一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的
1．（3分）下列是我国某四个高校校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣4x+1＝2x（x﹣2）+1 B．x2﹣2x＝x（x﹣2）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2+2x+4＝（x+2）2
3．（3分）如果a＞b，那么下列四个不等式中不正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣3a＜﹣3b C．﹣3a＞﹣3b D．＞
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．4或6
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD＝ED；②∠ABD＝∠ABC；③BC＝BE；④AE＝BE中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点，BD、CE相交于点O，连接AO，在AO上取一点F，使得OF＝，若S△ABC＝12，则四边形OCDF的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．（3分）设min{a，b}表示a，b这两个数中的较小的一个，如min{﹣1，1}＝﹣1，min{3，2}＝2，则关于x的一次函数y＝min{x，3x﹣4}可以表示为（ ）
A．y＝x B．y＝3x﹣4
C．y＝ D．y＝
10．（3分）如图，为一副重叠放置的三角板，其中∠ABC＝∠EDF＝90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC＝3，则此时OG的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）当x＝ 时，分式的值等于0．
12．（3分）命题“一个三角形中至少有两个锐角”是真命题，用反证法证明该命题时，第一步应先假设
13．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交AB于点E，已知△BCE的周长为14，则▱ABCD的周长为 ．
14．（3分）若不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC边的中点，E是AC边上的任意一点，△DCE和△DC′E关于直线DE对称，若点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CE的长度为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分
16．（6分）阅读下列计算过程，回答问题：
﹣x+1
＝﹣（x+1）①
＝﹣②
＝③
＝
以上过程有两处关键性错误，分别是 ，请写出此题的正确解答过程．
17．（6分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4．
（1）建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标；
（2）将△ABC向左平移5个单位，请在图中画出平移后的△A1B1C1；
（3）将△A1B1C1绕点C1按逆时针旋转90°，请在图中画出旋转后的△A2B2C1．
18．（6分）如图，有两个长度相等的滑梯BC和EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，判断两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE之间的数量关系？请说明理由．
19．（8分）如图，两个一次函数y甲，y乙的图象如图所示．
（1）请分别写出y甲，y乙的表达式；
（2）结合图象比较y甲与y乙的大小关系．
20．（8分）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝4，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转60°，得到线段CD，连接AD，DB．
（1）求线段BD的长度；
（2）求四边形ACBD的面积．
21．（10分）以“绿色生活，美丽家园”为主题的2019年中国北京世界园艺博览会（简称北京世园会）已拉开帷幕，讲述人与自然和谱共生的精彩故事，世园会甲工程队制作园艺造型300个，与乙工程队制作园艺造型400个所用时间相等，乙工程队每天比甲工程队多制作10个园艺造型，求甲工程队每天制作园艺造型多少个？两名同学所列的方程如下：
小明：＝；小红：﹣＝10，根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明同学所列方程中的x表示 ，小红同学所列方程中的y表示 ；
（2）根据你选择的方程，求出甲工程队每天制作园艺造型多少个．
22．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴相交于A（6，0），B（0，3）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求直线y＝kx+b的表达式及点D的坐标；
（2）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由．
2018-2019学年河南省郑州市八年级（下）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的
1．（3分）下列是我国某四个高校校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．（3分）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣4x+1＝2x（x﹣2）+1 B．x2﹣2x＝x（x﹣2）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2+2x+4＝（x+2）2
【分析】直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、2x2﹣4x+1＝2x（x﹣2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B、x2﹣2x＝x（x﹣2），是因式分解，故此选项正确；
C、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法运算，故此选项错误；
