一、知识梳理：
1、椭圆的定义：平面内到两定点的距离 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做 ，定点间的距离叫 ．
注意：若，其中，且为常数．
①若，则点的轨迹为 ；②若，则点的轨迹为 ；③若 ，则无轨迹．
2、椭圆的方程：
①焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程： ( ),焦点是 ，其中 ；
②焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程： ( ),焦点是 ，其中 ．
③两种标准方程的一般形式 ；当时，椭圆的焦点在 轴上；当时，椭圆的焦点在 轴上．
3、性质：
①范围: __________， ___________； ②对称性:椭圆既关于_________对称，又关于________对称；
③顶点:有___个顶点，坐标分别为：______，_____；④离心率: ， 且_________．
4、椭圆中常用结论：
①椭圆上一点到其焦点的最近距离：_________，最远距离：_________；（又称近日距，远日距）
②焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形，， ___________；点在_________时，最大；当点在__________时，最大；
③通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长度：_________________．
5、点和椭圆的关系：①点在椭圆内________________；
②点在椭圆上________________；③点在椭圆内________________．
6、直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解．
注意：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？
⑵设而不求（点差法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点，，，；②作差得；③解决问题．
⑶弦长问题：，，，，则________________________________________．
二、典例精析：
1、椭圆的定义：
例1．一动圆与圆：外切，同时与圆：内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
变式1．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则 ．
2、椭圆的方程：
例2． 求下列椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的3倍且过点A(3,0)； (2)经过两点和；
(3)焦点在轴上，焦距等于4，并且经过P)； (4)焦距是12，离心率是，焦点在轴上．
变式2．求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程．
3、椭圆的几何性质：
例3．已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A、 B、 C、 D、
变式3． P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是 （ ）
A B C D 16
变式4．已知，是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率取值范围（ ）
A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
4、直线与椭圆：
例4．（交点问题）已知对，直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围．
例5．（中点弦问题）椭圆的一条弦被，平分，求这条弦所在的直线方程．
例6．（弦长问题）已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。
三、当堂练习：
1．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=___________；
2．已知椭圆C1：与C2：有相同的离心率e，那么m的值为___________；
3．设，为椭圆的两个焦点，以为圆心的圆经过椭圆中心，且与椭圆的一个交点为M，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率为___________；
4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于___________；
6．椭圆焦点为，，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标取值范围是___________；
7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，
求这个椭圆方程。
8.直线过点M（1，1），与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线的方程。
9.已知椭圆的离心率，过点，和，的直线与原点的距离为。（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点，问是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。下载本文
