【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质
(1) 圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．
②弧：圆上任意两点间的部份叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，通过圆心的弦叫做直径．
（2）圆的有关性质
①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的弧．
说明：按照垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来讲，若是具有：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
③弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部份叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)
④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，若是两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都别离相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够彼此重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角：极点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
（3）对圆的概念的理解：
①圆是一条封锁曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一肯定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）
2.与圆有关的角
（1）圆心角：极点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
（2）圆周角：极点在圆上，两边别离和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
（3）圆心角与圆周角的关系：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
（4）圆内接四边形：极点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．
3. 点与圆的位置关系及其数量特征：
若是圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <===> d=r;
②点在圆内 <===> d 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方式就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 4. 肯定圆的条件: 1. 理解肯定一个圆必需的具有两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 通过一点可以作无数个圆,通过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 通过三点作圆要分两种情况: (1) 通过同一直线上的三点不能作圆. (2)通过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点肯定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 通过一个三角形三个极点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三极点的距离相等. 5. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离的概念: (1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线. (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点. (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d； ①d ②d=r <===> 直线L和⊙O相切. ③d>r <===> 直线L和⊙O相离. 3. 切线的总判定定理: 通过半径的外端而且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1 通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点. 推论2 通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 若是一条直线具有下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心. 5. 三角形的内切圆、心里、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的心里, 这个三角形叫做圆的外切三角形. 6. 三角形心里的性质: (1)三角形的心里到三边的距离相等. (2)过三角形极点和心里的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接心里和三角形的极点,该线平分三角形的这个内角. 6. 圆和圆的位置关系. 1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的概念. (1)外离: 两个圆没有公共点,而且每一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离. (2)外切: 两个圆有惟一的公共点,而且除这个公共点之外,每一个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点. (3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交. (4)内切: 两个圆有惟一的公共点,而且除这个公共点之外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含: 两个圆没有公共点, 而且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2. 两圆位置关系的性质与判定: (1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r (3)两圆相交 <===> R-r (5)两圆内含 <===> d 3. 相切两圆的性质: 若是两个圆相切,那么切点必然在连心线上. 4. 相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 7. 圆内接四边形 若四边形的四个极点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 8. 弧长及扇形的面积 1. 圆周长公式: 圆周长C=2R (R表示圆的半径) 2. 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形概念: 一条弧和通过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形概念: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式. 圆的面积 (R表示圆的半径) 6. 扇形的面积公式: 扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 弓形的面积公式:(如图5) 图5 (1)当弓形所含的弧是劣弧时, (2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 例题解析 【例题1】如图1，⊙是的外接圆，是直径，若，则等于（ ） A．60º B．50º C．40º D．30º 图1 图2 图3 【例题2】如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为 10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为 cm． 【例题3】如图3，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________． 【例题4】如图4已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o，∠c=50o，那么sin∠AEB的值为（） A. B. C. D. 图4 P B C E A （图8） 【例题5】如图5，半圆的直径，点C在半圆上，． （1）求弦的长； （2）若P为AB的中点，交于点E，求的长． 三、课堂练习 一、如图6，在⊙O中，∠ABC=40°，则∠AOC＝ 度． C A B S1 S2 B C A O 图6 图7 图8 二、如图7，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO = 32°，则∠COB的度数等于 ． 3、已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30º，则BC=______cm. 4、如图8，已知在中，，，别离以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ． 五、如图9，⊙O的半径OA＝10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___________cm。 图9 六、如图10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=， （1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长 7、已知：如图11，⊙O的直径AB与弦CD相交于Ｅ，弧BC＝弧BD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F． (1)求证:CD∥BF． (2)连结BC,若⊙O的半径为4,cos∠BCD=,求线段AD、CD的长． 八、如图12，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 交AB的延长线于E，垂足为F． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值． 图12 四、经典考题解析 1.如图13，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60○ ，AC＝3，则△ABC的周长是____________. 图13 图14 图15 2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图14，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 3.如图15，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，那么等于（ ） A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．cot∠BPD 4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8， 求 AB与CD之间的距离． 5.如图16，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并成立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。 （1）求圆心M的坐标； （2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积 图16 五、课后训练 1.如图17，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30○ ，则 ⊙O的直径等于_________cm． 图17 图18 图19 2.如图18，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ） A．35○ B．70○ C．105○ D．150○ 3.如图19，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有______ 4.在半径为1的圆中，弦AB、AC别离是和，则 ∠BAC的度数为多少？ 5.如图20，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上，则∠C的度数是_______. 图20 图21 图22 6.如图21，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（ ） A．50° B．80° C．100° D．130° 7.如图22，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，若是∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 8.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2． （1）求DE的长； （2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C， 若PC=22，求PD的长． 九年级数学圆练习题 一、填空题：（21分） 1、如图，在⊙O中，弦AB∥OC，，则=_________ 二、如图，在⊙O中，AB是直径，，则=__________ 3、如图，点O是的外心，已知，则=___________ B C O A （1题图） （2题图） （3题图） （4题图） 4、如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，，则 ． （5题图） （6题图） （7题图） 五、如图，⊙O的直径为8，弦CD垂直平分半径OA，则弦CD＝ ． 六、已知⊙O的半径为2cm，弦AB＝2cm，P点为弦AB上一动点，则线段OP的范围是 ． 7、如图，在⊙O中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC的=____________ 二、解答题（70分） BD 一、如图，AB是⊙O的直径.若OD∥AC，与 的大小有什么关系？为何？ 二、已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD.求证：⑴弧AC=弧BD；⑵∠AOC=∠BOD 3、如图，已知：⊙O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，求证：（1）∠ODB>∠OBD，（2）∠ODB>∠OBC； 4、已知如图，AB、AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，MN是△ABC的中位线吗？ 五、已知如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B 六、已知如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，CE平分∠DCO，交⊙O于E， 求证：弧AE=弧EB 7、如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r. (1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外. (2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外. (2)当r在什么范围时，⊙C与线段AB相切。 三、计算下列各题：（40分） 一、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD =，求BC的长； A B C D E 二、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC别离交于点D、E，求AB、AD的长． 3、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长。 4、如图，在直径为100 mm的半圆铁片上切去一块高为20 mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长. 五、如图所示，已知矩形ABCD的边。 （1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ （2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ 四、作图题：（9分） 如图是一块圆形砂轮破碎后的部份残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆．要求：１、尺规作图；２、保留作图痕迹．（可不写作法．） A C D B 五、探讨拓展与应用（10分） 一、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示： ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO 又∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO 即∠ABC=∠AOC 若是∠ABC的两边都不通过圆心，如图(2)、（3），那么上述结论是不是成立？请你说明理由。下载本文
