数学试卷（答案在最后）
一、单项题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={1，3，4，5}B ={2，4，6，8}则A B ⋃=（）
A.{1，2，3，4，5，6，7，8}
B.{1，2，3，4，6，8}
C.{1，2，3，4，5，6，8}
D.{4}
【答案】C 【解析】
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】根据并集的知识可知{}1,2,3,4,5,6,8A B ⋃=.故选：C
2.设x ∈R ，则“3x <”是“2x x <”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必条件
【答案】B 【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】333x x <⇔-<<，
()22,10x x x x x x <-=-<，解得01x <<，
所以“3x <”是“2x x <”的必要不充分条件.故选：B
3.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）
A.1y x
=
B.3
y x =- C.2
y x = D.2
y x =+【答案】B 【解析】【分析】
利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可.
【详解】对于A ，1
y x
=为奇函数，在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A 不合题意；
对于B ，3y x =-为奇函数，在定义域R 上为减函数，所以B 符合题意；对于C ，2y x =为偶函数，所以C 不合题意；
对于D ，由于2y x =+为非奇非偶函数，所以D 不合题意，故选：B.
4.设0.8
0.1
0.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A.a ＜b ＜c
B.b ＜a ＜c
C.b ＜c ＜a
D.c ＜a ＜b
【答案】D 【解析】
【分析】结合指数函数、对数函数的性质确定正确答案.【详解】0.83b =，
3x y =在R 上递增，所以0.10.8133<<，即1a b <<.
0.7log y x =在()0,∞+上递减，所以0.70.7log 0.8log 0.71<=，
所以c m n +的最小值为（） A.4 B.6 C.9 D.12 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式即可求解．【详解】因为m +n ＝1（m ＞0，n ＞0），则 112224m n m n n m m n m n m n +++=+=++≥+=，当且仅当12m n ==时取等号． 故选：A ． 6.设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪ ==⎨⎪-<⎩ ，则函数()f x =sgn x x 的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数f （x ）=|x|sgnx=,00,0,0x x x x x >⎧⎪ =⎨⎪<⎩ =x ， 故函数f （x ）=|x|sgnx 的图象为y=x 所在的直线，故答案为C ． 7.设函数()f x ＝x 2﹣2x +2，若()f x ≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A.2,2⎡⎤--⎣⎦ B.() 2,--+∞ C. (,2⎤-∞⎦ D. (] ,1-∞【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为22t x x ≤+-在[)1,+∞上恒成立，结合对勾函数的性质求出2 2y x x =+-的最小值即可． 【详解】因为()f x ≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，所以x 2﹣2x +2≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，等价于2 2t x x ≤+ -在[)1,+∞上恒成立， 由对勾函数的性质可知2 2y x x =+ -在x =处取最小值为2-，所以2t ≤-， 所以实数t 的取值范围是( ,2⎤-∞⎦．故选：C . 8.已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则函数() 1 2f x y x =-的零点为（） A. 1 2 B. 13 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据()f x 单调，结合已知条件求出()f x 的解析式，然后再进一步研究函数() 12 f x y x =-的零点． 【详解】解：因为()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且对任意的()0,x ∈+∞，都有 ()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦， 故可设存在唯一的实数()0,C ∞∈+，使得()3f C =，则设()2log f x x C -=，所以()2log f x x C =+，所以()2log 3f C C C =+=，则2log 3C C =-，由于函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，函数3y x =-在()0,∞+上单调递减， 又2log 2132==-，所以2C =，故()()22log 2log 4f x x x =+=再令() 12 0f x x - =，()0,x ∈+∞，得：1 40x x -=，解得12x =±（负值舍去）． 