2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参及评分标准
说明：1．参与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解
法供参考，如果考生的解法与参不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部 分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.
题号
答案
1
A 2
A 3
B 4
C 5
C 6
C 7
B 8
D 9
D 10
C
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题
5 分，满分 20 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题．
11. 300 12. 3 13. 32 14. 15. 2 3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分 12 分） (本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: f x 2sin x cos x cos2x
sin2x cos2x
2 2 2 sin 2x 2
2
cos2x
考查化归与转化
…… 2 分 …… 3 分
2 sin 2x
4
2
2 ∴ f x 的最小正周期为
(2) 解:∵ f
2 3 , .
, 最大值为
2 . ∴ 2sin 2
…… 4 分
…… 6 分
∴ cos 2 . 3
∵ 为锐角，即 0 ,
8 1
2 3 2 . …… 7 分
…… 8 分
∴ 0
2 .
2
∴sin 2 1 cos
2
∴ tan 2
sin 2
cos 2 2 2 2 . 3
…… 10 分
2 .
…… 12 分
17．（本小题满分 12 分）
(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
1
(1) 解： x 107 111111113 114 122 113 甲
考查或然与必然的数学思想方法，
, …… 1 分
…… 2 分
x 108 109 110 112 115 124 113 乙
6
6
1 , S 107 113 111113 111113 113 113 114 113 12
2 11
3 2
甲 2 2 2 2 2
6
1 2
S 108 113 109 113 110 113 112 113 115 113 124 113 2
乙 2 2 2 2
2
6
88 3
, …… 4 分 =21,
1 …… 3 分
2
∵ x 甲 x 乙 , S 甲
S 乙
2
2
, ∴甲车间的产品的重量相对较稳定.
…… 5 分
…… 6 分
(2) 解: 从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,共有 15 种不同的取法 : 1 08，109，108， ，
112 ，108 115， ，108 124， ，109 110， ，109 112， ，109 115， ，109 124， ，110 112， ，
108， 110， 115 ，110 124， ，112 115， ，112， 115，
124 , 124 . …… 8 分
110
设 A 表示随机事件"所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克
108，109，108， 故所求概率为 P A
18. （本小题满分 14 分）
4
15
.
110 , 109 110， ，110， 112 .
…… 10 分 …… 12 分
(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方
法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
（ 1）证明:连接 B 1C ,设 B 1C 与 BC 1 相交于点O ,连接
OD ,
∵ 四边形 BCC 1B 1 是平行四边形,
∴点 O 为 BC 的中点.
1
∵ D 为 AC 的中点，
∴ OD 为△ ABC 的中位线,
1
∴ OD // AB 1 .
A 1
A
E
D
…… 3 分
∵ OD 平面 BC 1D , AB 1 平面 BC 1D ,
∴ AB 1 // 平面 BC 1D .
…… 6 分
B 1
B
O
(2)解法 1: ∵ AA 1 平面 ABC , AA 1 平面 AAC C ,
1 1
C 1
C
∴ 平面 ABC 平面 AAC C ，且平面 ABC 平面 AAC C AC . 1 1
作 BE AC ，垂足为 E ，则 BE 平面 AAC C ，
1 1
∵ AB BB 1 2 ， BC 3，
2 1 1
…… 8 分
在 Rt △ ABC 中， AC AB BC 4 9 13 ， BE 2
AB BC AC
6 13
，
…… 10 分
…… 12 分
∴四棱锥 B AAC D 的体积V AC AD AA BE 1 1
1 1
1
2
6
∴四棱锥 B AAC D 的体积为3 .
1 1
3 1 3 2 13
2 6 13
3 . 1 1
…… 14 分
解法 2: ∵ AA 1 平面 ABC , AB 平面 ABC ,
∴ AA 1 AB .
∵ BB 1 // AA 1 ,
∴ BB 1 AB .
∵ AB BC , BC BB 1 B ,
∴ AB 平面 BBCC .
1 1
…… 8 分
A 1
A
D
B 1
B
O
E
C 1
C
1
取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 DE // AB , DE AB ,
2
∴ DE 平面 BB 1C 1C .
三棱柱 ABC A B C 的体积为V AB BC AA 6 ,
1 1
1
1
…… 10 分
BC CC 1 DE V 1,V 3 2
6 1 1
1
2
1 B 1C 1 BB 1 A 1B
1 V
2 .
3 2 3 …… 12 分
1 1 1 则V D B CC
1
A 1
B B
1C 1
而V V D B CC
1
V A
1
B B
1
C 1
V ∴ 6 1 2 V
B AA 1C
1
D .
B AA
1
C
1
D ,
∴V
B AA 1
C 1D
3 .
∴四棱锥 B AAC D 的体积为3 .
1 1
19．（本小题满分 14 分）
(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, …… 14 分
考查数形结合、化归与转化、
函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解法 1: 设动点 P 的坐标为x , y ,依题意,得 PF x 1 ,
2 2
x 1 y x 1 ,_謀
2
化简得: y 4x ,
2
∴曲线 C 1 的方程为 y 4x .
解法 2:由于动点 P 与点 F (1,0) 的距离和它到直线l : x 1的距离相等，
…… 2 分
…… 4 分
∴曲线 C 1 的方程为 y 4x .
（ 2）解: 设点T 的坐标为 (x 0, y 0 ) ,圆 C 2 的半径为 r ，
2
∵ 点T 是抛物线 C 1 : y 4x 上的动点,
2
∴ y 0 4x 0 ( x 0 0 ). ∴ AT x a y 0 2
2
根据抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是以点 F (1,0) 为焦点,直线l 为准线的抛物线.
