期末考试试题
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度的线段能组成一个三角形的是（ ）
A．15cm、10cm、7cm B．4cm、5cm、10cm
C．3cm、8cm、5cm D．3cm、3cm、6cm
2．八边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．900° D．1260°
3．如图，∠1=∠2，PD⊥OA于D，PF⊥OB于F，
下列结论错误的是（ ）
A．PD=PF B．OD=OF
C．∠DPO=∠FPO D．PD=OD
4．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
5．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个
①角；②线段；③等腰三角形；④直角三角形；⑤圆；⑥锐角三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．下列运算正确的是（ ）
A．a3b3=（ab）3 B．a2a3=a6 C．a6÷a3=a2 D．（a2）3=a5
8．下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2+x+1 D．x2﹣2x+1
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣ab﹣2b2
10．已知，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD= ．
12．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是 ．
第11题图 第12题图
13．计算：（4x3y﹣8xy3）÷（﹣2xy）= ．
14．化简= ．
15．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器．
16．已知a﹣b=1，a2+b2=25，则ab= ．
三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．如图，网格图中的每小格均是边长是1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，请完成下列各题：
（1）在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于x轴对称；
（2）写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
18．解分式方程：．
19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．求∠ECB的度数．
三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）
20、按下列程序计算，把答案写在表格内：
填写表格：
| 输入n | 3 | |
| -2 | -3 | … | |||
| 输出答案 | 1 | … |
21．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：
（1）∠AEC=∠BED；
（2）AC=BD．
22．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
三.解答题（三）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
23．先化简，再求值：，其中a=，b=．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，FG⊥BC于点G．求证：AE=FG．
25．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD交BE于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：AD=BE；
（2）设∠BPQ=α，那么α的大小是否随D、E的位置变化而变化？请说明理由；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．
2015-2016学年广东省惠州市惠城区八年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度的线段能组成一个三角形的是（ ）
A．15cm、10cm、7cm B．4cm、5cm、10cm
C．3cm、8cm、5cm D．3cm、3cm、6cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、10+7＞15，能组成三角形，故此选项正确；
B、4+5＜10，不能组成三角形，故此选项错误；
C、3+5=8，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+3=6，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．八边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．900° D．1260°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和等于360°进行解答．
【解答】解：八边形的外角和等于360°．
故选B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和等于360°，与边数无关．
3．如图，∠1=∠2，PD⊥OA于D，PF⊥OB于F，下列结论错误的是（ ）
A．PD=PF B．OD=OF C．∠DPO=∠FPO D．PD=OD
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线性质得出PF=PD，根据勾股定理推出OF=OD，根据三角形内角和定理推出∠DPO=∠FPO．
【解答】解：A、∵∠1=∠2，PD⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PD，正确，故本选项错误；
B、∵PD⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PFO=∠PDO=90°，
∵OP=OP，PF=PD，
∴由勾股定理得：OF=OD，正确，故本选项错误；
C、∵∠PFO=∠PDO=90°，∠POB=∠POA，
∴由三角形的内角和定理得：∠DPO=∠FPO，正确，故本选项错误；
D、根据已知不能推出PD=OD，错误，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题主要考查平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
4．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
5．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】多边形内角与外角．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2）180°=900°，
解得：n=7，
∴这个多边形的边数为7．
故选：A
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
6．下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个
①角；②线段；③等腰三角形；④直角三角形；⑤圆；⑥锐角三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】轴对称图形．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据轴对称图形的概念判断各图形即可求解．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：
①角的对称轴是该角的角平分线所在的直线；
②线段的对称轴是线段的垂直平分线；
③等腰三角形的对称轴是底边的高所在的直线；
⑤圆的对称轴有无数条，是各条直径所在的直线，故轴对称图形共4个．
故选C．
【点评】本题考查轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合．
7．下列运算正确的是（ ）
A．a3b3=（ab）3 B．a2a3=a6 C．a6÷a3=a2 D．（a2）3=a5
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】A、原式利用积的乘方运算法则变形得到结果，即可做出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=（ab）3，正确；
B、原式=a5，错误；
C、原式=a3，错误；
D、原式=a6，错误，
故选A．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2+x+1 D．x2﹣2x+1
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】利用因式分解的方法，分别判断得出即可．
【解答】解；A、x2+y2，无法因式分解，故A选项错误；
B、x2﹣y，无法因式分解，故B选项错误；
C、x2+x+1，无法因式分解，故C选项错误；
D、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故D选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣ab﹣2b2
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
10．已知，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可．
【解答】解：∵，
∴﹣=，
∴，
∴=﹣2．
故选D．
【点评】解答此题的关键是通分，认真观察式子的特点尤为重要．
二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD= 5 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由已知条件，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得CD=BD=5．
