理科试题
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直线与直线平行，那么系数 （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函数在一个周期内的图象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
y y y y
o x o x o x o x
（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函数的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）满足的x的取值范围是 （ D ）
（A）[-1，]（B）[，0]（C）[0，]（D）[，1]
（7）将的图象 （ D ）
（A）先向左平行移动1个单位（B）先向右平行移动1个单位
（C）先向上平行移动1个单位（D）先向下平行移动1个单位
再作关于直线对称的图象，可得到函数的图象
（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）曲线的参数方程是，它的普通方程是（A） （B） （ B ）
（C） （D）
（10）函数的最小值为 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圆台上、下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④
（14）不等式组的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ D ）
（A）150种 （B）147种 （C）144种 （D）141种
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（16）已知的展开式中的系数为，常数的值为_____
答：4
（17）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_______
答：
(18)的值为_______
答：
（19）已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若垂直于内的两条相交直线，则
②若平行于，则平行于内的所有直线;
③若
④若
⑤若
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：①，④
三．解答题：本大题共6小题;共69分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分10分）
已知复数复数在复平面上所对应的点分别为P，Q。证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）
解：因为
因为
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形。
（21）（本小题满分11分）
已知数列都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且设为数列的前n项和.求
解：
分两种情况讨论：
（1）
（2）
（22）（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时。，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，
全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
（Ⅱ）依题意知S，都为正数，故有
当且仅当时上式中等号成立。
若时，全程运输成本y最小
若时，有
因为
所以时等号成立，也即当时，
全程运输成本y最小。
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为
当时行驶速度应为。
（23）（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。
D1 C1
A1 B1
E
D C
H F
A B
G
（Ⅰ）证明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;
（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的
体积VF-A1ED1.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中点G，连结A1G，FG
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交与点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=900，即直线AE与D1F所成角为直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）连结GE，GD1.
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∴体积VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-A1GE，
∵AA1=2，∴面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=
∴VF-A1ED1=VD1-A1GE=
（24）（本小题满分12分）
设二次函数，方程的两个根满足
（Ⅰ）当时，证明：
（Ⅱ）设函数的图象关于直线对称，证明：
解：（Ⅰ）令因为是方程的根，所以
（Ⅱ）依题意知
因为是方程的根，即是方程
的根
所以
（25）（本小题满分12分）
设足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。
解法一：设圆的圆心为，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得的弦长为，故
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得
又点到直线的距离为
所以
当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值.
由此有解此方程组得
由于知
于是，所求圆的方程是
解法二：同解法一得
，得
将代入（1）式，整理得
把它看作的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
所以 有最小值1，从而有最小值
将其中代入（2）式得解得
将代入
综上
由同号。
于是，所求圆的方程是
文科试题
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直线与直线平行，那么系数 （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函数在一个周期内的图象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
y y y y
o x o x o x o x
（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函数的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）满足的角的一个取值区间是 （ C ）
（A）（0，] （B）[0，] （C）[，） （D）[，]
（7）设函数定义域在实数集上，则函数与
的图象关于 （ D ）
（A）直线y=0对称 （B）直线x=0对称
（C）直线y=1对称 （D）直线x=1对称
（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果直线将圆：平分，且不通过第四象限，那么的斜率的取值范围是 （ A ）
（A）[0，2] （B）[0，1] （C）[0，] （D）[0，）
（10）函数的最小值为 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圆台上、下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④
（14）不等式组的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 （ B ）
（A）30种 （B）33种 （C）36种 （D）39种
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（16）已知的展开式中的系数为，常数的值为_____
答：4
（17）已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_______
答：（4，2）
(18)的值为_______
答：
（19）已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若垂直于内的两条相交直线，则
②若平行于，则平行于内的所有直线;
③若
④若
⑤若
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：①，④
三．解答题：本大题共6小题;共69分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分10分）
已知复数求复数的模及辐角主值。
解：
故复数的模为，辐角主值为.
（21）（本小题满分11分）
设是等差数列前n项和。已知与的等比中项为，与的等差数列中项为1。求等差数列的通项.
解：设等差数列数列的首项公差为，
则通项为
前n项和为
依题意有
其中由此可得
整理得解方程组得
由此得
经验证知均适合题意。
故所求等差数列的通项为
（22）（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时。，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，
全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
（Ⅱ）依题意知S，都为正数，故有
当且仅当时上式中等号成立。
若时，全程运输成本y最小
若时，有
因为
所以时等号成立，也即当时，
全程运输成本y最小。
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为
当时行驶速度应为。
（23）（本小题满分12分）
D1 C1
A1 B1
E
D C
F
A B
G
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。
（Ⅰ）证明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;
（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）设AA1=2，求三棱锥E-AA1F的体积VE-AA1F.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中点G，连结A1G，FG
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交与点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=900，即直线AE与D1F所成角为直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）∵体积VE-AA1F=VF-AA1E，
又FG⊥面ABB1A1，三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2，
面积S△AA1E=S□ABB1A1=
∴VE-AA1F =
（24）（本小题满分12分）
已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的图象交于C、D两点。
（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上;
（Ⅱ）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。
解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为，
由题设知，，则点A、B纵坐标分别为
因为A、B在过点O的直线上，
所以
点C、D的坐标分别为
由于
OC的斜率OD的斜率
由此可知，
即O、C、D在同一条直线上。
（Ⅱ）由于BC平行于x轴知即得
代入得
由于
考虑
于是点A的坐标为
（25）（本小题满分12分）
设足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1;③圆心到直线：的距离为。求该圆的方程。
解法一：设圆的圆心为，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得的弦长为，故
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得
又点到直线的距离为，所以
即有，由此有
解方程组得于是知
所求圆的方程是
于是，所求圆的方程是下载本文