…… 2 分
2 …… 4 分
…… 6 分
x 0 2ax 0 a 4x 0
2 2
0 x α 2
4a 4 .攀椀
∵ a 2 ,∴ a 2 0 ,则当 x 0 a 2 时, AT 取得最小值为 2 a 1 ,
依题意得 2 a 1 a 1,
2
两边平方得 a 6a 5 0 ,
解得 a 5 或 a 1(不合题意,舍去).
2
∴ x 0 a 2 3 , y 0 4x 0 12 ,即 y 0 2 3 .
∴圆C 2 的圆心T 的坐标为 3, 2 3 .
∵ 圆C 2 与 y 轴交于 M , N 两点，且| MN | 4 ,
2 2
∴ | MN | 2 r x 0 4 .
2
∴ r 4 x 0 13 .
∵点T 到直线 l 的距离 d x 0 1 4 13 , ∴直线 l 与圆 C 2 相离.
20．（本小题满分 14 分）
2
(本小题主要考查数列、不等式等知识,
…… 8 分
…… 10 分
…… 12 分
…… 14 分
考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽
象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （ 1）解：∵数列
S
n
是首项为1,公差为1的等差数列，
∴ S 1n 1 n . n 2
∴ S n n .
当 n 1时， a 1 S 1
1；
当 n 2 时， a n S n S
又 a 1 1适合上式.
∴ a n 2n 1.
（ 2）解：b
n
n 1 …… 2 分
n n 1 2n 1. 2
2 …… 4 分
a n S
2n 1 1
a
n S1
2n 1
1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1
2n 12n 1 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2 2n 12n 1
1 1 1
2 2n 1 .
2n 1
…… 6 分
n
∴
b b b b
i
1
2
n
i 1
1
2 1
2
n 1 1 1 1 3 2 3 1 1
5 1 1 2 2n 1 1 2n 1
1 故要使不等式 b i i 1
2n 1 1 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 L
2n 1 1 . …… 8 分
* 对任意 n N 都成立， 2n 1 1 L 2n 1 1
即 *
对任意 n N 都成立，
得
L
2n 1 1
2 n
2n 1
c n . 3
3
，则
2n 1 1
n 1 2n 1 n 2n 3 n 1
c
1
3
3
令
c
n
2n
1
c n 1 c n n
2n 1 *
对任意 n
N 都成立.
2n
5n 4n 1 3 2 2n 3
3n
2 …… 10 分
1.
∴ c n 1 ∴ c
n c . …… 12 分
∴
L
. ∴实数 L 的取值范围为 ,
[另法]: c
n 1 c
n
n 1 2n 3
n 2n 1
3
3
. n 1 2n 1 n 2n 3
2n 12n 3
…… 14 分
3 2 3
3
2n 5n 4n 1 2n 3n 2n 12n 3
∴ c
n
c
n 1
c
1
0 .
∴ c n 1 c n
.
3
3
. …… 12 分
∴
L
3 3
.
∴实数 L 的取值范围为
,
21．（本小题满分 14 分） 3
3 .
…… 14 分
(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分
类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
(1) 解：∵ f 0 0 ，∴ c 0 .
∵对于任意 x R 都有 f x f x , 1 2 1 2 ∴函数 f x 又 f x x 1
的对称轴为 x ，即 2
b 2a ，得 a b . 2
1 …… 1 分
…… 2 分
，即 ax b 1 x 0 2
对于任意 x R 都成立， ∴ a 0 ,且 b 1 0 ． 2
∵ b 1 0 ，
2 2
∴b 1, a 1．
∴ f x x x ．
…… 4 分
(2) 解： g x f x x 1
x 1 x 1, x ,
2 x 1 x 1, x . 2
1 1
…… 5 分
① 当 x 时，函数 g x x 1 x 1
2 若 1 2 1 2 1
，即 0 2，函数 g x 1 ，即 2 ，函数 g x
在 1 1
的对称轴为
x
1
2
， , 上单调递增；
…… 6 分 1 2 若 , 上单调递增，在
1 1
2 , 在 上单调递减． …… 7 分
② 当 x 时，函数
g x x 1 x 1
2 则函数
g x 在
1 1 , 2
1
的对称轴为 x 1
1
2 ，
上单调递增，在 , 1
2 上单调递减． …… 8 分 1 2
综上所述，当 0 2时，函数 g x , 1
2 单调递增区间为
, ，单调递减区间为 ；
…… 9 分 当 2 时，函数 g x
,
单调递增区间为
1 1 1 ,
2 和
2
, ，单调递减区间为 1 1 1
, 2 和 2 ． …… 10 分
(3)解：① 当 0 2时，由(2)知函数
g x
在区间 0,1 上单调递增，
又
g 0 1 0, g 1 2 1 0，
故函数
g x 在区间 0,1 上只有一个零点．
…… 11 分
② 当 2 时，则 1，而
g 0 1 0, g
2
1 （ⅰ）若
2 3，由于
2
且 g 1 1 2
2
1 2
1， 1 1
1 1
2 0 ， 1
1 1
1 4 2
1 2 1 0 ， 此时，函数 g x 在区间 0,1 上只有一个零点；
…… 12 分 ，此时，函数 g x 在区间
0,1
（ⅱ）若 3，由于 1 2 1
且 g 1 2 1 0 上有两个不同的零点．
综上所述，当 0 3时，函数
g x
当 3时，函数
g x
…… 13 分
在区间 0,1 上只有一个零点；
在区间 0,1 上有两个不同的零点． …… 14 分下载本文
