//作用：为帮助小虎子做实验，这个头文件提供了完整的一维与二维FFT算法，我想应改是够你折腾了吧！
#include using namespace std; typedef complex const float _2PI_ = 2.0f * 3.14159265f; // 常数2PI定义 const int MAX_N = 256; // 最大DFT点数 /*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----* FFT算法模块接口定义 *----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*/ /////////////////////////////////////////// // Function name : BitReverse // Description : 二进制倒序操作 // Return type : int // Argument : int src 待倒读的数 // Argument : int size 二进制位数 int BitReverse(int src, int size) { int tmp = src; int des = 0; for (int i=size-1; i>=0; i--) { des = ((tmp & 0x1) << i) | des; tmp = tmp >> 1; } return des; } ////////////////////////////////////////////////// // Function name : Reorder // Description : 数据二进制整序 // Return type : void // Argument : Comp x[MAX_N] 待整序数组 // Argument : int N FFT点数 // Argument : int M 点数的2的幂次 void Reorder(Comp x[MAX_N], int N, int M) { Comp new_x[MAX_N]; for (int i=0; i // 重新存入原数据中(已经是二进制整序过了的数据) for (i=0; i } ////////////////////////////////////////////////// // Function name : CalcW // Description : 计算旋转因子 // Return type : void // Argument : Comp W[MAX_N] 存放因子的数组 // Argument : int N FFT的点数 // Argument : int flag 正逆变换标记 void CalcW(Comp W[MAX_N], int N, int flag) { for (int i=0; i if (flag == 1) W = exp(Comp(0, -_2PI_ * i / N)); // 正FFT变换 else W = exp(Comp(0, _2PI_ * i / N)); // 逆FFT变换 } } ///////////////////////////////////////////////// // Function name : FFT_1D_Kernel // Description : FFT算法核心 // Return type : void // Argument : Comp* x 数据 // Argument : int M 幂次 // Argument : int flag 正逆变换标记 以下本应由自己完成。 void FFT_1D(Comp* x, int M, int flag) { int N = (1 << M); // 二进制整序 Reorder(x, N, M); // 旋转因子计算 Comp W[MAX_N]; CalcW(W, N, flag); // 级内群数 int GroupNum = N/2; // 第一级的群数为N/2 // 群内蝶形单元数 int CellNum = 1; // 第一级的群内蝶形单元数为1 // 处理各级 for (int i=0; i // 处理各群 for (int j=0; j // 处理各蝶形单元 for (int k=0; k // (1) 计算出当前蝶形单元所含元素在数据数组中的位置 // 第一元素位置 int Pos1 = CellNum * j * 2 + k ; // 已经处理了前 j 群，每群有 CellNum 个单元， 每单元有 2 个元素 // 第二元素位置 int Pos2 = Pos1 + CellNum; // (2) 计算旋转因子与单元的第二元素的复数乘积 Comp TMP = x[Pos2] * W[k * GroupNum] ; // (3) 计算最终结果, 并存入到数组的原先位置 x[Pos2] = x[Pos1] - TMP ; x[Pos1] = x[Pos1] + TMP ; } } GroupNum >>= 1; // 级别增加, 则相应的群数减少一半 CellNum <<= 1; // 级别增加, 则相应的群内单元数增加一倍 } // 如果是IFFT，各元素还要再除以N if (flag != 1) { for (i=0; i } } ////////////////////////////////////////////////////// // Function name : FFT_2D_Kernel // Description : 2D FFT核心算法 // Return type : void // Argument : Comp x[MAX_N][MAX_N] 二维数据 // Argument : int M 幂次 // Argument : int flag 正逆变换标记 以下本应由自己完成。 void FFT_2D(Comp x[MAX_N][MAX_N], int M, int flag) { int N = (1 << M); // 先逐行进行 1D-FFT for (int i=0; i // 再逐列进行 1D-FFT Comp col[MAX_N]; for (int j=0; j // 取得第j列的数据 for (int i=0; i // 对第j列数据进行 1D-FFT FFT_1D(col, M, flag); // <--- 计算结果在数组col中 // 将结果放回矩阵第j列中 for (i=0; i } } // <--- End of [FFT.H] 快速傅立叶变换的应用(转贴) 2008年11月24日 星期一 12:10 只要是理工科毕业的朋友，都学过傅立叶级数与傅立叶变换，但真正要与实际应用联系起来，用它来阐述应用中的各类问题，我们总会感觉概念模糊，似懂非懂，不 知从何说起。是的，作者和你一样，常常有这样的体会。现在，让我与你一起重新学习傅立叶的基本理论和应用，最后还给出一份FFT（快速傅立叶变换）的源码 （基于C）。希望对你有所帮助。Let’s go！ 1． 历史回顾 谈傅立叶变换，不能不说三角函数。三角函数起源于18世纪，主要是与简谐振动的研究有关。当时的科学家傅立叶对三角函数作了深入研究，并用三角级数解决了很多热传导的问题。三角函数的展开式如下： f(t) = (a0/2) + (a1·cos(x)+b1·sin(x)) + (a2·cos(2x)+b2·sin(2x)) + … 其中，系数a和b表示不同频率阶数下的幅度。 成立条件： n 周期性条件，也就是说f(x)描述的波形必须每隔一段时间周期T就会重复出现； n Dirichlet条件，周期T内，有限的最大最小值，有限的不连续点； 任何区间内绝对可积； 研究目的： 把一个基于时间变量t的函数展开成傅立叶级数的目的是分解为不同的频率分量,以便进行各种滤波算法。