题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题
1． 微分方程(y’)2=x的阶数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：A
解析：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶，故此微分方程的阶数为1． 知识模块：常微分方程
2． 微分方程y2dx一(1一x)dy=0是 ( )
A．一阶线性齐次方程
B．一阶线性非齐次方程
C．可分离变量方程
D．二阶线性齐次方程
正确答案：C
解析：将该微分方程整理可得dx，所以该微分方程是可分离变量方程． 知识模块：常微分方程
3． 已知函数y=+x+C是微分方程y’’=x一1的解，则下列正确的是 ( )
A．y是该微分方程的通解
B．y是微分方程满足条件y｜x=0=1的特解
C．y是微分方程的特解
D．以上都不是
正确答案：D
解析：方程为二阶微分方程，则通解中应含有两个任意常数，因此y=x3一x2+x+C显然不是方程的通解，又y’=一x+1，y’’=x－1，故可知y=x2+x+C为y’’=x－1的解，因含有未知数，故不是特解，因此选
D． 知识模块：常微分方程
4． 方程xy’=2y的特解为 ( )
A．y=2x
B．y=x2
C．y=2x3
D．y=2x4
正确答案：B
解析：分离变量可得，两边积分得ln｜y｜=lnx2＋C1，即y=Cx2，所以方程的特解中x的最高次数也应该为2，故选
B． 知识模块：常微分方程
5． 微分方程y’+的通解是 ( )
A．arctanx+C
B．(arctanx+C)
C．arctanx+C
D．+arctanx+C
正确答案：B
解析：所求方程为一阶线性微分方程，由通解公式可得其中C为任意常数，故选
B． 知识模块：常微分方程
6． 方程y’’一y’=ex+1的一个特解具有形式 ( )
A．Aex+B
B．Axex+B
C．Aex+Bx
D．Axex+Bx
正确答案：D
解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2一r=r(r一1)=0，所以r1=0，r2=1，又有f(x)=ex＋1，λ1=0，λ2=1是该二阶非齐次微分方程的一重特征根，所以特解形式为y*=Axex+Bx．故选
D． 知识模块：常微分方程
7． 某二阶常微分方程的下列解中为特解的是 ( )
A．y=Csinx
B．y=C1sin3x+C2cos3x
C．y=sin3x+cos3x
D．y=(C1+C2)cosx
正确答案：C
解析：由特解定义可知，特解中不含有任意常数，故排除A、B、D项，选
C． 知识模块：常微分方程
8． 下列方程中，可用代换p=y’，p’=y’’降为关于p的一阶微分方程的是 ( )
A．+xy’一x=0
B．＋yy’一y2=0
C．＋x2y’一y2x=0
D．＋x=0
正确答案：A
解析：可降阶方程中的y’’=f(x，y’)型可用代换p=y’，p’=y’’，观察四个选项，只有A项是y’’=f(x，y’)型，故选A． 知识模块：常微分方程
填空题
9． 方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0满足y｜x=0=1的特解为_______．
正确答案：=2
解析：分离变量得，两边积分得ln｜x2一1｜=．所以x2一1=C(y2+1)，又y｜x=0=1，故=2． 知识模块：常微分方程
10． 已知微分方程y’+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=_______．
正确答案：一1
解析：把y=xex，y’=ex+xex代入微分方程y’+ay=ex=(1+a)xex+ex，利用对应系数相等解得a=一1． 知识模块：常微分方程
11． 微分方程y’’一4y’+3y=excosx+xe3x对应齐次微分方程的通解为=_______，它的特解形式为y*=________．
正确答案：C1ex+C2e3x，ex(Acosx+Bsinx)+x(ax+b)e3x
解析：事实上，原方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2一4r+3=0，r1=1，r2=3，故齐次微分方程的通解为=C1ex+C2e3x．非齐次方程特解形式的假设，可分为两个方程进行：y’’一4y’+3y=excosx， ①y’’一4y’+3y=xe3x． ②λ=1±i不是特征方程的特征根，故①的特解形式是y1*=ex(Acosx+Bsinx)；λ=3是特征方程的一重特征根，故②的特解形式应是y2*=x(ax+b)e3x，则y1*+y2*=y*即是原方程的特解形式． 知识模块：常微分方程
12． 非齐次微分方程y’’+9y=cosx，它的一个特解应设为________．
正确答案：y=Acosx+Bsinx
解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2+9=0，所以r1，2=±3i，f(x)=cosx，则±i不是该二阶齐次微分方程的特征根，所以特解形式为y=Acosx+Bsinx． 知识模块：常微分方程
13． 设二阶常系数线性齐次微分方程y’’＋ay’+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程y’’+ay’+by=1满足的条件y(0)=2，y’(0)=一1的解为________．
正确答案：y=4ex一
解析：二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为r2+ar+b=0，又由通解可得特征根r1=1，r2=2，即(r一1)(r一2)=0，r2一3r＋2=0，故a=一3，b=2．所以非齐次微分方程为y’’一3y’＋2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，因此，设特解y*=A，则(y*)’=0，(y*)’’=0，代入可得，所以y’’一3y’＋2y=1的通解为y=C1ex＋C2e2x+，再由y(0)=2，y’(0)=一1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex一． 知识模块：常微分方程
解答题
14． 求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解．
正确答案：方程可写成y’=sin(x+y+100)，令μ=x+y+100，则，于是原方程化为=1+sinμ，就得到了可分离变量方程．分离变量，得=dx，恒等变形，有=dx，即(sec2μ—tanμsecμ)dμ=dx．两边积分，得tanμ—secμ=x+C，将μ=x+y+100回代，得方程通解为tan(x+y+100)一sec(x+y+100)=x+C，其中C为任意常数． 涉及知识点：常微分方程
15． 求微分方程xy’一=0的通解．
正确答案：方程分离变量得，两边积分有+C1，则方程的通解为2ln｜y｜+y2一ln2x=C，其中C为任意常数． 涉及知识点：常微分方程
16． 求方程xsecydx+(1+x2)dy=0，满足初始条件y｜x=0=的特解．
正确答案：方程分离变量得dy，即dx=一cosydy，两边积分有dx=－∫cosydy，即n(1+x2)=一siny+C，由初始条件y｜x=0=得C=1，则方程的特解为siny＋=1． 涉及知识点：常微分方程
17． 求微分方程secx．y’+tanx．y=ecosx的通解．
