数 学（理）
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|－1 3. 抛物线y2＝4x的焦点坐标为________． 4. 已知箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为________． 5. 如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为________． 6. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________． 7. 已知函数f(x)＝若f(a－1)＝，则实数a＝________． 8. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，则这匹马在最后一天行走的里程数为________． 9. 已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________． 10. 设定义在区间上的函数y＝3sin x的图象与y＝3cos 2x＋2的图象交于点P，则点P到x轴的距离为________． 11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sin＝________． 12. 若在直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，在圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围是________． 13. 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则·的最大值为________． 14. 已知函数f(x)＝x2＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋aln x，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 如图，在三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证： (1) EF∥平面ABC； (2) BD⊥平面ACE. 16. (本小题满分14分) 已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos α－sin α，cos α＋sin α)． (1) 求向量a与b的夹角； (2) 若(λb－a)⊥a，求实数λ的值． 17. (本小题满分14分) 某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中点A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路的AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米． (1) 求出n关于m的函数关系式； (2) 当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值． 18. (本小题满分16分) 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为. (1) 求椭圆E的标准方程； (2) 已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且直线l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值． 19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)＝(x＋1)ln x＋ax(a∈R)． (1) 若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋b＝0，求实数a，b的值； (2) 设函数g(x)＝，x∈[1，e](其中e为自然对数的底数)． ①当a＝－1时，求函数g(x)的最大值； ②若函数h(x)＝是单调减函数，求实数a的取值范围． 20. (本小题满分16分) 定义：若有穷数列a1，a2，…，an同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列． ①首项a1＝1；②a1 (2) 若数列a，b，c，6是P数列，求实数b的取值范围； (3) 若n>4，且数列b1，b2，…，bn是P数列，求证：数列b1，b2，…，bn是等比数列． 2019届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟) 21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知x，y∈R，α＝是矩阵A＝属于特征值－1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值． B. [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中，已知直线l：ρsin＝0，在直角坐标系(原点与极点重合，x轴的正方向为极轴的正方向)中，曲线C的参数方程为 (t为参数)．设直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长． C. [选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 若不等式|x＋1|＋|x－a|≥5对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分) 从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数． (1) 问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由； (2) 求随机变量X的数学期望E(X)． 23. (本小题满分10分) 已知f(n)＝＋＋＋…＋，g(n)＝＋＋＋…＋，其中n∈N*，n≥2. (1) 求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值； (2) 记h(n)＝f(n)－g(n)，求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有 .下载本文
