高二数学

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.抛物线的焦点到准线的距离等于（   ）

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线的标准方程得，求出，即得结论．

【详解】抛物线中，即， 所以焦点到准线的距离是．故选B．

【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的准线方程是，焦点坐标是焦点到准线的距离为．本题属于基础题．

2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

连接得，从而可作出直线与平面所成的角，解三角形可得．

【详解】连接交于点，连接，因为是正方形，因此有，又由，可得，从而有，∴是直线与平面所成的角．由已知，，∴．故选D．

【点睛】本题求直线与平面所成的角，解题时要注意三个步骤：一作二证三计算，即作图，作出空间角的“平面角”，然后证明此角为所求角的“平面角”，最后计算出此角．

3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)

A. 6    B. 8    C. 9    D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．

【详解】抛物线中，，∴，　故选B．

【点睛】是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．

4.过点P(4，－1)，且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是(　　)

A. 4x＋3y－19＝0    B. 4x＋3y－13＝0

C. 3x＋4y－16＝0    D. 3x＋4y－8＝0

【答案】B

【解析】

【分析】

与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程可设为，代入点的坐标求出参数即可．

【详解】设所求直线方程为，又直线过点，∴，，∴直线方程为，故选B．

【点睛】与直线垂直的直线方程为，直线平行的直线方程为．

5.已知圆C：，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是(　　)

A.     B.     C.     D. .

【答案】D

【解析】

【分析】

由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l的方程.

【详解】由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，

 P(1,2)，圆C：x2＋y2－4x－5＝0，标准方程为，

 ，；

 ；

由点斜式得直线l方程为：，即.

故选D.

【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.

6.双曲线的焦点到渐近线的距离为(　  　)

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，所以距离为.

考点：双曲线与渐近线．

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7.已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于

A. 4    B. 3    C. 2    D. 

【答案】A

【解析】

解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点

∴OA=OB=OC=OS=1

又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=" 2" ，

∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，

∴表面积为4πR2=4π．

故选A．

8.“－3A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

求出曲线方程表示椭圆的参数的取值范围，然后根据充分必要条件的定义判断．

【详解】方程表示椭圆的条件是，即且，故题中应为必要不充分条件，故选B．

【点睛】方程或表示椭圆的条件是，方程或表示双曲线的条件是．

9.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是(　　)

A. 若m∥α，m∥n，则n∥α    B. 若m⊥α，n⊥α，则n⊥m

C. 若m⊥α，m∥β，则α⊥β    D. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

【答案】C

【解析】

【分析】

根据线面的位置关系一一判断选项即可.

【详解】A中可能有，B中应该是，D中与关系不确定，只有C正确．

过作平面与平面交于直线，∵，∴，又，∴，∴，C正确．故选C．

【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握各种关系的判断与性质是解题关键，同时掌握空间关系的定义是解题基础．解题时可用特例说明命题是错误的，从而排除错误结论．

10.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】B

【解析】

试题分析：设

,故选B.

考点：椭圆的简单几何性质.

【易错点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质.椭圆离心率的求解方法:离心率是圆锥曲线的重要几何性质，此类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，关键是借助图形建立关于，，的关系式(等式或不等式)，转化为的关系式．

11.已知是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为

A.     B. 

C.     D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

由垂直于轴，结合双曲线的定义可得，利用，列出关系式，从而可求离心率.

【详解】因为垂直于轴，所以，

因为，即，

化简得，故双曲线离心率．故选A．

【点睛】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题.

12.已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为(　　)

A. (0,0)    B. (1，－2)    C. (2，－4)    D. (，－2)

【答案】D

【解析】

【分析】

把转化为到准线的距离，当三点共线时，距离和最小．

【详解】如图，是抛物线的准线，作，垂足为，则，易知当三点共线时，取得最小值为，此时，，，即点坐标为，故选D．

【点睛】在圆锥曲线中涉及到曲线上的点到焦点的距离时，常常把它转化为该点到准线的的距离，有时也反过来转化，从而把最小值问题转化为平面上两点间距离线段最短，点到直线的距离是点到直线上的点的距离的最小值等等．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上）

13.过点M(3,2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________________．

【答案】y＝2或5x－12y＋9＝0

【解析】

【分析】

设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求得参数值即可，如果只求出一条切线，则还要讨论切线斜率不存在的情形．

【详解】设切线方程为，即，已知圆标准方程为，由题意，解得或，代入化简得切线方程为或．

【点睛】求圆的切线方程，一般用切线性质：圆心到切线的距离等于圆的半径去求解．过圆外一点作圆的切线有两条，因此在只求出一条时，要注意讨论切线斜线不存在的情形．

14.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，交点，在轴上，离心率为，过做直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．

【答案】

【解析】

试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.

