1、比例

对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a c

b

d

=

(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若

322=-y y x , 则_____=y

x

； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）

A ．2，5，10，25

B ．4，7，4，7

C ．2，，4

D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ；

4．：若

43===f e d c b a , 则______=++++f

d b

e c a 5、已知023

a b

=≠，求代数式()225224a b a b a b -⋅--的值．

2、平行线分线段成比例、 定理： 推论：

练习1、如下图，EF∥BC ，若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则

AM∶AN=____,BN∶NC=_____

2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，

求BG ︰BD 。

3、如图，在ΔABC 中，EF 行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与

判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________．

判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式：

1. 若DE∥BC（A 型和X 型）则______________．

2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2

=________，CD 2

=_______，BC 2

=__ ____．

E A D C

B

E

A

D C

B

A

D C

B

练习

1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________

2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________

3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________

4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （ ）

A BC

AB CD

AC = B CD

BD AC

AB = C CB CD AC •=2 D BD AD CD •=2

5.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）

6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4

A ．

B ．

C ．

D ． A

B

C

D O

A

C

A C

A B

E C

D E

D

D

A. 只有1个

B. 可以有2个

C. 可以有3个

D. 有无数个

4 、相似三角形的性质与应用

1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．

2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．

3. 相似三角形的对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比

等于_________．

练习1、如图，路灯距离地面8米，身高米的小明站在距离灯的底部（点O）

20米的A处，则小明的影子AM长为米．

3、如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与

四边形MBCN的面积比为( )．

(A) 1

2

(B)

1

3

(C)

1

4

(D)

2

3

3、如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A．B．C．D．

4、如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．

5、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，

则AE的长为．

6.如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直

线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）

的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．7.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）

A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2

8、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为（）

A．2B．或C．或D．2或或

5、相似多边形

（1）对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．

（2）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等

（3）相似多边形对应边的比称为相似比．相似多边形面积的比等于相似比的平方．练习

1.如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图

中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）

A. 2 cm2

B. 4 cm2

C. 8 cm2

D. 16 cm2

2.（2011.潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将△AB E向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）

A．

21

5-B．

21

5+ C．3D．2

4、将一个长为a，宽为b的矩形，（1）分为相同的两个矩形，且与原矩形相似，求a:b

(2)分为相同的三个矩形，且与原矩形相似，求a:b

(3)割掉一个正方形，剩余的矩形与原矩形相似，求a:b5、如图，AB∥EF∥CD，

（1）AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长。

（2）AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求EF的长。

（3）若上下两个梯形相似AB＝4，CD＝8，求EF的长

6、位似

位似图形：如果两个多边形不仅，而且对应顶点的连线，对应边或，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做，这时的相似比又称为．

①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是图形，而相似图形不一定是图形；

②两个位似图形的位似中心只有一个；

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于．

（5）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

（6）关于原点位似的特征

作位似图形的几种可能：

F

A

D E

B

C

放大 缩小 同侧 正像

异侧 倒像

1、如图，路灯距地面8米，身高米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（ ）

A ．变短米

B ．变长米

C ．变长米

D ．变短米

2、小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1m 长的标杆测得其影长为，同时旗杆

的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为和2m ，你能帮助小芳同学算出

学校旗杆的高度

综合练习

1.如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 2

1 。

若△DEF 的面积为2，则□ABCD 的面积是 。

2、如图，已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点P ，AB=4，CD=7，AD=10，则AP=（ ） A ．

4011 B ．407

C ．7011

D ．704

2m

O

B N

A

M

3、已知平行四边形ABCD 中，AE∶EB=1∶2，求△AEF 与△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求S △CDF .

4、E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE∶EC=1∶3，BE 的延长线交CD 的延长线于G ，交AD 于F ，求证：BF∶FG=1∶2.

5、已知如图，在平行四边形ABCD 中，DE=BF,求证：

DQ CD =PQ

PD

.

6、如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD 的延长线于G ，求证：OG 2=GE·GF.

基本方法

1、（做平行线构造成比例线段）如图，已知⊿ABC 中，D 为 AC 上的一点，AD∶DC= 3∶2， E为 CB

A

延长线上的一点，ED 和 AB 相交于点 F ，EF=FD 。 求：EB ∶BC 的值。

2、已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．

（1）求AE

AC 的值；（2）若AB a FB EC ==，求AC 的长．

3、在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于F 、G ，则CF∶FG∶GM=5∶3∶2

A B F E

C

D

1.【等线段代换法】 在△ABC 中，AB=AC,直线DEF 与AB 交于D ，与BC 交于E ，与AC 的因此线交于F 。求证：CF

EF

BD DE =

。

2、已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E.求证：DE 2=BE·CE.

【中间比例过渡法】已知△ABC 中，DE ∥BC,BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 分别交于点N 、M ， 求证：OM

ON

AM AN =

。

中考题荟萃

1、如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN⊥AC 于点N ，则MN 等于【 】 A.

65 B. 95 C. 125 D. 165

2、如图，ABC ∆中，AD 是中线，DAC B BC ∠=∠=,8,则线段AC 的长为( )

A ．4

B ．24

C ．6

D ．34

3、如图27－65所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F . (1)求证△ABC ∽△FCD ；

(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长

4、如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB=OD ，OC=OA+AB ，AD=m ，BC=n ，∠ABD+∠ADB=∠ACB ．

（1）填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为 ；（2）求的值；

（3）将△ACD 沿CD 翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD 相交于点P ．若CD=，

求PC 的长．

25、已知ΔABC ，AB=AC,D 在AB 上，E 在AC 上，且∠AED=∠B=600

,若CE:DE:BC=1：2：3，设AD=m ，DB=n ， （1）填空：

AB AE

的值是 。 （2）求

n m

的值

（3）将ΔADE 沿DE 翻折，得到ΔA 1DE,A 1D 交BC 于M

A 1E 交BC 于N,若MN=5556

,求BM 的长。

A

D

E

C

B

M

A

D

E

C

B

A 1 N

v1.0 可编辑可修改

6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y．（1）求证：∠ADP=∠DEC；

（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

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