高等数学(一)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设 ＝2，则b＝( )
A．2 B．1
C． D．－2
2．当x→0时，tan x2
A．低阶无穷小量 B．等价无穷小量
C．同阶但不等价无穷小量 D．高阶无穷小量
3．设函数f(x)
满足 ＝1，则f′(1)＝( )
A．2 B．1
C． D．－1
4．设y＝x＋e－x，则dy＝( )
A．e－1dx B．－e－1dx
C．(1＋e－1)dx D．(1－e－1)dx
5．曲线y＝x ln x在点(e，e)处法线的斜率为( )
A．— 2 B．－
C． D．2
6．∫(cos x)′dx＝( )
A．sin x＋C B．cos x＋C
C．－sin x＋C D．－cos x＋C
7.(x cos x＋1)dx＝3( )
A．— 2 B．— 1
C．1 D．2
8.dx＝( )
A． B．
C．－ D．－
9．设z＝y5＋arctan x，则＝( )
A．5y4＋ B．
C．5y4 D．5y4＋arctan x
10．设z＝e2x－y，则＝( )
A．－e2x－y B．e2x－y
C．－2e2x－y D．2e2x－y
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、填空题(11～20小题，每小题4分，共40分)
11. ＝.
12. ＝.
13．设函数f(x)＝，则f(x)的间断点为x＝.
14．设y＝xex，则y′＝.
15．设y＝y(x)是由方程y＋ey＝x所确定的隐函数，则y′＝.
16．曲线y＝的铅直渐近线方程为.
17．∫xex2dx＝.
18.＝.
19.dx＝.
20．过坐标原点且与平面3x－7y＋5z－12＝0平行的平面方程为.
三、解答题(21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤)
21．(本题满分8分)
设函数f(x)＝在x＝1处连续，求a.
22．(本题满分8分)
设y＝，求dy.
23．(本题满分8分)
计算∫dx.
24．(本题满分8分)
求曲线y＝2x3－6x2的凹、凸的区间及拐点．
25．(本题满分8分)
设z＝ln (x＋y2)，求dz.
26．(本题满分10分)
求微分方程y″－3y′＋2y＝2的通解．
27．(本题满分10分)
计算xydxdyx＝0，y＝x和x2＋y2＝1在第一象限所围成的闭区域．
28．(本题满分10分)
将y＝ex＋1展开成x的幂级数．
参及解析
一、选择题
1．【答案】A
【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换的知识点．
【应试指导】当x→0时，ln (1＋bx)～bx，故 ＝ ＝b＝2.
2．【答案】D
【考情点拨】本题考查了高阶无穷小量的知识点．
【应试指导】 ＝ ＝x＝0，故当x→0时，tan x2为x的高阶无穷小量．
3．【答案】A
【考情点拨】本题考查了函数的导数的知识点．
【应试指导】f′(1)＝ ＝2 ＝2.
4．【答案】D
【考情点拨】本题考查了函数的微分的知识点．
【应试指导】dy＝(x＋e－x)′dx＝(1－e－x)dx，因此dy＝(1－e－x)dx＝(1－e－1)dx.
5．【答案】B
【考情点拨】本题考查了曲线的法线的知识点．
【应试指导】y′＝(x ln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，因此曲线在点(e，e)处切线的斜率为y′＝(ln x＋1)＝2，故其法线的斜率为－.
6．【答案】B
【考情点拨】本题考查了不定积分的基本性质的知识点．
【应试指导】∫(cos x)′dx＝∫d(cos x)＝cos x＋C.
7．【答案】D
【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点．
【应试指导】(x cos x＋1)dx＝∫x cos xdx＋dx＝dx＝x＝2.
8．【答案】A
【考情点拨】本题考查了广义积分的计算的知识点．
【应试指导】dx＝x－3＋1＝－＝.
9．【答案】C
【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点．
【应试指导】＝(y5)′＝5y4.
10．【答案】C
【考情点拨】本题考查了二元函数的高阶偏导数的知识点．
【应试指导】＝e2x－y·2＝2e2x－y，＝2e2x－y·(－1)＝－2e2x－y.
二、填空题
11．【答案】
【考情点拨】本题考查了函数极限的四则运算的知识点．
【应试指导】 ＝＝.
12．【答案】
【考情点拨】本题考查了函数极限的四则运算法则的知识点．
【应试指导】 ＝ ＝.
13．【答案】0
【考情点拨】本题考查了函数的间断点的知识点．
【应试指导】函数在x＝0
处无定义，故其间断点为x＝0.
14．【答案】(x＋1)ex
【考情点拨】本题考查了函数导数的知识点．
【应试指导】y′＝(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
15．【答案】
【考情点拨】本题考查了隐函数的求导的知识点．
【应试指导】方程两边对x求导，得y′＋ey·y′＝1，即y′＝.
16．【答案】x＝2
【考情点拨】本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点．
【应试指导】当x→2时， ＝∞，故x＝2为曲线的铅直渐近线．
17．【答案】ex2＋C
【考情点拨】本题考查了不定积分的第一换元积分法的知识点．
【应试指导】∫xex2dx＝∫2xex2dx＝∫ex2d(x2)＝ex2＋C.
18．【答案】tan x
【考情点拨】本题考查了变上限定积分的性质的知识点．
【应试指导】＝tan x.
19．【答案】
【考情点拨】本题考查了定积分的知识点．
【应试指导】dx＝arctan x＝.
20．【答案】3x－7y＋5z＝0
【考情点拨】本题考查了平面方程的知识点．
【应试指导】已知所求平面与3x－7y＋5z－12＝0平行，则其法向量为(3，－ 7，5)，故所求方程为3(x－0)＋(－7)(y－0)＋5(z－0)＝0，即3x－7y＋5x＝0.
三、解答题
21.f(x)＝ ＝2a＋a2，
f(x)＝ (－x)＝－1.
由于f(x)在x＝1处连续，所以f(x)＝f(x)，即2a＋a2＝－1.
解得a＝－1.
22．y′＝，
dy＝y′dx＝dx.
23．令t＝，则x＝t2，dx＝2tdt.
∫dx＝∫dt
＝2∫cos tdt
＝2sin ＋C.
24．y′＝6x2－12x，y″＝12x－12.
由y″＝12x－12＝0得x＝1.
当x<1时，y″<0，因此在区间(－∞，1)曲线是凸的；
当x>1时，y″>0，因此在区间(1，＋∞)曲线是凹的；
当x＝1时，y＝－4，点(1，－4)为曲线的拐点．
25.＝，＝，
于是dz＝dx＋dy，
因此dz＝dx＋dy.
26．原方程对应的齐次方程的特征方程为r2－3r＋2＝0，
特征根为r1＝1，r2＝2.
故原方程对应的齐次方程的通解为y＝C1ex＋C2e2x，
y*＝1为原方程的特解，
所以原方程的通解为y＝C1ex＋C2e2x＋1.
27．在极坐标系中，D可表示为≤θ≤，0≤r≤1.
xydxdy＝∫dθr2cos θsin θ·rdr
＝∫sin θd(sin θ)·r3dr
＝sin 2θ·r4
＝.
28．ex＋1＝e·ex
＝xn(－∞