这些基本的组成部分是正弦函数SIN（nt）和余弦函数COS(nt)。 应用领域： l 信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等； l 研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。 l 概率与统计，量子力学等学科。 2． 傅立叶变换 H(w) = ∫h(t)·e^jwt·dt, （区间：-∽～+∽，w = 2πf） 讨论：这里为什么会选择复指数的形式而没有用正弦余弦表示？ 答案：欧拉公式的引入使得这条经典的数学公式变得更简单，即e^jx = cos(x) + jsin(x) 3． 快速傅立叶变换（FFT） 常规的傅立叶变换算法并不适用于嵌入式控制系统，原因是运算量太大（涉及到复数运算），比如离散的傅立叶变换等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n 矩阵Fn，需要n×n次乘法。若n=1024,则是104，8576次乘法运算。哇，这么多呀！什么概念呢？如果你选用的CPU单周期指令为 25ns, 单周期也可以完成一次乘法运算，那么要计算1024点的傅立叶变换则需要26.2144ms,这还不包括加法或其它运算，对于大多数实时系 统，这个处理时间实在太长。于是寻找一个快速的傅立叶变换算法是人们所期望的。 本来我想把FFT的整个数学推导过程列完出来，但当自己硬着头 皮看完后，发现对我没有任何用处，我又不是专门研究数学算法的，哪有那么多时间跟着书本的公式去慢慢推导。我想，这些推导问题还是让数学家想去吧。我需要 的不过是理解它，然后学会应用它就行。有兴趣的读者可以参考相关的资料，这方面的资料实在太多了。 虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的 运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原因是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算，想想这是多 么繁琐的事情。可能会有些初学者认为，有这么复杂吗？我在PC上使用C++一样可以对复数直接进行加、减、乘、除运算。你说得不错，可以这么做，但那是 C++封装了对复数处理的类，直接调用就行。在PC上运算这种类型的算法一般不考虑时间和空间，多一两秒的运行时间不会有什么灾难性的结果。 所以我们要衡量一个处理器有没有足够的能力来运行FFT算法，根据以上的简单介绍可以得出以下两点： l 处理器要在一个指令周期能完成乘和累加的工作，因为复数运算要多次查表相乘才能实现。其二就是间接寻址，可以实现增/减1个变址量，方便各种查表方法。 2 FFT要对原始序列进行反序排列，处理器要有反序间接寻址的能力。 所以，在数字信号的分析处理应用中，DSP比其它的处理器有绝对的优势，因为DSP完全具备以上条件。这就是单片机（51系列，AVR，PIC等等）或ARM处理器很少用来进行数字信号分析的原因。 4． FFT的C实现方法 //********************************************************** // 函数名: 快速傅立叶变换（来源《C常用算法集》） // 本函数测试OK,可以在TC2.0,VC++6.0,Keil C51测试通过。 // 如果你的MCS51系统有足够的RAM时,可以验证一下用单片机处理FFT有多么的慢。 // // 入口参数： // l: l = 0, 傅立叶变换; l = 1, 逆傅立叶变换 // il: il = 0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il = 1,计算模和幅角 // n: 输入的点数，为偶数，一般为32，，128，...,1024等 // k: 满足n=2^k(k>0),实质上k是n个采样数据可以分解为偶次幂和奇次幂的次数 // pr[]: l=0时，存放N点采样数据的实部 // l=1时, 存放傅立叶变换的N个实部 // pi[]: l=0时，存放N点采样数据的虚部 // l=1时, 存放傅立叶变换的N个虚部 // // 出口参数： // fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部 // l=1, 返回逆傅立叶变换的实部 // fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部 // l=1, 返回逆傅立叶变换的虚部 // pr[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的模 // il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的模 // pi[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的辐角 // il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的辐角 // data: 2005.8.15,Mend Xin Dong void kkfft(double pr[], double pi[], int n, int k, double fr[], double fi[], int l, int il) { int it,m,is,i,j,nv,l0; double p,q,s,vr,vi,poddr,poddi; for (it=0; it<=n-1; it++) { m = it; is = 0; for(i=0; i<=k-1; i++) { j = m/2; is = 2*is+(m-2*j); m = j; } fr[it] = pr[is]; fi[it] = pi[is]; } //---------------------------- pr[0] = 1.0; pi[0] = 0.0; p = 6.283185306/(1.0*n); pr[1] = cos(p); pi[1] = -sin(p); if (l!=0) pi[1]=-pi[1]; for (i=2; i<=n-1; i++) { p = pr[i-1]*pr[1]; q = pi[i-1]*pi[1]; s = (pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]); pr[i] = p-q; pi[i] = s-p-q; } for (it=0; it<=n-2; it=it+2) { vr = fr[it]; vi = fi[it]; fr[it] = vr+fr[it+1]; fi[it] = vi+fi[it+1]; fr[it+1] = vr-fr[it+1]; fi[it+1] = vi-fi[it+1]; } m = n/2; nv = 2; for (l0=k-2; l0>=0; l0--) { m = m/2; nv = 2*nv; for(it=0; it<=(m-1)*nv; it=it+nv) for (j=0; j<=(nv/2)-1; j++) { p = pr[m*j]*fr[it+j+nv/2]; q = pi[m*j]*fi[it+j+nv/2]; s = pr[m*j]+pi[m*j]; s = s*(fr[it+j+nv/2]+fi[it+j+nv/2]); poddr = p-q; poddi = s-p-q; fr[it+j+nv/2] = fr[it+j]-poddr; fi[it+j+nv/2] = fi[it+j]-poddi; fr[it+j] = fr[it+j]+poddr; fi[it+j] = fi[it+j]+poddi; } } if(l!