+x－2
当x=2时，y=1；当x=1时，y=－1。
∴P、Q在抛物线上。
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1）、
Q（1，－1），使四边形ABPQ是正方形。
【练习4】已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。
注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为
解:（1）过点C作CH⊥轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2
∴OB＝4，OA＝
由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝
∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3
∴C点坐标为（，3）
（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点
∴ 解得：
∴此抛物线的解析式为：
（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C
MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P点坐标为（，）
∴ 存在满足条件的点P，使得四边
形CDPM为等腰梯形，此时P点
的坐为（，）下载本文
