(总分160分, 考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知集合,则 ▲ .
2．若复数（为虚数单位），且为纯虚数，则实数的值为 ▲ .
3．如图所示的流程图中，输出的结果是 ▲ .
4．在学生人数比例为的A，，三所学校中，用分层抽样方法招募名志愿者，若在学校恰好选出了6名志愿者，那么 ▲ .
5．若的值为 ▲ .
6．已知直线的充要条件是 ▲
7．已知，
，若向区域上随机投一
点P，则点P落入区域A的概率为 ▲ .
8．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值是 ▲ .
9．如图，在△ABC中，∠ABC=900，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，
则的值为 ▲ .
10．若直线y=x是曲线y=x3—3x2+px的切线，则实数p的值为____________.
11. 设，若时，均有
则的值为 ▲ .
12.设数列的的前项的和为，已知，设
若对一切均有，则实数的取值范围为 ▲ .
13．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是 ▲ .
14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O 的直线MN分别交
正方形的边AB，CD于点M，N，则当取最小值时，CN= ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内
15. （本题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若，且，求a+c的值；
（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点.
（1）求证：直线∥平面；
（2）求证：直线平面.
17．（本小题满分14分）
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。
（1）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围；
（2）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。
18.（本题满分16分）
已知椭圆的离心率为, 且过点, 记椭圆的左顶点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设垂直于轴的直线交椭圆于两点, 试求面积的最大值；
(3)过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点, 且, 求证: 直线恒过一个定点.
19. （本题满分16分）
已知函数
（1）求证：函数在点处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若在区间上恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个。
20. （本题满分16分）
已知数列首项，公比为的等比数列，又，常数，数列满足，
（1）求证为等差数列；
（2）若是递减数列，求的最小值；（参考数据：）
（3）是否存在正整数，使重新排列后成等比数列，若存在，求的值，若不存在，说明理由。
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，是直角，圆Ｏ与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C。求证：BT平分
B．（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线：变为直线，求直线的方程.
C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被圆截得的弦的长度.
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知都是正数，且=1，求证：
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足,且.
(1)试确定、两点的位置.
(2)求二面角大小的余弦值.
23. 设二项展开式的整数部分为，小数部分为.
（1）计算的值；
（2）求.
参
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1. 2. 3.120 4. 5. 6.
7. 8. 9．24 11. 12. 或 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内
15. （1）A、B、C成等差数列，又,，
由得，，． ①
又由余弦定理得，
． ② 由①、②得， ．
（2）= =，
∴的取值范围为．
所以
16．证明：（Ⅰ）连结,在中,因为,分别为,的中点,
所以// …3分
而平面，平面,……………6分
∴直线∥平面……………………………7分
（Ⅱ）因为面面,面面,
面,且,
所以平面,……………………………10分
，，且、面,所以面…12分
而∥,所以直线平面………………14分
17．由于则AM＝
故SAMPN＝AN•AM＝ …………4分
（1）由SAMPN > 32 得 > 32 ，
因为x >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0
从而
即AN长的取值范围是…………8分
（2）令y＝，则y′＝ ………… 10分
因为当时，y′< 0，所以函数y＝在上为单调递减函数，
从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，
此时AN＝3米，AM=9米 …………15
18．解:(1)由,解得,所以椭圆的方程为……4分
(2)设, ,则………………6分
又, 所以,
当且仅当时取等号……………………8分
从而, 即面积的最大值为……………………… 9分
(3)因为A(－1,0),所以,
由,消去y,得,解得x=－1或,
∴点………11分
同理,有,而,
∴…12分 ∴直线BC的方程为
,
即,即……14分
所以,则由,得直线BC恒过定点……16分
(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设,然后代入找关系)
19. (1)因为 ，所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线方程为，……2分
整理得，所以切线恒过定点． ………4分
(2) 令<0，对恒成立，
因为（*）
………………………………………………………………6分
令，得极值点，，
①当时，有，即时，在（，+∞）上有，
此时在区间上是增函数，并且在该区间上有∈，不合题意；
②当时，有，同理可知，在区间上，有∈，也不合题意； …………………………………………… 8分
③当时，有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
所以．
综上可知的范围是． ……………………………………………12分
(3)当时，
记．
因为，所以在上为增函数，
所以， ………………………………14分
设, 则,
所以在区间上，满足恒成立函数有无穷多个……16分
20.（1）为首项是，公差的等差数列
（2），
恒成立，即恒成立
，故
②、若是等比中项，则由得化简得，显然不成立．………………13分
③、若是等比中项，则由
得
化简得，因为不是完全不方数，因而，x的值是无理数，显然不成立．……15分
综上：存在适合题意。………16分
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
连结，因为是切线，所以．又因为是直角，即，所以，所以．……………………………… 5分
又，所以，
所以，
即平分．……………………………… 10分
B．（选修4—2：矩阵与变换）
易得……3分, 在直线上任取一点，经矩阵变换为
点，则，∴，
即……8分
代入中得,∴直线的方程为…………………10分
C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
解：的方程化为，两边同乘以，得
由,得………………………………5分
其圆心坐标为，半径,又直线的普通方程为,
∴圆心到直线的距离,∴弦长…………10分
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
因为是正数，所以， ……………………………5分
同理，
将上述不等式两边相乘，得，
因为，所以．……………………10分
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
解:(1)以为正交基底建立空间直角坐标系,设,
, ,
,
∵,∴，∴，解得……4分
∴PC=1,CQ=1,即分别为中点…………………5分
(2)设平面的法向量为，∵,又，∴，令，则,………8分
∵为面的一个法向量,∴,而二面角为钝角,故余弦值为……10分
23．【解析】本题考查二项式定理的展开式。
（1）因为，所以， ， ，
所以； ……………………………2分
又，其整数部分，小数部分，
所以. ……………………………………4分
（2）因为①
而②
①—②得：—（=2（……8分
而，所以—（，
所以．………………………………10分
（注：若猜想出而未给出证明只给2分）
某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为。
（1）若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X的概率分布和数学期望。
（2）假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次，被停止投篮测试的概率是多少？下载本文
