参与试题解析

一、选择题（每题3分）

1．实数﹣的相反数是（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【分析】根据相反数的定义可以得到实数﹣的相反数是多少，本体得以解决．

【解答】解：实数﹣的相反数是，

故选B．

【点评】本题考查实数的性质，解题的关键是明确相反数的定义．

2．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选C．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a3=2a5B．a2a3=a6C．n=amn（m，n是正整数），据此判断即可．

D：根据同底数幂的除法法则计算即可．

【解答】解：∵a2+a3≠2a5，

∴选项A不正确；

∵a2a3=a5，

∴选项B不正确；

∵（a2）3=a6，

∴选项C不正确；

∵a4÷a3=a，

∴选项D正确．

故选：D．

【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．

（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．

4．下列事件为必然事件的是（　　）

A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

B．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩

C．367人中至少有2人生日（公历）相同

D．长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．

【解答】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；

B．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是随机事件；

C.367人中至少有2人生日（公历）相同是必然事件；

D．长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形是不可能事件．

故选：C．

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．如图，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=50°，将∠C向内折出一个△PRC′，恰好使C′P∥AB，C′R∥AD，则∠C的度数是（　　）

A．80° B．85° C．95° D．110°

【分析】根据折叠前后图形全等和平行线，先求出∠CPR和∠CRP，再根据三角形内角和定理即可求出∠C．

【解答】解：因为折叠前后两个图形全等，故∠CPR=∠B=×120°=60°，

∠CRP=∠D=×50°=25°；

∴∠C=180°﹣25°﹣60°=95°；

∴∠C=95°；

故选C．

【点评】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系平行线的性质和翻折变换．三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．

6．某校参加校园青春健身操比赛的16名运动员的身高如表：

身高（cm）   

人数（个）   

则该校16名运动员身高的平均数和中位数分别是（单位：cm）（　　）

A．173cm，173cm B．174cm，174cm C．173cm，174cm D．174cm，175cm

【分析】根据平均数和中位数的概念求解．

【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：172，172，172，172，173，173，173，173，175，175，175，175，176，176，176，176，

则平均数为：（172×4+173×4+175×4+176×4）÷16=174cm，

中位数为：（173+175）÷2=174cm．

故选B．

【点评】本题考查了平均数和中位数的知识，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

7．某几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图分别是它的主视图和俯视图，那么要组成该几何体，至少需要多少个这样的小正方体（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】先由俯视图可得最底层有3个小正方体，然后根据主视图得到第二列由两层，于是可判断上面第二列至少有1个小正方体，从而得到几何体所需要最少小正方体的个数．

【解答】解：从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得上面一层至少有1个小正方体，所以至少需要4个这样的小正方体．

故选B．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

8．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y=x+b的图象都在y=kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．

【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，

即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．

故选：A．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．

9．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）

A．13cm B．2cm C． cm D．2cm

【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

【解答】解：如图：

∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，

∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B=

=

=13（Cm）．

故选：A．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

10．如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（　　）

A． C．

【分析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．

【解答】解：连接AA′、CC′，如图所示：

作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，

直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．

∵直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，

由题意得：，

解得：，

∴直线CC′为y=x+，

∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，），

∴直线EF为y=﹣3x+2，

由得：，

∴P（1，﹣1）．

故选：B．

【点评】本题考查旋转的性质，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．

11．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＜0

B．a+b+c＜0

C．c﹣a=2

D．方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根

【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．

【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，所以A错误；

∵顶点为D（﹣1，2），

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，

∴当x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，所以B正确；

∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），

∴a﹣b+c=2，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，

∴b=2a，

∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以C正确；

∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，

即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，

∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以D正确．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．

