1．函数单调减区间为（ ）

A． ． ． ．

2．若，，则等于（ ）

A． ． ． ．

3．若实数a，b，c满足，其中，则下列结论正确的是（ ）

A． ． ． ．

4．函数的定义域是（ ）

A． ． ． ．

5．设，且时，有，则（ ）

A． ． ． ．

6．已知，则（ ）

A． ． ． ．

7．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）

A． ． ． ．

8．已知，则的大小关系是（ ）

A． ． ． ．

9．一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到，已知，）

A． ． ． ．

10．设函数，则（ ）

A．是偶函数，且在单调递增

B．是偶函数，且在单调递增

C．是奇函数，且在单调递减

D．是奇函数，且在单调递减

11．已知，则、、的大小排序为

A． ． ． ．

12．已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于 轴对称，若，则实数的值为

A． ． ． ．

二、填空题

13．下列命题中所有正确的序号是___________．

①函数 在上是增函数；

②函数的定义域是，则函数的定义域为；

③已知=，且，则；

④为奇函数．

14．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．

15．函数f(x)=lg()是_________（奇、偶）函数.

16．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________.

17．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________

18．如图，在面积为2的平行四边形OABC中，，AC与BO交于点E.若指数函数经过点E，B，则函数在区间上的最小值为________.

19．给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．

20．已知是上的减函数，那么的取值范围是__________.

三、解答题

21．已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）讨论函数的奇偶性；

（3）证明：函数在定义域上单调递减.

22．已知函数，.设函数.

（1）求函数的定义域；

（2）判断奇偶性并证明；

（3）若成立，求的取值范围.

23．已知二次函数满足且.

（1）求函数的解析式；

（2）若且在上的最大值为8，求实数的值.

24．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0，且a≠1.

（1）求f(x)的定义域；

（2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明；

（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围.

25．计算：（1）；.

（2）

26．已知函数；

（1）若，求的值；

（2）求的值．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

根据复合函数的单调性可知，的单调减区间为在定义域上的单调增区间.再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可.

【详解】

解：函数的定义域为 

令，则为单调递减函数，由复合函数的单调性可知：的单调递减区间为在上的单调增区间.

，对称轴为，开口向下，所以的单调增区间为.

故选：B.

【点睛】

本题考查复合函数的单调性，属于中档题.

方法点睛：（1）先求出函数的定义域；

（2）判断外层函数的单调性；

（3）根据复合函数同增异减的原则，判断要求的内层函数的单调性；

（4）求出单调区间.

2．C

解析：C

【分析】

利用对数的换底公式可将用、表示.

【详解】

根据对数的换底公式得，

，

故选：C．

【点睛】

关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中是题目的一个难点和易错点.

3．D

解析：D

【分析】

首先确定，，的取值范围，再根据指对互化得到，，再代入选项，比较大小.

【详解】

由题意可知a(0，1)，b(2，4)，c(3，9)，且，对于A选项，，可得到，故选项A错误；对于B选项，，，所以，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，，，而c>b，所以，故D选项正确.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.

4．A

解析：A

【分析】

根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域.

【详解】

由题意得，函数的定义域需满足，解得：

所以函数的定义域是.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.

5．D

解析：D

【分析】

作出的图象，利用数形结合即可得到结论．

【详解】

∵函数，作出的图象如图所示，∵时，有，

∴0＜a＜1，c＞1，即f（a）＝|lga|＝﹣lga，f（c）＝|lgc|＝lgc，∵f（a）＞f（c），

∴﹣lga＞lgc，则lga+lgc＝lgac＜0，则.

故选：D．

【点睛】

关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a，c的取值范围.

6．B

解析：B

【分析】

根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果

【详解】

因为，，，

．

故选：B．

【点睛】

比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答

7．A

解析：A

【分析】

首先判断函数的性质，再比较的大小关系，从而利用单调性比较，，的大小关系.