∴椭圆C的方程为

考点：椭圆的定义及几何性质

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15.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是__________．

【答案】

【解析】

试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，

代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+ k2-k-20=0，

∴，解得 k=-，故直线l的方程为 x+2y-8=0

考点：直线与圆锥曲线的关系

16.已知命题p：不等式的解集为{x|0B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件．有下列四个结论:

①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真，

其中正确结论的序号是________

【答案】①③

【解析】

【分析】

先判断命题的真假，然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假．

【详解】不等式等价于，即，命题为真，在中，，命题为假，因此②④为假，①③为真．

【点睛】复合命题的真值表：

另外在中与是等价的，但在一般三角函数中此结论不成立．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17.已知：，：（），若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】

试题分析：将“是的必要不充分条件”转化为“是的充分不必要条件”，通过解二次不等式化简命题，据的关系写出端点的大小关系，列出不等式组，求出的范围．

试题解析：∵：，

∴：，

由：，

解得（），

∴：（）．

由是的必要而不充分条件可知：  ，

∴或解得．

∴满足条件的的取值范围为．

考点：充分必要条件的应用

18.已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．

【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝4.

【解析】

【分析】

先设圆C半径，再对应相减两圆方程得公共弦所在直线方程，代入点求得半径.

【详解】设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，

即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0.

因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

【点睛】本题考查两圆公共弦求法，考查基本求解能力.

19.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点。

（Ⅰ）求双曲线方程； 

（Ⅱ）若点在此双曲线上，求。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）0

【解析】

试题分析：（1）设双曲线方程为，由双曲线过点，能求出双曲线方程；（2）由点在此双曲线上，得．由此能求出的值

试题解析：（Ⅰ）由题意，设双曲线方程为

将点代入双曲线方程，得，

即

所以，所求的双曲线方程为

（Ⅱ）由（1）知

因为，所以

又在双曲线上，则

考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系

20.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

【答案】（1）8（2）

【解析】

【分析】

（1）由y2＝6x，得准线方程、焦点，直线的方程为，与抛物线方程联立可得x2－5x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，由抛物线的定义可知线段AB的长；

（2），即可求线段AB的中点M到准线的距离．

【详解】(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝．

又F，所以直线l的方程为y＝．

联立消去y得x2－5x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，

所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3．又准线方程是x＝－，

所以M到准线的距离为3＋＝．

【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题.

21.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.

（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;

（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果

试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，

连结DF，则BC1∥DF． 3分

因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分

所以BC1∥平面A1CD． 5分

（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分

由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分

所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1． 12分

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积

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22.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．

(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；

(2)求AC与PB的夹角的余弦值；

(3)求二面角A－MC－B的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

【分析】

（1）由PA⊥底面ABCD，得，直角梯形中，从而可得，再根据面面垂直的判定定理可得面面垂直；

（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标+，求出两直线的方向向量，由向量的夹角得异面直线所成角的余弦；

（3）在（2）基础上求出两平面和的法向量，由法向量夹角与二面角相等或互补可求得．

【详解】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，，∴，直角梯形中，，∴，∴平面平面．

解：（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则有，，，，，

∴，，，

设所成角为，则，

∴所成角的余弦值为．

（3）由（2），设平面的法向量为，

则，取，则，即，

设平面的法向量为，，，

则，取，则，即，

，

又二面角为锐角，∴其余弦值为．

【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查求异面直线所成的角和二面角，解题方法是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，用向量法求得空间角，这样只要计算而不需要作图．

23.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2．以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆E：，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点M．

(ⅰ)求的值；

(ⅱ)求△ABM面积的最大值．

【答案】(1) (2) (ⅰ)2(ⅱ)6

【解析】

【分析】

（1）两圆交点在椭圆上，说明有，从而得，再由离心率求得，最后可得值；

（2）（i）设，，写出点坐标，把的坐标分别代入相应椭圆方程即可求得；

（ii）设，把直线方程代入椭圆方程消元后得一元二次方程，应用韦达定理求得，而，这样令，可化为的函数，满足的关系可由二次方程根的判别式求出，注意直线与椭圆和椭圆都相交，两次应用判别式可得，从而可求得最大值，又由（i）可得，于是结论可得．

【详解】解　(1)由题意知，2a＝4，则a＝2，

又，a2－c2＝b2，

可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知椭圆E的方程为.

(ⅰ)设P(x0，y0)，，

由题意知，M(－λx0，－λy0)．

因为＋y＝1，

又，即，

所以λ＝2，即.

(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，

由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①

因为x1＋x2＝－，x1x2＝.

所以|x1－x2|＝.

因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，

所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|

＝.

设＝t，则t>0.

将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，

可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②

由①②可知0＜t≤1，

因此S＝，

故，

当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值.

由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，

所以△ABQ面积的最大值为.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的最值问题．在直线与椭圆相交问题中，一般采取设而不求思想，即设出交点坐标为，把直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，再用它们表示出题中要求的量，本题中的面积．应用换元法求得的面积的最大值，其三倍即为的面积，这种题型主要考查学生的计算能力，推理能力．

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