吕永淼
相似三角形即形状相同、大小不同的两个三角形，它可用如下方法识别。
若两个三角形中有：
（1）两个角对应相等；
（2）两对应边成比例且夹角相等；
（3）三边对应成比例，那么这两个三角形就相似。
它具有如下性质：
（1）对应边成比例；
（2）对应角相等；
（3）对应线段（高、中线、角平分线）成比例；
（4）周长之比等于相似比；
（5）面积之比等于相似比平方。
巧用以上识别和性质，乃可妙解中考题，笔者选析2004年部分省市中考题，供读者参考。
例1. 已知等腰△ABC中，顶角∠A为36°，BD平分∠ABC，那么AD：AC的值是（ ）
A. B. C. 1 D.
思考：据题意，易知△ABC∽△BDC
设AD为x，则
故
即
于是
（即黄金分割比）
故选B。
例2. 如图2，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
思考：据题意易知△ADE∽△ECB
由面积比性质
利用补形法，延长AD、BC相交于F，则有四边形DFCE为平行四边形
∵DE∥FB
故选C。
例3. 如图3，矩形ABCD中，，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a、b间的关系一定满足（ ）
A. B. C. D.
思考：据题意，只要满足△ABP∽△PCD即可。
设，则
即，要使方程有实数根，必须△≥0
即
故选D。
启迪：以上三例，关键是根据图形特征，构造方程解决。
例4. 如图4，△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明。
思考：据题意，图中与△DBE相似的有△GAD、△ECH、△GFH，仅对△DBE与△ECH证之
∵∠B＝∠C＝60°，∠BDE＋∠BED＝120°
易知∠BED＋∠HEC＝120°
∴∠BDE＝∠HEC
故△DBE∽△ECH
例5. 在△ABC中，AD、CE是两条高，连结DE。若，如图5，在不添加辅助线和字母情况下，写出三个正确结论（要求分别为边的关系、角的关系、三角形相似关系等），并对其中一个结论给予证明。
思考：据题意，可添结论颇多，如：
AB＝AC，∠BED＝∠BCA
△CBE∽△ABD，AD是△ABC的对称轴
DC＝DB，△ABD≌△ACD
等等，现对BA·BE＝BC·BD予以证明：
易证∠DEB＝∠ACB，∠B公用
∴△BDE∽△BAC，可得（略）
启迪：例4、例5是结论开放题，需认真审题、善于联想、富于想象、合情猜测、严格推理，有助于思维品质的优化，是中考的热点。
例6. 如图6，△ABC中，点D在AC上，CD＝2AD，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD于E，连结AE。
（1）写出图中所有相等的线段，并证明；
（2）图中是否存在相似三角形？若有，请写出一对，若没有，请说明理由；
（3）求出△BEC与△BEA的面积之比。
思考：（1）认真观察图形，相等线段有：
DE＝DA，EC＝EA＝EB
证明：∵∠DEC＝90°，∠BDC＝60°
∴∠DCE＝30°
故
从而∠DEA＝∠DAE＝30°
∴∠EAB＝15°
故∠EBA＝15°
∴EB＝EA
易知EA＝EC，故EC＝EB＝EA
（2）图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB
（3）过A作AF⊥BD交其延长线于F
则∠AFD＝∠CED＝90°
又∠ADF＝∠CDE，故△CDE∽△AFD
启迪：本题（1）是结论开放；（2）是存在性开放。关键认真审题，准备画图，抓住图形特征分析，探索数学对象的存在与否，颇有创意，是中考的热门考点。
例7. 如图7，△ABC、△DCE、△FEG是全等的三个等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且，BC＝1，连结BF交AC、DC、DE分别为P、Q、R。
（1）试证△BFG∽△FEG，并求出BF的长；
（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并给予解答。
思考：（1）据题意知
，∠G公用
∴△BFG∽△FEG
∴FE＝FG
∵BF＝BG＝3
（2）可提出的问题很多，由易到难可分如下三个层次：
（A）层次。如：求证∠PCB＝∠REC，
或PC∥RE，……；
（B）层次。如：求证∠BPC＝∠BFG，
或BP＝PR，或△ABP∽△CQP，……，
或求的值；
（C）层次。如：求证△ABP≌△ERF
或PQ＝QR，或△BPC为等腰三角形
或△PCQ≌△RDQ，或求的值
或求PC的长，……。仅以求PC长为例简要证明（其余略）。
易知PC∥FG，故
即
启迪：本题（2）是极富创意、构思精巧的结论开放题，虽有点P的约束，开放度还是非常大，所提问题根据学生实际评分，较为灵活，有一定压分度，具有对教学和中考命题的导向意义。下载本文