【详解】

是偶函数，并且当时，是增函数，

，

因为，，即 

又因为在是增函数，所以.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数的性质，后面的问题迎刃而解.

8．D

解析：D

【分析】

根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较．

【详解】

由对数函数性质知，，由指数函数性质知，∴．

故选：D．

【点睛】

方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，

比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．

9．B

解析：B

【分析】

先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期.

【详解】

设放射性元素的半衰期为年，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以，所以，所以，

故选：B.

【点睛】

思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路：

（1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；

（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.

10．D

解析：D

【分析】

根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论．

【详解】

函数定义域是，

，是奇函数，排除AB，

，时，，，即，而是减函数，∴是增函数，∴在上是增函数，排除C．只有D可选．

故选：D．

【点睛】

结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．与的单调性相反，

在恒为正或恒为负时，与的单调性相反，若，则与的单调性相反．时，与的单调性相同．

11．A

解析：A

【解析】

 为正实数，且，

可得： 即 

因为函数 单调递增，∴.

故选A.

12．D

解析：D

【分析】

根据指数函数与对数函数的关系，以及函数的图象与的图象关于轴对称，求得，再由，即可求解.

【详解】

由题意，函数与互为反函数，所以，

函数的图象与的图象关于轴对称，所以，

又由，即，解得 

故选D.

【点睛】

本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题

13．①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断②；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断④【详解】解：当时且恒成

解析：①④

【分析】

根据指数的运算性质且恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④

【详解】

解：当时，且恒成立，故（1）恒成立，故函数且的图象一定过定点，故①正确；

函数的定义域是，则函数的定义域为，故②错误；

已知，且，则，故③错误；

的定义域为，

且，故为奇函数，故④正确；

故答案为：①④

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

14．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a值【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p）Q（q）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq由于：2p+q=36pq所以：a2=36由于a＞0故

解析：6

【分析】

直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．

【详解】

函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：=1，

解得：2p+q=a2pq，

由于：2p+q=36pq，

所以：a2=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为6

【点睛】

本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．

15．奇【解析】又所以函数f(x)是奇函数点睛:判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等

解析：奇

【解析】

又 

所以函数f(x) 是奇函数.

点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

16．【解析】画出函数的图象如图所示：观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛：函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横

解析： 

【解析】

画出函数，，，的图象，如图所示：

观察图象可知，函数，，的零点依次是点，，的横坐标，由图像可知.

故答案为

点睛：函数的零点与方程根的分布问题，解题时常用数形结合思想，对于方程的根，可分别画出与的图象，则两个函数图象的交点的横坐标即为方程的根.

17．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数

解析：

【分析】

设值域为，根据题意，对分类讨论，结合根的判别式，即可求解.

【详解】

设值域为， 

函数的值域为，

当时，值域为，满足题意；

当时，须，解得，

综上，实数a的取值范围是.

故答案为:.

【点睛】

本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.

18．【分析】设点则点B的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B的坐标为∵∴∵平行四边形OABC的面积又平行四边形OABC的面积为2

解析：

【分析】

设点，则点B的坐标为，由题意得，则，再根据平行四边形的面积求得，由此得，得函数的解析式，从而得函数的的单调性与最值．

【详解】

解：设点，则点B的坐标为，

∵，∴，

∵平行四边形OABC的面积，

又平行四边形OABC的面积为2，

∴，，所以，，

∴在为增函数，

∴函数的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．

19．①③【分析】A即为函数的定义域B即为函数的值域求出每个函数的定义域及值域直接判断即可【详解】对①A＝(﹣∞0)∪(0+∞)B＝(﹣∞0)∪(0+∞)显然对于∀x∈A∃y∈B使得x+y＝0成立即具有性

解析：①③

【分析】

A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．

【详解】

对①，A＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；

对②，A＝R，B＝ (0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；

对③，A＝ (0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；

故答案为：①③．

【点睛】

本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．

20．【分析】由在R上单调减确定a3a-1的范围再根据单调减确定在分界点x=1处两个值的大小从而解决问题【详解】因为是上的减函数所以解得故答案为：【点睛】本题考查分段函数单调性问题关键根据单调性确定在分段

解析：

【分析】

由在R上单调减，确定a， 3a-1的范围，再根据单调减确定在分界点x=1处两个值的大小，从而解决问题.