=0) for(i=0; i<=n-1; i++) { fr[i] = fr[i]/(1.0*n); fi[i] = fi[i]/(1.0*n); } if(il!=0) for(i=0; i<=n-1; i++) { pr[i] = sqrt(fr[i]*fr[i]+fi[i]*fi[i]); if(fabs(fr[i])<0.000001*fabs(fi[i])) { if ((fi[i]*fr[i])>0) pi[i] = 90.0; else pi[i] = -90.0; } else pi[i] = atan(fi[i]/fr[i])*360.0/6.283185306; } return; //------------------------------------ // fft.cpp // The implementation of the // Fast Fourier Transform algorithm // (c) Reliable Software, 1996 //------------------------------------ #include "fft.h" #include "recorder.h" // log (1) = 0, log(2) = 1, log(3) = 2, log(4) = 2 ... #define PI (2.0 * asin(1.0)) // Points must be a power of 2 Fft::Fft (int Points, long sampleRate) : _Points (Points), _sampleRate (sampleRate) { _aTape = new double [_Points]; #if 0 // 1 kHz calibration wave for (int i = 0; i < _Points; i++) _aTape[i] = 1600 * sin (2 * PI * 1000. * i / _sampleRate); #else for (int i = 0; i < _Points; i++) _aTape[i] = 0; #endif _sqrtPoints = sqrt((double)_Points); // calculate binary log _logPoints = 0; Points--; while (Points != 0) { Points >>= 1; _logPoints++; } _aBitRev = new int [_Points]; _X = new Complex[_Points]; _W = new Complex* [_logPoints+1]; // Precompute complex exponentials int _2_l = 2; for (int l = 1; l <= _logPoints; l++) { _W[l] = new Complex [_Points]; for ( int i = 0; i < _Points; i++ ) { double re = cos (2. * PI * i / _2_l); double im = -sin (2. * PI * i / _2_l); _W[l][i] = Complex (re, im); } _2_l *= 2; } // set up bit reverse mapping int rev = 0; int halfPoints = _Points/2; for (i = 0; i < _Points - 1; i++) { _aBitRev[i] = rev; int mask = halfPoints; // add 1 backwards while (rev >= mask) { rev -= mask; // turn off this bit mask >>= 1; } rev += mask; } _aBitRev [_Points-1] = _Points-1; } Fft::~Fft() { delete []_aTape; delete []_aBitRev; for (int l = 1; l <= _logPoints; l++) { delete []_W[l]; } delete []_W; delete []_X; } void Fft::CopyIn (SampleIter& iter) { int cSample = iter.Count(); if (cSample > _Points) return; // make space for cSample samples at the end of tape // shifting previous samples towards the beginning memmove (_aTape, &_aTape[cSample], (_Points - cSample) * sizeof(double)); // copy samples from iterator to tail end of tape int iTail = _Points - cSample; for (int i = 0; i < cSample; i++, iter.Advance()) { _aTape [i + iTail] = (double) iter.GetSample(); } // Initialize the FFT buffer for (i = 0; i < _Points; i++) PutAt (i, _aTape[i]); } // // 0 1 2 3 4 5 6 7 // level 1 // step 1 0 // increm 2 W // j = 0 <---> <---> <---> <---> 1 // level 2 // step 2 // increm 4 0 // j = 0 <-------> <-------> W 1 // j = 1 <-------> <-------> 2 W // level 3 2 // step 4 // increm 8 0 // j = 0 <---------------> W 1 // j = 1 <---------------> 3 W 2 // j = 2 <---------------> 3 W 3 // j = 3 <---------------> 3 W // 3 // void Fft::Transform () { // step = 2 ^ (level-1) // increm = 2 ^ level; int step = 1; for (int level = 1; level <= _logPoints; level++) { int increm = step * 2; for (int j = 0; j < step; j++) { // U = exp ( - 2 PI j / 2 ^ level ) Complex U = _W [level][j]; for (int i = j; i < _Points; i += increm) { // butterfly Complex T = U; T *= _X [i+step]; _X [i+step] = _X[i]; _X [i+step] -= T; _X [i] += T; } } step *= 2; } }下载本文
//快速傅立叶变换的源代码
