一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是( )
A. B. C. D.
3. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是( )
A. 对称轴 B. 开口方向 C. 和轴的交点 D. 顶点
4. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，那么所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为( )
5. 下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6. 中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是，那么下列结论中，正确的是( )
A. 圆与圆相交 B. 圆与圆外切 C. 圆与圆外切 D. 圆与圆外离
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 计算：______．
8. 分解因式：______．
9. 方程的根是______．
10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为______．
11. 函数中自变量的取值范围是______．
12. 当时，一次函数的图像不经过第______象限．
13. 一个不透明的袋子里装有个红球和个黑球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______ ．
14. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相同，两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两袋子重量忽略不计，问黄金、白银每枚各重多少两？设黄金每枚重两，白银每枚重两，根据题意可列方程组______
15. 一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的倍，那么这个正多边形的边数是______．
16. 如图，在平行四边形中，点是边中点，联结交对角线于，设，，那么可用、表示为______．
18. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”在中，，，若是“匀称三角形”，那么：：______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
解方程组：．
21. 本小题分
已知在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像交于点，直线垂直于轴，垂足为点点在原点的右侧，并分别与正比例函数和反比例函数的图像相交于点、，且．
求正比例函数和反比例函数的解析式；
求的面积．
为解决群众“健身去哪儿”问题，某区年新建、改建个市民益智健身苑点，图是某益智健身苑点中的“侧摆器”锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．
如图是侧摆器的抽象图，已知摆臂的长度为厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．精确到厘米，，
小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了大卡，结果比原计划提早分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？
23. 本小题分
已知：如图，在四边形中，，点在边上，且，，作交线段于点，连接．
求证：≌；
如果，求证：．
如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，对称轴为直线点为线段上的一个动点，过点作直线平行于轴交直线于点，交抛物线于点．
求抛物线的解析式；
当以、、为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；
如果将沿直线翻折，点恰好落在轴上点处，求点的坐标．
如图，在中，，，点是线段上一动点，点在的延长线上，且，联结，以线段为对角线作正方形，边交边于点，线段交边于点，边交边于点．
求证：；
设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的定义域；
联结，当是直角三角形时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、，是整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意．
故选：．
根据无理数的定义进行判断即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
2.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故选：．
根据同类项二次根式的定义可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了最简二次根式，同类项二次根式，熟练掌握同类项二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，形状不变，故开口方向不变．
故选：．
抛物线平移后的形状不变，故不变．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故不变．
4.【答案】
【解析】解：由直方图可得，
所调查学生睡眠时间的众数是小时，中位数是小时，
故选：．
根据直方图中的数据，可以直接写出众数，然后再观察直方图，可知第个数据是，第个数据是，从而可以计算出中位数．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】
【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．
本题考查平行四边形、特殊平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．
6.【答案】
【解析】解：根据题意作图如下：
圆与圆外切，圆与圆外离，圆与圆相交，
故选：．
根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系．
本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图象是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
经检验是原方程组的解，
故答案为：．
两边平方得出，求出即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
10.【答案】或
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，，
的值为或．
故答案为：或．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式，得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
12.【答案】三
【解析】解：，
，
一次函数的图象不经过第三象限．
故答案为：三．
根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了一次函数为常数的性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一，三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方．
13.【答案】
【解析】解：一个不透明的袋子里装有个红球和个黑球，
共有个球，
从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故答案为：．
先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸出一个球是红球的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，
由题意得：，
故答案为：．
根据题意可得等量关系：枚黄金的重量枚白银的重量；枚白银的重量枚黄金的重量枚白银的重量枚黄金的重量两，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象从二元一次方程组的知识，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
15.【答案】
【解析】解：设正多边形的一个外角的度数为，
由题意得，
解得，
，
所以这个正多边形的边数是．
故答案为．
设正多边形的一个外角的度数为，根据正多边形的一个内角等于一个外角的倍列方程可求解一个外角的度数，再利用多边形外角和为可求解．
本题主要考查正多边形的性质，多边形的内角与外角，求解正多边形一个外角的度数是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在平行四边形中，，，
．
点是边中点，
．
．
故答案是：．
根据三角形法则求得；利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例求得，继而求得答案．
本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
，
在中，，
，
故答案为：．
根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，，然后利用三角形的中位线定理可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握垂径定理，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
18.【答案】：：
【解析】解：根据题意作图如下：
，
，
设，则，，
，
：：：：，
故答案为：：：．
根据题意做出图形，设为，根据“匀称三角形”的定义求出三角形的各边长即可得出结论．
本题主要考查勾股定理，三角形中线，特殊角三角函数等知识，正确理解“匀称三角形”的定义是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、分母有理化和零指数幂可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：由得：，
或，
原方程组可以化为两个二元一次方程组：或，
解，得，
解，得，
原方程组的解是或．
【解析】分解因式，将二元二次方程组化为二元一次方程组即可求解．
本题考查解二元二次方程组，解题的关键是将二元二次方程组降次，化为二元一次方程组．
21.【答案】解：设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为，
函数和的图象经过点，
解得，，
正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
设点，则，，
，
，
解得或，
当时，，，
的面积为：，
当时，，，
的面积为：，
的面积为：或．
【解析】将点坐标代入可确定正比例函数，反比例函数的关系式；
设点的坐标，进而表示出、的长，根据，求出点的坐标，进而确定点、的坐标，由三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，确定函数关系式，求出相应点的坐标以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
22.【答案】解：过点作垂足为，
由题意得：
，
在中，，
，
，
踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为厘米；
设小杰原计划小时完成锻炼，
由题意得：，
解得：，，
经检验：，都是原方程的根，但不符合题意，舍去，
答：小杰原计划锻炼小时完成．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作垂足为，由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
先设小杰原计划小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗原计划每小时的能量消耗，列出方程进行计算即可解答．
23.【答案】证明：，
，
，
，，
，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；
，，
，
又，
∽，
，
由得≌，
，
在平行四边形中，，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质易证四边形是平行四边形，进一步根据即可得证；
根据已知条件可证∽，可得，根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质可得，即可得证．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，本题综合性较强，属于中考常考题型．
24.【答案】解：由题意得：，
解得：，
所以，所求的抛物线的解析式是：；
由题意得：，，
直线的解析式为：，
，
设，则，
，
当以、、为顶点的三角形与相似时，
若，则，
或舍去，
，
若，则，
或舍去，
，
或；
是由沿直线翻折而得，
，，
，
，
，
，
，
解得：舍去，
，
所以，的的坐标是．
【解析】根据点的坐标和对称轴可得关于、的方程组，解方程组可得答案；
首先利用点、的坐标可得直线的解析式为：，则，设，则，表示出和的长度，再根据相似三角形的判定与性质，从而解决问题；
根据平行线的性质和翻折的性质可得，从而得出的方程，即可解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，翻折的性质，一元二次方程等知识，熟练掌握平行线与角平分线得出等腰三角形是解决问题的关键．
25.【答案】证明：过点作交于，
，
，，
，
，
，
，
，
；
由题意得：．
，
，
，
，定义域为：；
当时，
，，
，
，
，
，，
，
≌，
，
即，
，
解得，
；
当时，过点作交边于点，
，，
，
，
同可得≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得．
，
综上所述，的长为或．
【解析】过点作交于，由直角三角形的性质证出，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
由直角三角形的性质求出，，，由三角形面积公式可得出答案；
分两种情况：当时，当时，过点作交边于点，由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．下载本文