12．现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ的大小是（　　）

A．18° B．36° C．72° D．90°

【分析】已知圆锥底面半径是10cm，就可以知道展开图扇形的弧长是20πcm，根据弧长公式l=nπr÷180得到．

【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，

∴圆锥的底面周长为20π，

∴20π=，解得：n=90°，

∵扇形彩纸片的圆心角是108°

∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°=18°．

剪去的扇形纸片的圆心角为18°．

故选A．

【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：

（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

二、填空题（每题3分）

13．计算：|2﹣|﹣的结果是　﹣2　．

【分析】根据绝对值和合并同类二次根式的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=2﹣2﹣

=﹣2，

故答案为2．

【点评】本题考查了实数的运算，掌握绝对值运算和合并同类项是解题的关键．

14．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为　　．

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长

【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，

∴DF=AB=2.5，

∵DE为△ABC的中位线，

∴DE=BC=4，

∴EF=DE﹣DF=1.5，

故答案为：1.5．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

15．某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢毽子，B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为　40　人．

【分析】根据A项的人数是80且所占的百分比是40%求得调查的总人数，然后用总人数减去A、B、D三项的人数可得．

【解答】解：根据题意可知，参与调查的学生数为：80÷40%=200（人），

则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为：200﹣80﹣30﹣50=40（人）．

故答案为：40．

【点评】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，属中档题．

16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是　136°　．

【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形计算即可．

【解答】解：由圆周角定理得，∠A=∠BOD=44°，

由圆内接四边形的性质得，∠BCD=180°﹣∠A=136°，

故答案为：136°．

【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

17．如图①所示正三角形纸板的边长为1，周长记为P1，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图③、④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1=　（n≥3）　（用含n的代数式表示）．

【分析】观察给定图形，写出部分Pn的值，由此找出“P3﹣P2，P4﹣P3，…”的值，根据数据的变化找出变化规律“Pn﹣Pn﹣1=（n≥3）”，依此规律即可得出结论．

【解答】解：观察，发现规律：P1=3×1=3，P2=P1﹣，P3=P2+，P4=P3+，…，

∴P3﹣P2=，P4﹣P3=，…，

∴Pn﹣Pn﹣1=（n≥3）．

故答案为：．

【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类以及规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“Pn﹣Pn﹣1=（n≥3）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合图形找出部分Pn的值，再根据Pn的值找出部分Pn﹣Pn﹣1的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．

三、解答题

18．解方程： =1．

【分析】因为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），所以可确定最简公分母（x+1）（x﹣1），然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．

【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），

得：x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1），

解得：x=2．

经检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）≠0，

∴原分式方程的解为：x=2．

【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程要注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．去分母时要注意符号的变化．

19．在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．

（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；

（2）请证明你所得到的数学猜想．

【分析】（1）猜想四边形ABCD是菱形；

（2）根据折叠的性质得到∠MAD=∠DAC=∠MAC，∠CAB=∠NAB=∠CAN，∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN，再根据正方形的性质得∠MAC=∠∠MCA=∠NAC=∠NCA，所以∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，于是可判断四边形ABCD为平行四边形，且DA=DC，然后根据菱形的判定方法得到四边形ABCD为菱形．

【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；

（2）∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，

∴∠MAD=∠DAC=∠MAC，

同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN，∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN，

∵四边形AMCN是正方形，

∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，

∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA

∴AD∥BC，AB∥DC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD，

∴四边形ABCD为菱形．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的判定方法以及正方形的性质．

20．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：

径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；

田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．

（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为　　；

（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．

【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，

∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；

故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，

∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为： =．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．

若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：

方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；

方案二：降价10%，没有其他赠送．

（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；

（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．

【分析】（1）根据题意分别求出当1≤x≤8时，每平方米的售价应为4000﹣（8﹣x）×30元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为4000+（x﹣8）×50元；

（2）根据购买方案一、二求出实交房款的关系式，然后分情况讨论即可确定那种方案合算．

【解答】解：（1）当1≤x≤8时，每平方米的售价应为：

y=4000﹣（8﹣x）×30=30x+3760 （元/平方米）

当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：

y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．

∴y=

（2）第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600=4400（元/平方米），

按照方案一所交房款为：W1=4400×120×（1﹣8%）﹣a=485760﹣a（元），

按照方案二所交房款为：W2=4400×120×（1﹣10%）=475200（元），

当W1＞W2时，即485760﹣a＞475200，

解得：0＜a＜10560，

当W1＜W2时，即485760﹣a＜475200，

解得：a＞10560，

∴当0＜a＜10560时，方案二合算；当a＞10560时，方案一合算．

【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，读懂题目信息，找出数量关系表示出各楼层的单价以及是交房款的关系式是解题的关键．

