因子检测：

检测因子，时间复杂度O(n^(1/2))

def is_prime(n):
 if n < 2:
 return False
 for i in xrange(2, int(n**0.5+1)):
 if n%i == 0:
 return False
 return True

费马小定理：

如果n是一个素数，a是小于n的任意正整数，那么a的n次方与a模n同余

实现方法：

选择一个底数（例如2），对于大整数p，如果2^(p-1)与1不是模p同余数，则p一定不是素数；否则，则p很可能是一个素数
2**(n-1)%n 不是一个容易计算的数字

模运算规则：

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

计算X^N(% P)

可以
如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

def xn_mod_p(x, n, p):
 if n == 0:
 return 1
 res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p)
 if n&1 != 0:
 res = (res*x)%p
 return res

也可以归纳为下面的算法 两个函数是一样的

def xn_mod_p2(x, n, p):
 res = 1
 n_bin = bin(n)[2:]
 for i in range(0, len(n_bin)):
 res = res**2 % p
 if n_bin[i] == '1':
 res = res * x % p
 return res

有了模幂运算快速处理就可以实现费马检测

费马测试当给出否定结论时，是准确的，但是肯定结论有可能是错误的，对于大整数的效率很高，并且误判率随着整数的增大而降低

def fermat_test_prime(n):
 if n == 1:
 return False
 if n == 2:
 return True
 res = xn_mod_p(2, n-1, n)
 return res == 1

MILLER-RABIN检测

Miller-Rabin检测是目前应用比较广泛的一种

二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1
费马小定理：a^(p-1) ≡ 1(mod p)

这就是Miller-Rabin素性测试的方法。不断地提取指数n-1中的因子2，把n-1表示成d*2^r（其中d是一个奇数）。那么我们需要计算的东西就变成了a的d*2^r次方除以n的余数。于是，a^(d * 2^(r-1))要么等于1，要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1，定理继续适用于a^(d * 2^(r-2))，这样不断开方开下去，直到对于某个i满足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指数中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。这样，Fermat小定理加强为如下形式：

尽可能提取因子2，把n-1表示成d*2^r，如果n是一个素数，那么或者a^d mod n=1，或者存在某个i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i<r ) （注意i可以等于0，这就把a^d mod n=n-1的情况统一到后面去了）

定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k)

def miller_rabin_witness(a, p):
 if p == 1:
 return False
 if p == 2:
 return True
 #p-1 = u*2^t 求解 u, t
 n = p - 1
 t = int(math.floor(math.log(n, 2)))
 u = 1
 while t > 0:
 u = n / 2**t
 if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1:
 break
 t = t - 1
 b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)
 for i in range(1, t + 1):
 b2 = b1**2 % p
 if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1):
 return False
 b1 = b2
 if b1 != 1:
 return False
 return True
def prime_test_miller_rabin(p, k):
 while k > 0:
 a = randint(1, p - 1)
 if not miller_rabin_witness(a, p):
 return False
 k = k - 1
 return True