正确答案：将原方程改写成y’+ysinx=cosxecosx，则y=e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫cosxdx＋C)=ecosx(sinx+C)．其中C为任意常数． 涉及知识点：常微分方程
18． (1)求微分方程xy’+ay=1+x2满足y｜x=1=1的解y(x，a)，其中a为常数．(2)证明(x，a)是方程xy’=1+x2的解．
正确答案：(1)原方程可改写成y’+，微分方程的通解为(2)设y0=+lnx，则xy0’=x(x＋)=1+x2，故结论成立． 涉及知识点：常微分方程
19． 求微分方程y’+3x2y=xe－x3的通解．
正确答案：由通解公式得y=e－∫3x2dx(∫xe－x3e3x2dxdx+C)=e－x3(∫xdx+C)=x2e－x3+Ce－x3．C为任意常数． 涉及知识点：常微分方程
20． 求微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解．
正确答案：方程xy’+2y=xlnx两边同时除以x，得y’＋y=lnx，是一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=lnx，利用通解公式得 涉及知识点：常微分方程
21． 求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．
正确答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，两边对x求导，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次对x求导，得y’一y=sinx为一阶线性非齐次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解为y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解为y(x)=(ex+sinx+cosx)． 涉及知识点：常微分方程
22． 已知某曲线经过点(1，1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．
正确答案：根据题意可知，f(1)=1．由导数几何意义可知，曲线y=f(x)上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：y—y0=f’(x0)(x—x0)．令x=0，y=一f’(x0)x0+y0，其中，y0=f(x0)，∴x0=一x0f’(x0)+f(x0)，即x0f’(x0)一f(x0)=一x0，求曲线方程相当于求=一1满足y(1)=1的特解．由通解公式得又∵y(1)=1，∴C=1，故所求曲线方程为y=一xln｜x｜+x． 涉及知识点：常微分方程
23． 求y’’一2y’+y=x3的特解．
正确答案：对应的齐次方程的特征方程为r2一2r＋1=0，解得r=1，为二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，设特解为y=Ax3+Bx2＋Cx+D，则y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，则A=1，B=6，C=18，D=24，故特解为y=x3+6x2+18x+24． 涉及知识点：常微分方程
24． 求y’’一5y’一14y=9e7x的特解．
正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一5r一14=0，解得r=一2，7，λ=7是特征方程的一重根，故设原方程的特解为y=Axe7x，则y’=A(7x+1)e7x，y’’=A(49x+14)e7x，代入原方程得A(49x+14)e7x一5A(7x+1)e7x一14Axe7x=9e7x，则A=1，故特解为y=xe7x． 涉及知识点：常微分方程
25． 求y’’一4y’+4y=xe2x的通解．
正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一4r+4=0，解得r=2(二重根)，所以对应的齐次方程的解为=(C1x+C2)e2x，λ=2是特征方程的二重根，故设原方程的特解为y*=x2e2x(Ax+B)，则(y*)’=2xe2x(Ax+B)+x2e2x(2Ax+2B+A)，(y*)’’=e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)，代入原方程得e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)一8xe2x(Ax+B)一4x2e2x(2Ax+2B+A)+4x2e2x(Ax+B)=xe2x，解得A=，B=0，故原方程的通解为y=(C1x+C2)e2x+x3e2x．其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：常微分方程
26． 已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．
正确答案：据题意的，y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex，则下面求微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解，特征方程为r2+3r+2=0，求得r1=一1，r2=一2，所以y’’+3y’+2y=0的通解为y=C1e－x+C2e－2x， 因λ=1不是特征方程的根，所以设y*=(Ax+B)ex为原方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的一个特解，则把(y*)’=(Ax+A+B)ex，(y*)’’=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比较系数得A=，B=，所以微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解为y=C1e－x+C2e－2x+ex．其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：常微分方程
27． 求y’’=y’+x的通解．
正确答案：令y’=p，y’’=p’，原方程化为p’=p+x，解此一阶线性非齐次方程得p=e∫dx[∫xe－∫dxdx+C1]=ex(∫xe－xdx+C1)=C1ex－x－1即y’=C1ex一x一1，两边积分得通解为y=C1ex一一x+C2，其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：常微分方程
设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)=[t2f(t)一f(1)]，求：
28． y=f(x)所满足的微分方程；
正确答案：据题意，V(t)=π∫1t[f(x)]2dx=[t2f(t)一f(1)]，即3∫1t[f(x)]2dx=t2f(t)一f(1)，上式两边同时对t求导得，3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，即y=f(x)所满足的微分方程为x2y’+2xy一3y2=0； 涉及知识点：常微分方程
29． 该微分方程满足条件y｜x=2=的解．
正确答案：将微分方程x2y’+2xy一3y2=0，化为，即为齐次方程．令μ=＋μ，代入方程并化简得=3μ2一3μ．变量分离得，两端积分并代入μ=得通解为y—x=Cx3y，再把y｜x=2=代入可得C=－1，故该微分方程满足条件y｜x=2=的解为y—x=一x3y． 涉及知识点：常微分方程 下载本文