D、x2+2x+4≠（x+2）2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解，正确运用公式是解题关键．
3．（3分）如果a＞b，那么下列四个不等式中不正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣3a＜﹣3b C．﹣3a＞﹣3b D．＞
【分析】看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．
【解答】解：A、若a＞b，则a﹣3＞b﹣3，故A选项错误；
B、若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，故B选项错误；
C、若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，故C选项正确；
D、若a＞b，则﹣1＞﹣1，故D选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查不等式的性质，解题的关键是看不等号是不是变号．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式2x﹣1≥﹣3，得：x≥﹣1，
解不等式x+1≤2，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x≤2，
表示在数轴上如下：
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则60°•n＝360°，
解得n＝6．
故正多边形的边数是6．
故选：B．
【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
6．（3分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．4或6
【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
【解答】解：4是底边时，腰长为（14﹣4）＝5，
此时，三角形的三边分别为4、5、5，
能组成三角形，
4是腰长时，底边为14﹣4×2＝6，
此时，三角形的三边分别为4、4、6，
能组成三角形，
综上所述，底边为4或6．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD＝ED；②∠ABD＝∠ABC；③BC＝BE；④AE＝BE中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】证明△DBE≌△DBC（AAS），即可判断．
【解答】解：由作图可知：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
∵BD＝BD，
∴△DBE≌△DBC（AAS），
∴CD＝DE，BE＝BC，
故①②③正确，
无法判断AE＝BE，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点，BD、CE相交于点O，连接AO，在AO上取一点F，使得OF＝，若S△ABC＝12，则四边形OCDF的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】先由重心的定义可得点O是△ABC的重心，根据三角形重心的性质得出S△AOC＝S△ABC＝4．由中线的定义以及三角形的面积得出S△DOC＝S△AOD＝S△AOC＝2，S△OFD＝S△AOD＝，那么S四边形OCDF＝S△DOC+S△OFD＝．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点，BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴S△AOC＝S△ABC＝×12＝4．
∵点D是边AC的中点，
∴S△DOC＝S△AOD＝S△AOC＝2．
∵OF＝，
∴OF＝OA，
∴S△OFD＝S△AOD＝，
∴S四边形OCDF＝S△DOC+S△OFD＝2+＝，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形三边中线的交点叫做三角形的重心，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．也考查了三角形的面积．同高的两个三角形面积之比等于底边之比．
9．（3分）设min{a，b}表示a，b这两个数中的较小的一个，如min{﹣1，1}＝﹣1，min{3，2}＝2，则关于x的一次函数y＝min{x，3x﹣4}可以表示为（ ）
A．y＝x B．y＝3x﹣4
C．y＝ D．y＝
【分析】根据已知，在没有给出x的取值范围时，不能确定x与3x﹣4的大小，需要分类讨论．
【解答】解：根据已知，在没有给出x的取值范围时，不能确定2x和x+3的大小．
当x＜3x﹣4时，即x＞2时，可表示为y＝x．
当x≥3x﹣4时，即x≤2时，可表示为y＝3x﹣4．
故选：D．
【点评】此题考查的是一次函数的性质，解题的关键是根据已知和函数性质讨论得出．
10．（3分）如图，为一副重叠放置的三角板，其中∠ABC＝∠EDF＝90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC＝3，则此时OG的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】如图（2）根据已知条件得到∠F＝∠FGB＝45°，求得∠OGA＝45°，根据含30°的直角三角形的性质得到AC＝2BC＝6，过O作OH⊥AG于H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图（2），∵∠ABC＝90°，
∴∠FBG＝90°，
∵∠F＝∠FGB＝45°，
∴∠OGA＝45°，
∵∠A＝30°，BC＝3，
∴AC＝2BC＝6，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝3，
过O作OH⊥AG于H，
∴∠AHO＝∠OHG＝90°，
∴OH＝AO＝，
∴OG＝OH＝，
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）当x＝ ﹣3 时，分式的值等于0．
【分析】根据分式的值为零的条件，分子等于0，分母不等于0，列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+3＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣3且x≠1，
