一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1.已知集合，0，1，2，3，，则

A.  B. 1，

C.  D. 0，1，2，3，

2.已知i为虚数单位，复数z满足，则z在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.已知直线：，：，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.的部分图象大致为

A.  B. 

C.  D. 

5.已知随机变量X有三个不同的取值，其分布列如表，则的最大值为：

6.将函数的图象沿x轴向左平移个单位后得函数的图象，则下列直线方程可为的对称轴的是

A.  B.  C.  D. 

7.已知矩形ABCD，，沿直线BD将折成，使点在平面BCD上的射影在内不含边界设二面角的大小为，直线，与平面BCD所成的角分别为，，则

A.  B.  C.  D. 

8.已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若其中O为原点，则双曲线C的离心率为

A.  B.  C.  D. 

9.已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为、、、，则下列判断中一定成立的是

A.  B. 

C.  D. 

10.已知数列满足：，，前n项和为参考数据：，，则下列选项中错误的是

A. 是单调递增数列，是单调递减数列

B. 

C. 

D. 

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

11.已知实数x，y满足，则的最大值是______，最小值是______．

12.若二项式的展开式中各项系数之和为32，则______，展开式中的系数为______．

13.如图为某几何体的三视图，若该几何体的体积为，则该几何体的最长的棱长为______该几何体的表面积为______．

15.已知实数x，y满足，且，则的最小值为______．

16.已知a，，函数的最小值为，则b的取值范围是______．

17.若平面向量是两个单位向量，且，空间向量满足，，，则对任意的实数，，的最小值是______．

三、解答题（本大题共5小题，共66.0分）

18.已知中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．

求角A的大小；

Ⅱ若，的面积为，D为边BC的中点，求AD的长度．

19.如图，菱形ABCD中，，，O为线段CD的中点，将沿BO

折到的位置，使得，E为的中点．

Ⅰ求证：；

Ⅱ求直线AE与平面所成角的正弦值．

20.已知数列的前n项和为，且满足，

求的通项公式；

数列满足，，求的通项公式．

21.椭圆E：的右焦点F到直线的距离为，抛物线G：的焦点与椭圆E的焦点F重合，过F作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且．

求椭圆E及抛物线G的方程；

过点F且斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，交抛物线于M，N两点，请问是否存在实常数，使为常数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

22.已知函数．

讨论函数的单调性；

若函数在区间上有两个极值点，，证明：

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：【分析】

可以求出集合A，然后进行交集和并集的运算即可．

本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

【解答】

解：，0，1，2，3，，

1，，，或．

故选：B．

2.答案：A

解析：解：由，

得．

则复数z在复平面内对应的点的坐标为：，位于第一象限．

故选：A．

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标得答案．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.答案：C

解析：解：已知直线：，：，

又“”的充要条件为：，

解得：，

即“”是“”的充分必要条件，

故选：C．

由两直线平行的充要条件得：“”的充要条件为：，即：，即“”是“”的充分必要条件，得解．

本题考查了两直线平行的充要条件及命题间的充要关系，属简单题．

4.答案：A

解析：【分析】

本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．

先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．

【解答】

解：，定义域为R，

则是偶函数，排除C，

，排除B，D．

故选A．

5.答案：D

解析：解：由可得，

故E，

令，则，

令，可得，

当时，，当时，，

当时，y取得最大值．

当时，X的三个取值4x，，4各不相等，符合题意，

故选：D．

计算m，得出关于x的函数解析式，利用导数求出函数最大值即可．

本题考查了随机变量的性质，数学期望的计算，属于中档题．

6.答案：A

解析：解：函数

；

沿x轴向左平移个单位后，

可得

，

即，

令，

得．

令，可得对称轴为．

故选：A．

利用辅助角公式化简，根据平移变换的规律即可求解的解析式，结合三角函数的性质求解对称轴．

本题主要考查函数的图象变换规律，对称轴的求法，属于基础题．

7.答案：D

解析：解：如图，四边形ABCD为矩形，，

当点在底面上的射影O落在BC上时，

有平面底面BCD，又，可得平面，则，

平面，在中，设，则，，说明O为BC的中点；

当点在底面上的射影E落在BD上时，可知，

设，则，，．

要使点在平面BCD上的射影F在内不含边界，则点的射影F落在线段OE上不含端点．

可知为二面角的平面角，直线与平面BCD所成的角为，

直线与平面BCD所成的角为，

可求得，，且，而的最小值为1，

，则．

故选：D．

由题意画出图形，由两种特殊位置得到点在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．

本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，训练了正弦函数单调性的应用，是中档题．

8.答案：A

解析：解：如图，

设双曲线的一条渐近线方程为，

H为PQ的中点，可得．

化为．

由F到渐近线的距离，得．

又，，

即，解得．

故选：A．

由题意画出图形，求出F到渐近线的距离，再由向量等式及勾股定理列式求解．

本题考查双曲线离心率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

9.答案：D

解析：解：，，

在上的图象关于直线对称．

作出与的函数图象如图所示：

由图象可知，不关于直线对称，故A错误；

由图象可得，

由是减函数可知，即，

，即故B错误；

同理可得，即，

故而，

又，，

．

，故D正确．

故选：D．

作出的函数图象，根据的单调性得出不等式，再利用对数的运算性质得出各根的关系．

本题考查了方程的根与函数的图象的关系，属于中档题．

10.答案：C

解析：解：由，得，

，

令，即，则，，，

作图如下：

由图得：

单调递增，单调递减，

，故A正确；

，，

，

，故B正确；

，，故C错误．

由不动点，得，，

，，故D正确．

故选：C．

由，得，，令，即，则，，，作出图象，数形结合能求出结果．

本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列、函数性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