22．在徒骇河观景堤坝上有一段斜坡，为了游客方便通行，现准备上台阶，某施工队测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．

（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；

（2）若这段斜坡用厚度为15cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？（最后一个高不足15cm时，按一个台阶计算）

（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95）

【分析】（1）根据锐角三角函数关系得出cos∠D=cos∠ABC==，即可借助计算器求出∠D的度数；

（2）利用EF=DEsin∠D求出EF的长，进而得出需要铺的台阶数．

【解答】解：（1）由题意可得：∠D=∠ABC，

故cos∠D=cos∠ABC==≈0.94，

∴∠D≈20°；

（2）在Rt△DEF中，

EF=DEsin∠D=85sin20°≈85×0.34=28.9（m），

28.9×100÷15≈193，

答：需要铺193级台阶．

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，难度不算太大，关键是将题目所述的意思与所学的知识结合起来．

23．如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A（4，m）．

（1）求m的值及一次函数的解析式；

（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．

【分析】（1）由已知先求出m，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y=kx﹣3求出k的值即可求出一次函数的解析式．

（2）把x=2代入y=和y=x﹣3，得出点B和点C的纵坐标，即可求出线段BC的长．

【解答】解：（1）∵点A （4，m）在反比例函数y=的图象上，

∴m==1，

∴A（4，1），

把A（4，1）代入一次函数y=kx﹣3，得4k﹣3=1，

∴k=1，

∴一次函数的解析式为y=x﹣3，

（2）∵直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，

∴当x=2时，yB==2，

yC=2﹣3=﹣1，

∴线段BC的长为|yB﹣yC|=2﹣（﹣1）=3．

【点评】此题考查的知识点是反比例函数综合应用，解决本题的关键是利用反比例函数求得关键点点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出函数的解析式．

24．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．

（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．

【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，

∴OD⊥BC，

∵AC⊥BC，

∴AC∥OD，

∴∠CAD=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠CAD，

即AD平分∠CAB；

（2）设EO与AD交于点M，连接ED．

∵∠BAC=60°，OA=OE，

∴△AEO是等边三角形，

∴AE=OA，∠AOE=60°，

∴AE=AO=OD，

又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，

∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，

∴S△AEM=S△DMO，

∴S阴影=S扇形EOD==．

【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

25．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C均在坐标轴上，且OA=4，OC=3，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；动点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，过点N作NP⊥BC于点P，连接MP．

（1）直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）；

（2）设△OMP的面积为S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性质，得出B点坐标，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标；

（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积，再根据二次函数的性质求出最大值即可；

（3）△OMP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．画出图形，分别求出即可．

【解答】解：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴B点坐标为（4，3）．

如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x．

∵PG∥AB，

∴△OPG∽△OBA，

∴=，即=，解得PG=x，

∴点P的坐标为（x， x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4﹣x，OM边上的高为x，

∴S=（4﹣x）x=﹣x2+x，

∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4）．

配方，得S=﹣（x﹣2）2+，

∴当x=2时，S有最大值，最大值为；

（3）存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：

①如备用图1，若PO=PM，则OG=GM=CN=x，

即3x=4，解得：x=，

所以M（，0）；

②如备用图2，若OP=OM，则=OM，

即x=4﹣x，解得：x=，

所以M（，0）；

③如备用图3，若OM=PM时，

∵PG=x，GM=OM﹣OG=（4﹣x）﹣x=4﹣2x，

∴PM2=PG2+GM2=（x）2+（4﹣2x）2，

∵OM=4﹣x，

∴（4﹣x）2=（x）2+（4﹣2x）2，解得：x=，

所以，M（，0）．

综上所述，M的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．下载本文