所以，当x＝﹣3时，分式的值等于0．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．（3分）命题“一个三角形中至少有两个锐角”是真命题，用反证法证明该命题时，第一步应先假设 一个三角形中最多有一个锐角
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：命题“一个三角形中至少有两个锐角”是真命题，用反证法证明该命题时，
第一步应先假设一个三角形中最多有一个锐角．
故答案为：一个三角形中最多有一个锐角．
【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交AB于点E，已知△BCE的周长为14，则▱ABCD的周长为 28 ．
【分析】根据平行四边形的性质及OE⊥AC证明AE＝CE，再根据已知△BEC周长求出AB+BC值，则平行四边形周长可求．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O点为AC中点．
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE．
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+AE+BE＝BC+AB＝14．
∴平行四边形ABCD周长为2×14＝28．
故答案为28．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是线段间的转化，利用整体思想求解平行四边形的周长．
14．（3分）若不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是 a≥3 ．
【分析】根据求不等式组解集的方法，即“同大取较大”可直接进行解答．
【解答】解：∵不等式组的解集是x＞a，
∴a≥3．
故答案为：a≥3．
【点评】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，求不等式组的解集要根据其法则进行，即“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC边的中点，E是AC边上的任意一点，△DCE和△DC′E关于直线DE对称，若点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CE的长度为 或 ．
【分析】取AC、AB的中点H、G，连接DH、HG、DG．分三种情形：①当点C′落在GH上时；②当点C′落在DH上时；③当点C′落在直线DG上时，分别求解即可解决问题．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
取AC、AB的中点H、G，连接HG、DG．
则DG、GH、DH是△ABC的中位线，
则DG∥AC，GH∥BC，DH∥AB，DC＝DC′＝BC＝4，CH＝AC＝3，DH＝AB＝5，
分三种情况：
①如图1所示：当点C′落在GH上时，
∵∠C＝90°，
∴∠CHG＝∠BDG＝∠DGC'＝90°，
∴C'G＝＝，
由折叠的性质得：CE＝C'E，∠DC'E＝∠C＝90°，
∴∠EC'H＝∠GDC'，
∴△C'EH∽△DC'G，
∴＝，
设CE＝EC′＝x，则＝，
解得：x＝，
∴CE＝；
②如图2所示：当点C′落在DH上时，
由题意可知：DC＝DC′＝BC＝4，CH＝AC＝3，DH＝5，
∴HC'＝DH﹣DC'＝1，
设CE＝EC′＝x，
在Rt△HEC'中，12+x2＝（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴CE＝；
③如图3中，当点C′落在直线DG上时，四边形CDC'E是正方形，DG≠DC'，
此时点C′在中位线DG的延长线上，不符合题意舍去；
综上所述，点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CE的长度为或；
故答案为：或．
【点评】本题考查轴对称、三角形的中位线、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的扇形思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共55分
16．（6分）阅读下列计算过程，回答问题：
﹣x+1
＝﹣（x+1）①
＝﹣②
＝③
＝
以上过程有两处关键性错误，分别是 ①，③ ，请写出此题的正确解答过程．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：
﹣x+1
＝﹣（x﹣1）
＝﹣
＝
＝．
故答案为：①，③．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
17．（6分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4．
（1）建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标；
（2）将△ABC向左平移5个单位，请在图中画出平移后的△A1B1C1；
（3）将△A1B1C1绕点C1按逆时针旋转90°，请在图中画出旋转后的△A2B2C1．
【分析】（1）以BC的中点为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0）．
（2）如图△A1B1C1即为所画．
（3）如图△A2B2C1即为所画．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（6分）如图，有两个长度相等的滑梯BC和EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，判断两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE之间的数量关系？请说明理由．
【分析】求和的两个角，分别在直角△ABC，直角△DEF中，可以考虑这两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等，把两个角转化到同一个三角形中求和．
【解答】解：由题意得，∠BAC＝∠EDF＝90°，
BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴∠ABC＝∠DEF．
又∵∠DEF+∠DFE＝90°
∴∠ABC+∠DFE＝90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找两个角和的等量关系，把问题转化到同一个三角形中．
