一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知直线x－y－2＝0，则该直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B.
C．2 D．不确定
3．在空间直角坐标系中已知点P(0,0，)和点C(－1,2,0)，则在y轴上到P和C的距离相等的点M坐标是( )
A．(0,1,0) B.
C. D．(0,2,0)
4．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( )
A．1或－1 B．2或－2
C．1 D．－1
5．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A.π B.π C.π D.π
6．在空间给出下面四个命题(其中m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)
①m⊥α，n∥α⇒m⊥n ②m∥n，n∥α⇒m∥α ③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β ④m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β
其中正确的命题个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
8．若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A. B．－
C.或 D．－或－
9．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的( )
A．垂心 B．重心
C．外心 D．内心
11．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为( )
A. a3 B.
C. a3 D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．如下图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为________．
14．已知A(0,8)，B(－4,0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是________．
15．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
16．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2015·河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．
18．(本小题满分12分)(2015·福建八县一中联考)已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|＝|OB|，求k的值．
19．(本小题满分12分)(2015·西安一中期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．
求证：(1)C1O∥平面AB1D1；
(2)A1C⊥平面AB1D1.
20．(本小题满分12分)求圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A(0,1)，与直线x＋y＝1相切的圆的标准方程．
21．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)求证：AB⊥平面VAD；
(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的大小．
22.(本小题满分13分)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知直线x－y－2＝0，则该直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析： 直线x－y－2＝0的斜率k＝，故倾斜角为30°，选A.
答案： A
2．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B.
C．2 D．不确定
解析： 由kAB＝＝1，得b－a＝1，
即|AB|＝＝.故选B.
答案： B
3．在空间直角坐标系中已知点P(0,0，)和点C(－1,2,0)，则在y轴上到P和C的距离相等的点M坐标是( )
A．(0,1,0) B.
C. D．(0,2,0)
解析： 设M(0，y,0)，则|MP|＝|MC|，所以＝，解得y＝，故选C.
答案： C
4．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( )
A．1或－1 B．2或－2
C．1 D．－1
解析： 圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得＝1，即|a＋2|＝，
平方整理得a＝－1，故选D.
答案： D
5．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析： 由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆 锥的半径为1，高为，故所求体积为××π×12×＝π，选D.
答案： D
6．在空间给出下面四个命题(其中m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)
①m⊥α，n∥α⇒m⊥n ②m∥n，n∥α⇒m∥α ③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β ④m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β
其中正确的命题个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析： ②中m也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C.
答案： C
7．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
解析： 依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，所以l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0，故选A.
答案： A
8．若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A. B．－
C.或 D．－或－
解析： 由＝，解得a＝－或－，故选D.
答案： D
9．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析： 利用正方体求解，如图所示：
PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，选C.
答案： C
10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的( )
A．垂心 B．重心
C．外心 D．内心
解析： 因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.
因为AH⊥平面BCD，
所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，
所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.
同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，
则H是△BCD的垂心．故选A.
答案： A
11．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析： 圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0的圆心坐标是(－1，－2)，半径是2，圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点，共有3个交点，故选C.
答案： C
12．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为( )
A. a3 B.
C. a3 D.
解析： 取AC的中点O，如图，
则BO＝DO＝a，
又BD＝a，所以BO⊥DO，又DO⊥AC，
所以DO⊥平面ACB，
VD－ABC＝S△ABC·DO
＝××a2×a＝a3.故选A.
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．如下图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为________．
解析： 由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2.故S△ABC＝BC·AO＝×2×2＝2.
答案： 2
14．已知A(0,8)，B(－4,0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是________．
解析： kAB＝＝2，kBC＝
∵kAB＝kBC，∴m＝－6.
答案： －6
15．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
解析： 先求弦心距，再求弦长．
圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
故圆心为(3,4)，半径r＝5.
又直线方程为2x－y＋3＝0，
所以圆心到直线的距离为d＝＝，
所以弦长为2＝2×＝2＝4.
答案： 4
16．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析： 本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．
V四棱锥O－ABCD＝××h＝，得h＝，
∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.
∴S球＝4πOA2＝24π.
答案： 24π
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2015·河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．
解析： 如图所示，作出轴截面，
因为△ABC是正三角形，
所以CD＝AC＝2，
所以AC＝4，AD＝×4＝2，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，
所以＝.
设OE＝R，则AO＝2－R，
所以＝，所以R＝.
所以V球＝πR3＝π·3＝.
所以球的体积等于.
18．(本小题满分12分)(2015·福建八县一中联考)已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|＝|OB|，求k的值．
解析： (1)证明： 法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2)，
故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)．
法二：设直线过定点(x0，y0)，
则kx0－y0＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，
即(x0－2)k－y0＋1＝0恒成立，
所以
解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点(2,1)．
(2)因为直线l的方程为y＝kx－2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－，
依题意1－2k＝2－＞0，解得k＝－1或k＝(经检验，不合题意)
所以所求k＝－1.
19．(本小题满分12分)(2015·西安一中期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．
求证：(1)C1O∥平面AB1D1；
(2)A1C⊥平面AB1D1.
证明： (1)连接A1C1，
设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，
因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，
所以A1ACC1是平行四边形，
D1B1∩AB1＝B1，
所以A1C1∥AC，且A1C1＝AC，
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
所以O1C1∥AO且O1C1＝AO，
所以AOC1O1是平行四边形，
所以C1O∥AO1，AO1⊂平面AB1D1，C1O⊄平面AB1D1，
所以C1O∥平面AB1D1，
(2)因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1，
又因为A1C1⊥B1D1，
所以B1D1⊥平面A1C1C，
即A1C⊥B1D1，
同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1＝B1，
所以A1C⊥平面AB1D1.
20．(本小题满分12分)求圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A(0,1)，与直线x＋y＝1相切的圆的标准方程．
解析： 因为圆心在直线y＝－2x上，设圆心坐标为(a，－2a)，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2，
圆经过点A(0,1)且和直线x＋y＝1相切，
所以有
解得a＝－，r＝，
所以圆的方程为2＋2＝.
21．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)求证：AB⊥平面VAD；
(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的大小．
解析： (1) 证明：∵底面ABCD是正方形，
∴AB⊥AD.
∵平面VAD⊥底面ABCD，平面VAD∩底面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂底面ABCD，
∴AB⊥平面VAD.
(2)取VD的中点E，连接AE，BE.
∵△VAD是正三角形，
∴AE⊥VD，AE＝AD.
∵AB⊥平面VAD，VD⊂平面VAD，∴AB⊥VD.
又AB∩AE＝A，∴VD⊥平面ABE.
∵BE⊂底面ABE，∴VD⊥BE.
∴∠ABE就是平面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角．
在Rt△BAE中，tan∠BEA＝＝＝.
∴平面VAD与平面VDB所成的二面角的正切值为.
22.(本小题满分13分)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
解析： (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xp，yp)
由已知得，
∵P在圆上，∴x2＋2＝25，
即C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1整理得x2－3x－8＝0
∴x1＝，x2＝
∴线段AB的长度为
|AB|＝
＝
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