【解答】解：∵AB=AC
∴∠ABD=∠ACD
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
∴CD=BD=5．
故填5．
【点评】此题主要考查等腰三角形“三线合一”的性质．题目思路比较直接，属于基础题．
12．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是 DC=BC或∠DAC=∠BAC ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．
【解答】解：添加条件为DC=BC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
若添加条件为∠DAC=∠BAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
13．计算：（4x3y﹣8xy3）÷（﹣2xy）= ﹣2x2+4y2 ．
【考点】整式的除法．
【分析】直接利用整式的除法运算法则化简求出答案．
【解答】解：（4x3y﹣8xy3）÷（﹣2xy）=﹣2x2+4y2．
故答案为：﹣2x2+4y2．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．
14．化简= 1 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】首先把两个分式的分母变为相同再计算．
【解答】解：原式=﹣==1．
故答案为：1．
【点评】此题考查的知识点是分式的加减法，关键是先把两个分式的分母化为相同再计算．
15．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 200 台机器．
【考点】分式方程的应用．
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
【解答】解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．
依题意得： =．
解得：x=200．
检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产200台机器．
故答案为：200．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．
16．已知a﹣b=1，a2+b2=25，则ab= 12 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】计算题．
【分析】根据完全平方公式得到（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，再把a﹣b=1，a2+b2=25整体代入，然后解关于ab的方程即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
∴1=25﹣2ab，
∴ab=12．
故答案为12．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了整体思想的运用．
三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．如图，网格图中的每小格均是边长是1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，请完成下列各题：
（1）在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于x轴对称；
（2）写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构写出顶点的坐标．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
；
（2）坐标为：A1（﹣1，﹣4）、B1（﹣2，﹣2）、C1（0，﹣1）．
【点评】本题考查了根据轴对称变化作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
18．解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边乘以（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣8=（x+2）（x﹣2），
解这个方程，得x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．求∠ECB的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB的度数，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，求出∠ACE的度数，计算即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ACB=∠B==72°，
又∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠ACE=∠A=36°
∴∠ECB=∠ACB﹣∠ACE=36°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）
20．按下列程序计算，把答案写在表格内：
（1）填写表格：
输入n 3 ﹣2 ﹣3 …
输出答案 1 1
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
【考点】整式的除法．
【分析】（1）根据计算程序把数据代入即可求出答案；
（2）把n代入计算程序后列出代数式化简即可．
【解答】解：（1）
输入n 3 ﹣2 ﹣3 …
输出答案 1 1 1 1
…
（2）（n2+n）÷n﹣n（n≠0）
=﹣n
=n+1﹣n
=1．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，读表，明确计算程序是正确解答本题的前提．
21．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：
（1）∠AEC=∠BED；
（2）AC=BD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；
（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，
∵CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠AEC=∠BED；
（2）∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC=BD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，关键是根据SAS证明全等．
22．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．
【解答】解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得： =，
解得：x=90，
经检验得：x=90是这个分式方程的解．
x+54=144．
答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．
三.解答题（三）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
23．先化简，再求值：，其中a=，b=．
【考点】分式的化简求值；分母有理化．
【专题】计算题．
【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，能因式分解的先因式分解，进行约分，然后进行减法运算，最后代值计算．
【解答】解：原式=﹣
=﹣
=
=，
当a=，b=时，
原式==．
【点评】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，FG⊥BC于点G．求证：AE=FG．
【考点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得：FG=FA；则只要在确定FA与AE的关系即可确定AE与FG之间的关系；在直角三角形AFC中∠AFC+∠ACF=90°，在直角三角形CDE中，∠DEC+∠ECD=90°，根据角平分线的性质可知：∠ACF=∠DCE，则∠AFC=∠DEC，又知∠AEF=∠DEC，则∠AFC=∠AEF，所以AE=FA，则AE=FG．
【解答】证明：∵CF平分∠ACB，FA⊥AC，FG⊥BC
∴FG=FA
∵∠AFC+∠ACF=90°，∠DEC+∠ECD=90°，且∠ACF=∠ECD
∴∠AFC=∠DEC
∵∠AEF=∠DEC
∴∠AFC=∠AEF
∴AE=FA
∴AE=FG．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质；解题时利用了AF这个中间量进行了等量代换是解答本题的关键．
25．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD交BE于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：AD=BE；
（2）设∠BPQ=α，那么α的大小是否随D、E的位置变化而变化？请说明理由；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BAE即可．
（2）由α=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP即可得出结论．
（3）在RT△PBQ中，利用30度角的性质即可知道PB=2PQ，由此可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°
在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE，
∴AD=BE．
（2）解：不变．由（1）可知：△ACD≌△BAE，
∴∠CAD=∠ABE，
∵α=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°，
（3）解：在△PBQ中，∠PBQ=90°﹣∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的根据利用全等三角形的性质，属于中考常考题型．