则函数() 12f x y x =-的零点为1 2.故选：A ． 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.下列各组函数为同一个函数的是（ ） A.()f x x =，()2 x g x x = B.()1f x =，()()0 1g x x =- C. ()2 f x x = ，() () 2 x g x =D.()216 4 t f t t -=-，()4g t t =+() 4t ≠【答案】CD 【解析】 【分析】逐项判断即可，A 项定义域不同；B 项定义域不同；CD 项化简后三要素相同； 【详解】对于A ：()f x x =的定义域为R ，()2 x g x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故A 错误；对于B ：()1f x =的定义域为R ，()()0 1g x x =-的定义域为()(),11,-∞+∞ ， 因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故B 错误； 对于C ：()2 f x x =的定义域为()0,∞+，() () 2 x g x =的定义域为()0,∞+， ()2 1 f x x = =，() () 2 1x g x ==，所以这两个函数是同一函数，故C 正确； 对于D ：()216 4t f t t -=-的定义域为()(),44,-∞⋃+∞， ()4g t t =+()4t ≠的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，()214 t f t t t -==+-，所以这两个函数是同一函数，故D 正确； 故选：CD. 10.下列说法正确的有（ ） A.命题“R x ∀∈，x 2+x +1＞0”的否定为“2R,10x x x ∃∈++≤” B.函数f （x ）＝log a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（1，1） C.已知函数f （x ）＝|x |+2，则f （x ）的图象关于直线x ＝2对称 D. 373log 7 log 4log 4 =【答案】AB 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可判断A ；利用函数平移的即可判断BC ；由换底公式可可判断D 【详解】对于A 选项：“∀x ∈R ，x 2+x +1＞0”的否定为“∃x ∈R ．x 2+x +1≤0”，故A 正确； 对于B 选项：由函数对数函数y ＝log a x （a ＞0且a ≠1）恒过（1，0），所以f （x ）＝log a x +1恒过（1，1），故B 正确； 对于C 选项：由函数y ＝|x |图像关于x ＝0对称，所以f （x ）＝|x |+2，关于x ＝0对称，故C 错误；对于D 选项：由换底公式373log 4 log 4log 7 =，故D 错误；故选：AB ． 11. 若0,0a b >>，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. 2b a a b +≥ B.a 3+b 3≥a 2b +b 2a C. 2 a b +≤ D. 136 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论，不等式的性质及对勾函数单调性分别检验各选项即可判断．【详解】对A ：当a ＞0，b ＞0时， 2b a a b +≥，当且仅当a ＝b 时取等号，A 正确；对B ：a 3+b 3﹣a 2b ﹣ab 2＝a 2（a ﹣b ）+b 2（b ﹣a ）＝（a ﹣b ）2（a +b ）≥0，故a 3+b 3≥a 2b +b 2a ，B 正确； 对C ：()()2 2 2222 202444a b a b a b a b ab +-++--==≥ 2a b +≥，C 错误；对D ：令32t ==，又1y t t =+在[)1,+∞上单调递增，且当3 2t = 时，136y =，故136 y ≥，D 正确．下证()1 f x x x =+ 在()1,+∞上单调递增： 在()1,+∞上任取12x x <，则()()()12121212121111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝ ⎭，因为121x x <<，故121210,10x x x x -- ，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()1f x x x =+ 在()1,+∞上单调递增.故选：ABD ．12.已知函数()(),f x g x 是定义在R 上的函数，其中f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，若对于任意121x x >>，都有 ()()12124g x g x x x ->-，则实数a 可以为（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】AB 【解析】 【分析】由已知结合函数的奇偶性可求()g x ，由函数的单调性定义分析可得，令()()4h x g x x =-，判断出()h x 在()1,+∞上单调递增，结合二次函数的性质分析可得a 的取值范围． 