19．（8分）如图，两个一次函数y甲，y乙的图象如图所示．
（1）请分别写出y甲，y乙的表达式；
（2）结合图象比较y甲与y乙的大小关系．
【分析】（1）设y甲＝k1x，y乙＝k2x+b，由题意得方程或方程组，解方程（组）即可得到结论；
（2）根据函数的图形即可得到结论．
【解答】解：（1）设y甲＝k1x，y乙＝k2x+b，由题意得：
20k1＝30，，
解得k1＝1.5，，．
即y甲，y乙的表达式分别为：y甲＝1.5x；y乙＝x+20；
（2）由图象可知①当x＞20时，y甲＞y乙；
②当x＝20时，y甲＝y乙；
③当0＜x＜20时，y甲＜y乙．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确的观察图象是解题的关键．
20．（8分）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝4，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转60°，得到线段CD，连接AD，DB．
（1）求线段BD的长度；
（2）求四边形ACBD的面积．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝CD＝6，∠ACD＝60°，可求∠DCE＝30°，由勾股定理和直角三角形的性质可求DB的长．
（2）利用面积和差关系可求解．
【解答】解：（1）由旋转得AC＝CD＝6，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形
过点D作DE⊥BC于点E
∵AC⊥BC，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°
∴在Rt△CDE中，DE＝CD＝3，CE＝DE＝3
∴BE＝BC﹣CE＝
∴BD＝＝2
（2）∵S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD，
∴S四边形ACBD＝×36+×4×3＝15
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
21．（10分）以“绿色生活，美丽家园”为主题的2019年中国北京世界园艺博览会（简称北京世园会）已拉开帷幕，讲述人与自然和谱共生的精彩故事，世园会甲工程队制作园艺造型300个，与乙工程队制作园艺造型400个所用时间相等，乙工程队每天比甲工程队多制作10个园艺造型，求甲工程队每天制作园艺造型多少个？两名同学所列的方程如下：
小明：＝；小红：﹣＝10，根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明同学所列方程中的x表示 甲工程队每天制作园艺造型的个数 ，小红同学所列方程中的y表示 甲工程队制作300个园艺造型所用的时间（或乙工程队制作400个园艺造型所用的时间） ；
（2）根据你选择的方程，求出甲工程队每天制作园艺造型多少个．
【分析】（1）根据题意，利用等量间的关系找出x，y表示的意义；
（2）分别选择小明、小红同学的方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，可知：x表示甲工程队每天制作园艺造型的个数；y表示甲工程队制作300个园艺造型所用的时间（或乙工程队制作400个园艺造型所用的时间）．
故答案为：甲工程队每天制作园艺造型的个数；甲工程队制作300个园艺造型所用的时间（或乙工程队制作400个园艺造型所用的时间）．
（2）选择小明的方程：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列分式方程的解，且符合题意．
答：甲工程队每天制作园艺造型30个．
选择小红的方程：﹣＝10，
解得：y＝10，
经检验，y＝10是所列分式方程的解，且符合题意，
∴＝30．
答：甲工程队每天制作园艺造型30个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴相交于A（6，0），B（0，3）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求直线y＝kx+b的表达式及点D的坐标；
（2）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数可求出直线AB的表达式，易证△BOC≌△CED，利用全等三角形的性质可求出DE、OC的长，进而可得出点D的坐标；
（2）设点Q的坐标为（n，﹣ n+3），分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：①当CD为边时，由C，D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点Q，Q′的坐标；②当CD为对角线时，由C，D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出n值，进而可得出点Q″的值．综上，此题得解．
【解答】解：（1）将A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+3．
∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE．
在△BOC和△CED中，，
∴△BOC≌△CED（ASA），
∴OC＝DE，BO＝CE＝3．
设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m），
∵点D在直线AB上，
∴m＝﹣（m+3）+3，
∴m＝1，
∴点D的坐标为（4，1）．
（2）存在，设点Q的坐标为（n，﹣ n+3）．
分两种情况考虑，如图2所示：
①当CD为边时，∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1，
∴n＝﹣3或n＝3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q′的坐标为（﹣3，）；
②当CD为对角线时，∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0＝1+4，
∴n＝5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（﹣3，）或（5，）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的表达式；（2）分CD为边和CD为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标．下载本文
