举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数fact(n)表示，可以看出：

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。

于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：

def fact(n):
 if n==1:
 return 1
 return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试：

>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
933262154439441526816992388562667004907159682381621468592963521759999322991560414639761565182862536979208272237582511852109168000000000000000000000000L

如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：

===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试fact(1000)：

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
 File "", line 1, in 
 File "", line 4, in fact
 ...
 File "", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：

def fact(n):
 return fact_iter(1, 1, n)

def fact_iter(product, count, max):
 if count > max:
 return product
 return fact_iter(product * count, count + 1, max)

可以看到，return fact_iter(product * count, count + 1, max)仅返回递归函数本身，product * count和count + 1在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

fact(5)对应的fact_iter(1, 1, 5)的调用如下：

===> fact_iter(1, 1, 5)
===> fact_iter(1, 2, 5)
===> fact_iter(2, 3, 5)
===> fact_iter(6, 4, 5)
===> fact_iter(24, 5, 5)
===> fact_iter(120, 6, 5)
===> 120

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

有一个针对尾递归优化的decorator，可以参考源码：

http://code.activestate.com/recipes/474088-tail-call-optimization-decorator/

我们后面会讲到如何编写decorator。现在，只需要使用这个@tail_call_optimized，就可以顺利计算出fact(1000)：

>>> fact(1000)
402387260077093773543702433923003985719374821071463254379991042993851239862902059204420848696940480047998861019719605863166687299480855013238296699445909974245040870737599188236277271887325197795059509952761208749754624970436014182780949629105639388743788873371191810458257837849977012476632883595573543251318532395846307555740911426241747434934755342865766116677973966688202912073791438537195882498081268678383745597317461360853795345242215865932019280908782973084313928444032812315586110369768013573042161687476096758713483120254785320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170136502415369139828128102130927612446359928705114997541990934222156683257208082133318611681155361583654698404670756029009505376175847728421867962449451607653534081901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062218796022383714760885062768629671466746975629112340824392081601537808395182632436716167621791609779911903754031274622298800519544441428201218736174599229565817466283029555702990243241531816172104658320367869061172601587835207515162842255402651704833042261439742869330616907968482590125458327168225806652676995865268227280707578139185817886522081348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023139327349756551395872055965422874977401141334696271542284586237738753823048386568761927383814900140767310446025994902222217659043399018860185665285061799702356193701786004081187299183110211712298459011921068884387121855612496079872290851929681937238826148396573822911231250241869353143970137428531926987533721406942814341185201580141233448280150513996942901534830774569099073152433278288269860278321139083506217095002597386355427719674282224875758676575234422020757363056949882508796281627538488633969099598262809561214509948717012445161260379029309120808694202851001821543994571568059418727498094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

小结

使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。

针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。

Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。