【详解】根据题意，f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，则f （﹣x ）+g （﹣x ）＝ax 2+x ， 两式相加可得f （x ）+f （﹣x ）+g （x ）+g （﹣x ）＝2ax 2， 又由f （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以2g （x ）＝2ax 2，即g （x ）＝ax 2， 若对于任意121x x >>，都有 ()()12124g x g x x x ->-，变形可得()()112212440g x x g x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-，令()()244h x g x x ax x =-=-，则h （x ）在区间()1,+∞上单调递增， 若a ＝0，则h （x ）＝﹣4x 在()1,+∞上单调递减，不满足题意； 若0a ≠，则h （x ）＝ax 2﹣4x 是对称轴为2x a =的二次函数，若h （x ）在区间()1,+∞上单调递增，只需021a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得2a ≥，所以a 的取值范围为[)2,+∞，则a 可以取值3，2. 故选：AB 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()()lg 2f x x = -定义域为_________．【答案】() 2,+∞【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意21020 x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x >，所以()f x 的定义域为()2,+∞. 故答案为：() 2,+∞14.已知函数()()2,32,3 x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()4f =_____．【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】由于()( )2,32,3x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()()()2 442224f f f =-===.故答案为：4 15.若幂函数()() 233m f x m m x =--⋅在()0,∞+上为增函数，则实数m =_____．【答案】4 【解析】 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求得m 的值. 【详解】()f x 是幂函数，所以22331,340m m m m --=--=， 解得4m =或1m =-. 当4m =时，()4 f x x =，在()0,∞+上递增，符合题意.当1m =-时，()1f x x =，在()0,∞+上递减，不符合题意.综上所述，m 的值为4. 故答案为：4 16.在函数y ＝3x 图象上有A （x 1，t ） ，B （x 2，t +3），C （x 3，t +6）（其中t ≥3）三点，则△ABC 的面积S （t ）的最大值为________．【答案】333log 22- ．【解析】 【分析】先利用对数式，求出x 1，x 2，x 3，然后即可将△ABC 的面积表示成()213332 S x x x =- +的形式，代入x 1，x 2，x 3，求其最大值即可． 【详解】根据题意，函数y ＝3x 图象上有A （x 1，t ），B （x 2，t +3），C （x 3，t +6）（其中t ≥3）三点，所以3123,33,63x x x t t t =+=+=， 即x 1＝log 3t ，x 2＝log 3（t +3），x 3＝log 3（t +6），() ABC AFC BDC AEB BDFD S S S S S =-++ ()()()()()313221322131113633332222x x x x x x x x x x x ⎡⎤=⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-=-+⎢⎥⎣⎦ 即()()333113log 3log log 622S t t t ⎡ ⎤=+--+⎢⎥⎣⎦ 3333log 3log 3log S ==,∵t ≥3，∴33log S =∴ t ＝3时，max 3 333log 3log 22S ==-．故答案为：333log 22 -． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知集合{}()(){}1,2,|10A B x x x a =-=+-=． （1）若3a =，求A B ⋂； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合． 【答案】（1）{} 1-（2）{} 1,2-【解析】 【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案. （2）根据A B A ⋃= 对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【小问1详解】 依题意{}1,2A =-， 当3a =时，()(){}{}|1301,3B x x x =+-==-， 所以{}1A B ⋂=-. 【小问2详解】 由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =， 若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃= ，符合题意.若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =. 综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-. 18.计算下列各式的值． （1）1 1 34 20.02716log 8---； （2）3ln 252lg 4lg e 8++．【答案】（1）53 - （2）9 【解析】【分析】（1）利用指数运算公式和对数运算公式，即可解出； （2）利用对数运算公式，即可解出． 【小问1详解】 原式()()113433421050.32log 22333 -⎡⎤=--=--=-⎣⎦；【小问2详解】原式32ln 25lg 4lg e 8=++5lg16lg 88 =++5lg 1688⎛⎫=⨯+ ⎪⎝ ⎭lg10=+=.19.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，并且满足()()()(),12f x y f x f y f +=+=． （1）求()0f 的值； （2）判断函数()f x 的奇偶性； （3）若()()236f x f x +-<，求x 的取值范围． 【答案】（1）0； （2）奇函数； （3）(),0-∞. 【解析】 【分析】 （1）令x ＝y ＝0，即可得答案；（2）令y ＝-x ，结合(1)的结论即可判断； （3）由题意可得()()12,36f f ==，则原不等式等价于()()33f x f +<，由()f x 是定义在R 上的增函数求解即可． 【小问1详解】 令x ＝y ＝0，得()()()000f f f =+，解得()00f =. 【小问2详解】 因为函数()f x 的定义域为R ， 令y ＝-x ， 则有()()()0f f x f x =+-，即()()0f x f x +-=， ∴函数()f x 为奇函数， ∴()f x 为奇函数； 【小问3详解】 因为()12f ＝， 所以()()()()21111224f f f f +++＝＝＝＝， 又因为()()()()32121246f f f f +++＝＝＝＝， 即由()()236f x f x +-<，则()()()233f x f x f +-<， 即()()()()23333f x x f f x f +-<⇔+<， 又因为()f x 为增函数，所以33x +<，解得0x <， 故x 的取值范围为(),0∞-． 20.近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x （0＜x ≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为()I x 万元，满足： ()26102,02030509000440,2050x x I x x x x -<≤⎧⎪=⎨+-<≤⎪⎩ ．（1）写出年利润()P x （单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？ 【答案】（1）()22160180,0209000102870,2050x x x P x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩； （2）当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元．【解析】 【分析】（1）由已知条件，根据利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本即可建立年利润()P x （单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数关系式； （2）根据（1）所得分段函数()P x ，分别求出各段的最大值，比较大小即可得答案．【小问1详解】 当0＜x ≤20时，()P x ＝x ()I x ﹣（180+450x ）＝610x ﹣2x 2﹣180﹣450x ＝﹣2x 2+160x ﹣180，当20＜x ≤50时， ()()()90009000 1804504403050180450102870P x xI x x x x x x x =-+=+- --=--+所以，()22160180,020 9000 102870,2050x x x P x x x x ⎧-+-<≤⎪ =⎨--+<≤⎪⎩ .【小问2详解】 当0＜x ≤20时，()P x ＝﹣2x 2+160x ﹣180＝﹣2（x ﹣40）2+3020， 则函数()P x 在（0,20]上单调递增，故当x ＝20时，()P x 取得最大值，且最大值为2220；当20＜x ≤50时，()90009000102870102870P x x x x x ⎛ ⎫=-- +=-++ ⎪⎝ ⎭ 287060028702270≤-=-+=，当且仅当9000 10x x = ，即x ＝30（负值舍去）时等号成立，此时()P x 取得最大值，且最大值为2270，因为2270＞2220， 所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元．21.已知函数()e e x x f x k -=+为奇函数． （1）求实数k 的值； （2）若对任意的x 2∈[]1,2，存在x 1∈[ ),t +∞，使()21e x t f x -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1-；（2）()ln 1e , 2+⎛⎫ -∞ ⎪⎝ ⎭ ． 