一、二维形式的柯西不等式
二、二维形式的柯西不等式的变式
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
借用一句口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比方说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法
〔1〕巧拆常数：
例1：设、、为正数且各不相等。求证：
〔2〕重新安排某些项的次序：
例2：、为非负数，+=1，求证：
〔3〕改变结构：
例3、假设>> 求证：
〔4〕添项：
例4：求证：
【1】、设，则之最小值为________；此时________。
答案：-18; 解析： ∴ ∴
之最小值为-18，此时
【2】 设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，假设x2 + y2 + z2 = 16，则的最大值为 。
【解】
∵ = (1，0，- 2)，= (x，y，z) ∴ ．= x - 2z
由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x2 + y2 + z2) ≥ (x + 0 - 2z)2
⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 4≤ x ≤ 4
⇒ - 4≤ ． ≤ 4，故．的最大值为4
【3】空间二向量，，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时？
Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)
【4】设a、b、c为正数，求的最小值。Ans：121
【5】. 设x，y，z ∈ R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为
解(x + 2y + 3z)2 ≤ (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 5．14 = 70
∴ x + 2y + 3z最大值为
【6】 设x，y，z ∈ R，假设x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为 时，(x，y，z) =
解(x - 2y + 2z)2 ≤ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36
∴ x - 2y + 2z最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时
∴ ，，
【7】设，，试求的最大值M与最小值m。
Ans：
【8】、设，试求的最大值与最小值。
答：根据柯西不等式
即
而有
故的最大值为15，最小值为–15。
【9】、设，试求之最小值。
答案：考虑以下两组向量
= ( 2, –1, –2) =( x, y, z ) 根据柯西不等式，就有
即
将代入其中，得 而有
故之最小值为4。
【10】设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。
Ans：
【11】 设x，y，z ∈ R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为
解： 2x + 2y + z + 8 = 0 ⇒ 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，
考虑以下两组向量
= ( , , ) ， =( , , )
[2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 ≤ [(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2]．(22 + 22 + 12)
⇒ (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 ≥= 9
【12】设x, y, zR，假设，则之最小值为________，又此时________。
解： ⇒ 2x - 3(y - 1) + z =( )，
考虑以下两组向量
= ( , , ) ， =( , , )
解析： ∴最小值
∴ ∴
【13】 设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为
解：考虑以下两组向量
= ( , , ) ， =( , , )
()(a + b + c)
⇒ ()．9 ≥ (2 + 3 + 4)2 = 81
⇒ ≥ = 9
【14】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。
解：考虑以下两组向量
= ( , , ) ， =( , , )
∴，最小值为18 等号发生于 故
∴ 又 ∴
【15】. 设空间向量的方向为α，β，γ，0 < α，β，γ < π，csc2α + 9 csc2β + 25 csc2γ 的最小值为 。
解∵ sin2α + sin2β + sin2γ = 2由柯西不等式
∴ (sin2α + sin2β + sin2γ)[] ≥ (1 + 3 + 5)2 2(csc2α + 9csc2β + 25csc2γ) ≥ 81
∴ csc2α + 9csc2β + 25csc2γ ≥ ∴ 故最小值为
【注】此题亦可求tan2α + 9 tan2β + 25tan2γ 与cot2α + 9cot2β + 25cot2γ 之最小值，请自行练习。
【16】. 空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为α，β，γ〔α，β，γ 均非象限角〕，求的最小值。
解 : 由柯西不等式
≥
∵ sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ∴ 2
∴ 的最小值 = 18
【17】.空间中一向量的方向角分别为，求的最小值。
答72利用柯西不等式解之
【18】、设x, y, zR，假设，则之范围为何？又发生最小值时，？
答案：
假设又∴
∴ ∴
【19】 设△ABC之三边长x，y，z满足x - 2y + z = 0及3x + y - 2z = 0，则△ABC之最大角是多少度？
【解】⇒ x：y：z =：：= 3：5：7
设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cosθ == -，∴θ = 120︒
【20】. 设x，y，z ∈ R且，求x + y + z之最大值，最小值。
Ans 最大值7；最小值 - 3
【解】
∵
由柯西不等式知
[42 + ()2 + 22] ≥
⇒ 25 ⨯ 1 ≥ (x + y + z - 2)2 ⇒ 5 ≥ |x + y + z - 2|
⇒ - 5 ≤ x + y + z - 2 ≤ 5 ∴ - 3 ≤ x + y + z ≤ 7
故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3
【21】. 求2sinθ +cosθ sinφ - cosθ cosφ 的最大值与最小值。
答. 最大值为，最小值为 -
【详解】
令向量 = (2sinθ，cosθ，- cosθ)，= (1，sinφ，cosφ)
由柯西不等式 |．| ≤ ||||得
| 2sinθ +cosθ sinφ - cosθ cosφ | ≤，
≤
所求最大值为，最小值为 -
【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得
，所以，同理，于是左边=
。
【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.
证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得
(A2+B2)［(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(x-x0)+B(y-y0)］2=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥.
当时,取等号,由垂线段最短得d=.
【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.
解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得
≤
故λ的取值范围是［,+∞).
温馨提示
此题主要应用了最值法,即不等式≤λ恒成立,等价于()max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值.
【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.
解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.
由柯西不等式等号成立的条件,知=λ,再由等比定理,得=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不等式,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×36,当且仅当=λ时,上式等号成立.
于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±(舍负),即.
竞赛欣赏
1 〔1987年CMO集训队试题〕设，求证：
〔2-10〕
证明：因，由定理1有
此即〔2-10〕式。
2 设，求证：
证明：由均值不等式得，故
即 .
又由柯西不等式知，故
又由定理1，得
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