一、选择题
1.（07全国）设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于（ ）
A. B. C. −1 D. 1
解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x−c)=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x−c)=1，由此得。
一般地，由题设可得，，其中且，于是af(x)+bf(x−c)=1可化为
，即
，所以
。
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=−1。由(1)、(3)知，所以。
2.（08全国）中，边成等比数列，则的取值范围是（ C ）
A. B.
C. D.
[解] 设的公比为，则，而
．
因此，只需求的取值范围．
因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组
即
解得
从而，因此所求的取值范围是．
3．（08江苏）如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么 答：[B]
A.与都是锐角三角形
B.是锐角三角形，是钝角三角形
C.是钝角三角形，是锐角三角形
D.与都是钝角三角形
解 两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设
cos=sin=cos， cos=sin=cos，
cos=sin=cos.
则
，，，
即 ，矛盾. 选B.
4.（08河北）已知，则的取值范围是（ ）．
A B C D
答案：D．
解：设，易得，即．由于，所以，解得．
5.（08湖南）设，，，,则的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：因为，所以，
；；
；．
又，故故选B.
6.（08江西）若对所有实数，均有，则（ ）.
、； 、； 、； 、．
解：记，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意．
二、填空题
1.（08江西） .
解：
，
所以．
2.（08湖北）设集合，则E的真子集的个数为 15
3.（08湖北）若，则使函数为奇函数的的个数为 3 ．
4．（08湖北）在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为．
5．（08湖北）已知，，过作直线的垂线，垂足为．若，，，则 -2 ．
6．（07全国）在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
，若，则与的夹角的余弦值等于________
解：因为，所以，即。因为，
，，所以，即。设与的夹角为θ，则有，即3cosθ=2，所以。
7.（07全国）已知函数，则f(x)的最小值为_____
解：实际上，设，则g(x)≥0，g(x)在上是增函数，在上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g(x2)=g(x1)。于是
，而f(x)在上是减函数，所以，即f(x)在上的最小值是。
8.（08全国）设的最小值为，则．
[解]
，
(1)时，当时取最小值；
(2)时，当时取最小值1；
(3)时，当时取最小值．
又或时，的最小值不能为，
故，解得， (舍去)．
9.（10全国）已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 .
解：令，则原函数化为，即
.
由 ，
，
及 知
即 （1）
当时（1）总成立；
对；
对.
从而可知 .
10.（08江苏）在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 .
解 切割化弦，已知等式即，
亦即，即=1，即.
所以，，故.
11.（08河北）是平面上不共线三点，向量，，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是 ____ ____．
答案:8．
解：如图,是线段AB的垂直平分线，，
，，
．
12．（08浙江）已知，直线与
的交点在直线上，则 。
解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程
，
的两个根，即为方程
的两个根。因此
，
即0。
13．（08浙江）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为 。
解：设，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。在△DGB中，
当时，即。
14.（09湖北）设，，则的值域为
15.（09湖北）已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则．
16.（09江苏）已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝
解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，
∴ α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πα＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)．
∴ cos(α＋β)＝0．
17.（09江苏）设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝
解：设||＝||＝||＝R．则
·＝(＋)·＝·＋·＝R2cos(π－2C)＋R2cos2B
＝R2(2sin2C－2sin2B)＝(2RsinB)2－(2RsinC)2＝(122－132)＝－．
18.（09江苏）12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．
解：＝△ACD∽△ABC∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．
∴ CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．
∴ cosA＝＝＝＝．
∴ BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·＝72·9BC＝21．
附加：（07全国）设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x
（07全国）设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x
证明：记，，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令，，，，其中k为任意整数。
容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时，显然成立；当时，因为，而
，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。
下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ−2kπ)=h(−kπ)=−h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，
，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。
于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。下载本文
