一个开口厚壁圆筒（如图1），内半径和外半径分别为和（壁厚为，壁厚与内径的比值），受到均匀内压。材料为理想弹塑性碳钢（如图2），并遵守Mises屈服准则，屈服强度为，弹性模量，泊松比。确定弹性极限内压力和塑性极限内压力，并观察塑性应变的增长。

图1  内压作用下的端部开口厚壁圆筒            图2  理想弹塑性模型

2. 基本理论计算

2.1 基本方程

由于受到内压的作用，厚壁圆筒壁上受到径向压应力、周向压应力和轴向应力的作用，由开口的条件可推出。因为这是一个轴对称问题，所有的剪应力和剪应变均为零。平衡方程和应变—位移关系用下式表示：

                                                  （1）

                                                   （2）

弹性本构关系为：                （3）

这些控制方程利用下面的边界条件联立求解：     （4）

2.2 弹性情况

联立式（2）、（3）和（4）可得

                          （5）

因为，所以，可以观察到：，

分析采用Mises屈服准则，表达为

                （6）

该厚壁圆筒是轴对称平面应变问题，即，由Mises屈服条件其表达式可得到：

                                           （7）

当内压较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，令，筒体内壁开始屈服，此时的内压为，由式（5）、（7）联立可求得弹性极限压力为

                                               （8）

代入题目所给数据得到弹性极限强度为：

。

2.3 弹塑性情况

当时，圆筒处于弹性状态，当的情况，在圆筒内壁附近出现塑性区，产生塑性变形，随着内压的增大，塑性区逐渐向外扩展。用表示弹塑性边界时，对于，圆筒就处于塑性状态。

2.4 塑性极限荷载

当时，整个截面达到塑性极限，可得塑性极限荷载

                                               （8）

代入题目所给数据得到塑性极限荷载为：

。

3. 有限元求解

3.1 有限元模型

此问题属于平面应变问题，采用二维有限元模型，选取厚壁圆筒的1/4部分作为分析模型，其内径为、外径为，厚壁圆筒轴向无限延长，则模型处于平面应变状态。

3.2 材料属性定义

圆筒材料选用Q235钢，密度为7800kg/m3，弹性模量210Gpa，屈服强度235Mpa，泊松比0.3，截面属性选用实体、匀质，采用理想弹塑性本构关系。

3.3 荷载施加和边界条件

布置荷载边界条件和位移边界条件，其中荷载采用径向加载和往复加载的模式，加载路径如图3所示，其ABAQUS荷载和边界条件模型如图4。

     图3  往复加载路径

图4  厚壁圆筒的荷载和边界条件

3.4 网格划分

按照四节点四边形平面应变单元（如图5）划分网格，定义不同大小内压进行分析计算，分析采用Mises准则。

图5  厚壁圆筒的有限元网格

3.5 结果及分析

当取时，则，此时圆筒处于弹性阶段，用Mises准则计算输出的正向加载和反向加载的应力和应变分布分别如图6、7所示，正向和反向的最大应力均为219MPa，可以看出整个圆筒处于弹性状态并未产生塑性应变。

（a）

（b）

图6  弹性阶段正向加载计算结果

（a）Mises应力分布云纹图；（b）塑性应变分布云纹图

（a）

（b）

图7  弹性阶段反向加载计算结果

（a）Mises应力分布云纹图；（b）塑性应变分布云纹图

当取时，则，此时圆筒处于弹塑性阶段，用Mises准则计算输出的正向加载和反向加载的应力和应变分布分别如图8、9所示，正向和反向最大应力均达到屈服强度235MPa，可以看出圆筒内壁附近部分处于塑性状态，产生塑性应变，正向加载到50MPa时的塑性应变为，由于塑性应变积累之后，反向加载到50MPa时的塑性应变为，而外壁附近部分仍处于弹性状态并未产生塑性应变。

（a）

（b）

图8  弹塑性阶段正向加载计算结果

（a）Mises应力分布云纹图；（b）塑性应变分布云纹图

（a）

（b）

图9  弹塑性阶段反向加载计算结果

（a）Mises应力分布云纹图；（b）塑性应变分布云纹图

当取时，则，此时圆筒处于塑性阶段，用Mises准则计算输出的正向加载和反向加载的应力和应变分布分别如图10、11所示，正向和反向整个圆筒均屈服，可以看出圆筒整个模型都产生塑性应变，整个模型均处于塑性状态，正向加载到60.57MPa时的塑性应变为，由于塑性应变积累之后，反向加载到60.57MPa时的塑性应变为。

（a）

（b）

图10  塑性阶段正向加载计算结果

（a）Mises应力分布云纹图；（b）塑性应变分布云纹图

（a）

（b）

图11  塑性阶段反向加载计算结果

（a）Mises应力分布云纹图；（b）塑性应变分布云纹图

4. 结论与总结

从以上三种应力状态的分析结果可以看出，应用有限元软件ABAQUS可以模拟受内压作用的厚壁圆筒的弹塑性分析，其输出结果与理论计算的结果是一致的。

在进行ABAQUS模型建立过程中，还存在着比较多的问题，首先在建立模型上，应该要考虑单位的统一；其次是设置分析步时，应适当选取迭代时间和增量步的大小，这将可能影响到最后分析时的收敛问题；再次是在网格的划分上，由于是平面圆环模型，进行网格控制时应选取结构模型而非自动，否则划分的网格不均匀。而进行模型分析时，出现的问题主要是当施加理论计算得到的弹性极限荷载时，模型还未开始屈服，而加载到理论计算的塑性极限时，模型也并为完全进入塑性状态。出现这种情况的原因是进行理论计算使用的屈服准则与ABAQUS分析采用的屈服准则不同，得到的结果也与预期的不相符。最后重新进行了理论计算，采用Mises准则计算得到弹性极限强度和塑性极限强度，将其与ABAQUS分析相结合，最终得到输出的计算结果与理论计算的结果基本上达到吻合。下载本文