【解析】 【分析】（1）根据()00f ＝求解即可； （2）求得()y f x =和e x t y -=在对应区间上的最小值，根据其大小关系，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为x ∈R ，()f x 为奇函数，所以()010f k +＝ ＝，所以1k -＝，()e e x x f x -=-，经检验，满足题意， 故1k =-.【小问2详解】 因为任意的x 2∈[]1,2，存在x 1∈[ ),t +∞，使()21e x t f x -≤成立， 所以()f x 在[t ,+∞)上的最小值小于或等于()e x t g x -＝在[1,2]的最小值， 易知()f x ＝e x ﹣e ﹣ x 在R 上为增函数，所以()f x 在[t ,+∞)上也为增函数， 所以()f x 的最小值为f (t )＝e t ﹣e ﹣ t ， 令m ＝|x ﹣t |，当t ≤1时，m ＝|x ﹣t |在x ＝1处取小值为1﹣t ，所以()g x 的最小值为e 1﹣ t ， 所以e t ﹣e ﹣t ≤e 1﹣ t ，即(e t )2≤1+e ，所以()()ln 1e 2ln 1e 2 t t +≤+⇒≤ ，所以()ln 1e 2 t +≤ ； 当1＜t ＜2时，m ＝|x ﹣t |在x ＝t 处取小值为0，所以()g x 的最小值为e 0＝1，e t ﹣e ﹣ t ≤1，即()21e 1e e 10e t t t t - ≤⇔--≤，令k ＝e t ，k ＞0，则k 2﹣k ﹣1≤0，解得1502k +<≤， 即102t e +<≤ ，解得1ln 2 t ≤＜ln e ＝1，与t ＞1矛盾，故舍去；当t ≥2时，m ＝|x ﹣t |在x ＝2处取小值为t ﹣2，所以()g x 的最小值为 e t ﹣2，e t ﹣e ﹣t ≤e t ﹣2，即 2 2 e e e 1 t ≤-，所以()2 22e lg 2lg e 1e 1t ≤=---与t ≥2矛盾，故舍去． 综上所述，t 的范围为：()ln 1e ,2+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ． 下证()f x ＝e x ﹣e ﹣ x 在R 上为增函数： 在R 上任取12x x <，则()()() 121 21212 121e e e e e e 1e x x x x x x x x f x f x --+⎛ ⎫-=--+=-⨯+ ⎪⎝⎭ ，又当12x x <时，12e e 0x x -<，12 110e x x ++ >，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 故()f x ＝e x ﹣e ﹣ x 在R 上为增函数. 22.已知函数()f x ＝x 2+bx +c （1≤b ≤2），记集合A ＝{x |()f x ＝x }，B ＝{x |()()f f x ＝x }． （1）若b ＝1，c ＝1-，求集合A 与B ； （2）若集合A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 1，x 2，x 3，x 4} 并且34x x -≤恒成立，求c 的取值范围． 【答案】（1）A ＝{﹣1，1}，B ＝{﹣1，1}；（2）5,14⎡⎫ - -⎪⎢⎣⎭ ．【解析】 【分析】（1）由二次方程的解法可得集合A ；由因式分解可得集合B ；（2）将()()f f x ＝x 展开，并运用二次函数的零点式，结合韦达定理，可得x 1 +x 2 ＝1﹣b ，x 1x 2 ＝c ，x 3 +x 4 ＝﹣1﹣b ，x 3x 4＝c +1+b ，再由不等式恒成立思想解不等式可得所求取值范围．【小问1详解】 当b ＝1，c ＝﹣1时，()f x ＝x 2+x ﹣1， ()f x ＝x 2+x ﹣1＝x ，可得x 2﹣1＝0， 解得x ＝1或x ＝﹣1，所以A ＝{﹣1，1}； ()()f f x ＝x ，故可得（x 2+x ﹣1）2+（x 2+x ﹣1）﹣1＝x ， 化简得x 4+2x 3﹣2x ﹣1＝0， 即（x 2﹣1）（x +1）2＝0，可得（x ﹣1）（x +1）3＝0，解得x ＝1或x ＝﹣1，所以B ＝{﹣1，1}；【小问2详解】 ()f x ﹣x ＝x 2+（b ﹣1）x +c ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）， ()()f f x ﹣x ＝()()f f x ﹣()f x +()f x ﹣x ＝（f （x ）﹣x 1）（f （x ）﹣x 2）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2） ＝（f （x ）﹣x +x ﹣x 1）（f （x ）﹣x +x ﹣x 2）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2+1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 1+1）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）[（x ﹣x 2+1）（x ﹣x 1+1）+1]，而x 1+x 2＝1﹣b ，x 1x 2＝c ， 所以x 3+x 4＝x 1+x 2﹣2＝1﹣b ﹣2＝﹣1﹣b ，x 3x 4＝x 1x 2+2﹣（x 1+x 2）＝c +1+b ， 所以34||x x = =≤-恒成立， 可得（1+b ）2﹣4（1+b +c ）＞0，且（1+b ）2﹣4（1+b +c ）≤2恒成立， 由1≤b ≤2，可得2≤1+b ≤3，则g （b ）＝（1+b ）2﹣4（1+b ）的值域为[﹣4,﹣3]，所以4c ＜﹣4且4c +2≥﹣3，解得5 14 c - ≤<-，即c 的取值范围是5,14⎡⎫ - -⎪⎢⎣⎭ ．下载本文