11.答案：12  

解析：解：由实数x，y满足作出可行域如图，

联立，解得，可得

化目标函数，

由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最小，

z有最小值为．

当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，

z有最大值为：12．

则的最大值与最小值分别为：12，．

故答案为：12；．

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

12.答案：3  270

解析：解：二项式的展开式中各项系数之和为，

．

展开式的通项公式为，令，求得，

可得展开式中的系数为，

故答案为：3；270．

先求出a的值，再由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数．

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

13.答案： 

解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体为四棱锥体．

如图所示：

由于该几何体的体积，解得．

所以最长的棱长．

其中，，

所以，

所以．

故答案为：；．

首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的棱长和表面积．

本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，几何体的表面公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

14.答案：  

解析：解：，，

，

，

，．

．

．

．

．

故答案为：，．

，，利用正弦定理可得：，，可得B，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15.答案：

解析：解：设，可得，解得；

所以，当且仅当，时等号成立；

故答案为：．

利用和来表示，由1的妙用，转化为基本不等式求得最小值即可．

本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．

16.答案：

解析：解：，即，

当与没有交点或交点在y轴同侧时，此时，解得；

当与的交点在y轴异侧时，则，

当时，最低点交点坐标为，此时，，即；

当时，最低点交点坐标为，此时，，即；

综上，实数b的取值范围为．

故答案为：．

分析可知，，然后以与的交点情况讨论函数的最小值，结合题意，即可求得实数b的取值范围．

本题考查绝对值函数的最值求解，考查分类讨论思想，属于中档题．

17.答案：3

解析：解：，

由题得，，，，

将条件代入可得上式，

当且仅当，取等号，

故的最小值是3，

故答案为：3

根据题意，，将其代入，并且结合，，，，化简整理，进而可求得最小值

本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题．

18.答案：解：因为．

由正弦定理可得，，

即，

因为，

所以，

因为，

所以，

因为，

故，

由题意可得，，

，

故AD．

解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tanA，进而可求A；

由已知结合三角形的面积公式可求b，然后结合向量的线性运算及向量的数量积的性质可求．

本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用及三角结合向量的综合应用，属于中档试题．

19.答案：证明：Ⅰ为菱形，，

为等边三角形，

又是线段CD的中点，

，

即折叠后有，

，

，

而，

，

，

又，

面BOD，

，

又，且，

，

，

面，

．

解：Ⅱ由Ⅰ可知，OB，OD，两两互相垂直，

建立如图空间直角坐标系，

，，

设平面的法行量为，

，

令可得

又

直线AE与平面所成角的正弦值．

解析：Ⅰ推导出为等边三角形从而，折叠后有，，推导出，

从而面BOD，，由，得，由此能证明面，从而．

Ⅱ由OB，OD，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与

平面所成角的正弦值．

本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识。

20.答案：解：时可得：，相减可得：，即，

时，，

数列是等比数列，首项为2，公比为．

．

．

，．

，．

综上可得：．

解析：时可得：，相减可得：，时，，满足上式，利用等比数列的通项公式即可得出．

可得于是对n分类讨论即可得出．

本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、累加求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21.答案：解：设椭圆E、抛物线G的公共焦点，

由点到直线的距离公式得

解得，故，即，

由，

得，

，即，

又，解得

故椭圆E的方程为，

抛物线G的方程为．

设，，，

把直线l的方程，与椭圆E的方程联立，得，

整理得

，

把直线l的方程，与抛物线G的方程联立，得，

得

，

要使为常数，

则，解得

故存在，使得为常数．

解析：根据点到直线的距离公式，以及建立方程关系进行求解即可．

分别联立直线和椭圆，直线和抛物线方程，结合根与系数之间的关系，利用设而不求思想进行转化求解即可．

本题主要考查圆锥曲线方程的求解以及直线和圆锥曲线的位置关系，利用定义法以及联立方程组，利用设而不求思想是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．

22.答案：解：，

当时，，即，

当时，，在上单调递增；

当时，解得，，易知在上单调递减，在上单调递增；

证明：，令，则，即，

依题意，的两根为，，则，

，

要证，只需证，不妨设，

即证，

即证，

即要证为增函数，

而，设，则，

在上单调递增，

，即，

在上单调递增，即得证．

解析：求导可得，然后分及讨论与0的关系，即可求得单调性；

分析可知，则问题转化为证明，设，进一步转化为证明，构造函数，只需证明在上为增函数即可．

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查不等式的证明，考查分析法的运用，考查构造思想及逻辑推理能力，属于中档题．下载本文