数学（理科）
本试卷共4页，20题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设{}1,2,3,4,5U =-,{}1,5A =-,{}2,4B =,则(
)U
B A = ?
（ ）
A. {2}
B. {1,3,4,5}
C. {2,3,4}
D. {2,4}
2. 复数（i 是虚数单位）的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3
3. 已知x 、y 满足0020350
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨-≤⎪⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（
）
5. 已知2(3,log 15)a →
=，2(2,log 3)b →
=,2(2,log )c m →
=,若()a b →
- c →
,则m 的值为（ ）
A ．25
B ．
C ．10
D
6. 甲乙等5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1个人，则不同站法有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种
7. 与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．2ln 2B ．2ln 2-C ．4ln 2- D ．42ln 2-
8.把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆．正整数27的不同等差分拆有( )个. Ks5u
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.
9. 4
(1)x -的展开式中2x 的系数是
10. 等比数列{}n a 中，12a =，且232a a a =，则数列{}n a 的前n 项和公式是
n S =
.
11. ，则tan α的值为 12.如图，正方形ABCD 的边长为1，
点E 是CD 的中点，则AE AB
的值为
Ks5u
13.
一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
14. 函数()|2|f x x a x a =++-，x R ∈的最小值为3，则a 的值为
三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15.(本小题满分14分)
如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.（1）求异面直线1BA 与1CC 所成角的大小；（2）求证:1A C ⊥平面1BC D ；（3）求三棱锥1C BDC -的表面积．．．
.
E
C
Ks5u
16.
,x R ∈)的最大值是5，周期为π.
(1)求A 和.
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ，
,2AB =,4,3AD DC ==,5PA =，E PC ∈,AC BD F ⋂=.(1)若求证：EF 平面PAB ;(2)
若FE PC ⊥,求二面角E DB C --的平面角的余弦
18.(本小题满分12分)
由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y （个浓度单位）与时间x （个时间单位）的关系为
1（个浓度单位）时，才
能对污染产生有效的抑制作用。Ks5u
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
A B C
D
E
F
（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.
19.（本题满分14分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意(1)求2;a (2)求数列{}n a 的通项公式；（3
Ks5u
20.(本小题满分14分)
已知函数()
2()33x f x x x e =-+，其定义域为[]2,(2)t t ->-， （1）当2t =时时，求函数()f x 的极大值；
（2）求证：对于任意的2t >-，总存在()02,x t ∈-，满足样的0x 的个数。
参及评分建议
二、填空题
9. 6 10. 122n +- 13. 2-
15.(1).解：面直线1BA 与1CC 所成角为45︒----------------4分 （2分 （3分
分
分
分
分
17.(1)证明： AB DC 且
分 P
在PAC 中，,EF PA ∴ ------2分 EF ⊄平面PAB ,PA ⊂平面PAB ,EF PA
EF ∴ 平面PAB ------4分
解：(2)取FC 的中点G ，连结EG ，过G 作GO ⊥BD 于O,连结EO. 在DAC 中，,3,2CF AF ==
在FEC 中， ,45,FE EC FCE G ⊥∠=︒为FC 的中点，EG AC ∴⊥,EG PA ∴
PA ⊥平面ABCD, EG PA ∴ ，EG ∴⊥平面ABCD Ks5u
EG ⊥ 平面ABCD, BD ⊂平面ABCD, EG ∴⊥BD
,,BD GO BD EG ⊥⊥ EG GO G ⋂=,,EG OG ⊂平面EGO, BD ∴⊥平面EOG EOG, OE ⊂平面EOG, BD OE ∴⊥
为二面角E DB C --的平面角------------------------------9分
在BDC
中，
分 `二面角E DB C --的平面角的余弦值为
------------------------------14分
,(0,0,5)P
分
设PE PC λ
= ,则(4,3,55)AE PC AP λλλλ=+=-
∴点E 的坐标为(4,3,55)λλλ-
Ks5u 设1(,,)n x y z = 是平面EBD 的法向量
，取1x =，则2,2y z ==-,1(1,2,2)n =- ------------10分 2(0,0,1)n = 是平面BDC 的法向量------------------------------------------11-分
分
`
二面角E DB C --的平面角的余弦值为分 18.解： （1
分
分 分 即若1分
（2 ------7分 当24x <≤时，-------------8分 所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1
当3
x>时，第一、二次投放的固体碱的浓度均在下降（或
分
分
分
分
19.（方法一）解：（1得
2
8
a=-------2分
（2）当2
n≥时，2
1
4(1)(1)
n n
S n a n n
-
=---○1
2
1
4(1)
n n
S na n n
+
=-+○2
○1-○2整理得
1
(3)(31)
n n
na n a n n
+
-+=+-------4分
，所以对于任意正整数n都有-------5分
分则当2
n≥时，分
12132431
()()()()
n n n
b b b b b b b b b b
-
-=-+-+-++-
分 3n a n =，而3111a ==，所以数列{}n a 的通项公式是3n a n =.-------10分
(方法二) 解：（1得28a =-------2分 11a =，28a =，327a =，所以数列数列{}n a 的通项公式是3n a n =.-----4分 下面用数学归纳法证明该结论成立：
(a)当1,2n =结论显然成立
(b)假设当*
(,2)n k k N k =∈≥时结论成立，即3k a k =-----5分
当2n ≥时，214(1)(1)n n S n a n n -=---○1 214(1)n n S na n n +=-+ ○2 ○1
-○2整理得1(3)(31)n n na n a n n +-+=+ -----7分Ks5u
也就是说，当1n k =+时结论也成立，-----9分
根据（a ）（b ）可知，对于任意*
,n N ∈3n a n =----10分
(3)当1n =时，不等式成立，-----11分
当2n ≥时，3(1)(1)n a n n n n =>-+
-----12分
-----14分
20.解：22()(23)(33)()x x x
f x x e x x e x x e '=-+-+=-----1-分
（1） 由2()()0x f x x x e '=-=得0x =，或1x =-----2分 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表
()f x 的极大值为(0)3f =.-----4分
分
分 分Ks5u ○1当4t >，或21t -<<时，(2)()0g g t -⋅<，所以()0g x =在(2,)t -上有解，且只有一解；-----9分
○2当14t <<时，(2)0g ->且()0g t >，所以()0g x =在(2,)t -上有解，且有两解；-----11分
○3当1t =或4t =时，()0g x =在(2,)t -上有解，且只有一解；-----13分
综上所述，对于任意的2t >-，总存在()02,x t ∈-，满足当4t ≥或21t -<≤时，有唯一的0x 适合题意，当14t <<时，有两个0x 适合题意 -----14分