【详解】

因为是上的减函数，

所以，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题考查分段函数单调性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小，属于中档题.

三、解答题

21．(1)  函数为奇函数 证明见解析.

【分析】

(1)由的定义域满足可得答案.

(2)直接判断与的关系可得答案.

(3) 设，先作差判断出，再由对数函数在上单调递增有，，即可得出结论.

【详解】

解：（1）令，可得，即，解得

函数的定义域为

（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称

由，可得函数为奇函数

（3）设

设

∵

∴

∴

利用对数函数在上单调递增有，

即

故函数在上单调递减．

【点睛】

关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出与的大小关系，再由函数在上单调递增得到，即，属于中档题.

22．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）

【分析】

（1）由可解得结果；

（2）是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确；

（3）根据对数函数的单调性可解得结果.

【详解】

（1）由，解得，所以函数的定义域为.

（2）是奇函数. 证明如下：

 ，都有，因为 ，

∴是奇函数.

 （3）由可得，得，

即，

由对数函数的单调性得，解得.

【点睛】

易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域.

23．（1）；（2）或

【分析】

（1）由，可知关于对称，结合、，可求出函数的解析式；

（2）分和两种情况，分别讨论函数的最大值，令最大值等于8，可求出实数的值.

【详解】

（1）∵，函数关于对称，

又，故设，，

而，，解得，

，即.

（2）①当时，，由，则，

由二次函数的性质可知，的最大值为中的较大者，

若，解得或，都不符合题意，舍去；

若，解得或，只有符合题意.

②当时，，由，则，

由二次函数的性质可知，的最大值为中的较大者，

若，解得或，只有符合题意；

若，解得或，都不符合题意.

综上所述，实数的值为或.

【点睛】

易错点睛：本题主要考查二次函数相关知识，属于中档题.解决该问题应该注意的事项：

（1）要注意二次函数的开口方向、对称轴、顶点；

（2）开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越大；离对称轴越近，函数值越小；

（3）开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越小；离对称轴越近，函数值越大.

24．（1）{x|－1＜x＜1}；（2）f(x)为奇函数；证明见解析；（3）(0，1).

【分析】

（1）根据真数大于零，列出不等式，即可求得函数定义域；

（2）计算，根据其与关系，结合函数定义域，即可判断和证明；

（3）利用对数函数的单调性，求解分式不等式，即可求得结果.

【详解】

（1）因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，

所以解得－1＜x＜1.

故所求函数的定义域为{x|－1＜x＜1}.

（2）f(x)为奇函数.

证明如下：由（1）知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，

且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x).

故f(x)为奇函数.

（3）因为当a＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x＜1}上是增函数，

由f(x)＞0，得＞1，解得0＜x＜1.

所以x的取值范围是(0，1).

【点睛】

本题考查对数型复合函数单调性、奇偶性以及利用函数性质解不等式，属综合中档题.

25．（1）；（2）0

【分析】

（1）由幂的运算法则计算；

（2）根据对数运算法则计算．

【详解】

（1）原式

（2）原式

【点睛】

本题考查幂的运算和对数的运算，掌握幂的运算法则和对数运算法则是解题基础．

26．（1）1；（2）1010．

【分析】

（1）根据的表达式，求出的表达式，再进行分式通分运算，可得．

（2）设，再把的表达式运用加法交换律改写成，把两式相加利用求出的值．

【详解】

（1），．

，

（2）设，则

，

两式相加得：

由（1）得：

，

∴.

【点睛】

本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力.下载本文