数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．如果a 的倒数是1-，那么2013a 等于
（A ）1； （B ）1-； （C ）2013； （D ）2013-．
2．如果关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是 （A ）92k ≤
； （B ）92k <； （C ）92k ≥； （D ）9
2
k >． 3．下列关于向量的说法中，不正确的是
（A ）2()22a b a b +=+
； （B ）22a a = ；
（C ）若a kb = （k 为实数），则a ∥b ； （D ）若2a b = ，则2a b = 或2a b =-
．
4．已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d 的取值范围是
（A ）02d <<； （B ）12d <<； （C ）03d <<； （D ）02d <≤． 5．一组数据：2、3、4、x 中，如果中位数与平均数相等，那么数x 不可能是 （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）5．
6．如果一条直线l 经过不同的三点(,)A a b 、(,)B b a 、(,)C a b b a --，那么直线l 经过 （A ）第二、四象限； （B ）第一、二、三象限； （C ）第一、三象限； （D ）第二、三、四象限． 二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．艾思轲同学在“百度”搜索引擎中输入“最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为40000，这个数用科学记数法表示为 ▲ ． 8．如果函数1
()2
f x x =
+，那么(3)f = ▲ ． 9．在平面直角坐标系中，如果点(1,3)A 与点(,3)B x 之间的距离是5，那么x 的值是 ▲ ．
2013.2.
10. 分解因式：22944x y y ---= ▲ ． 11．如果等式0(
)12
x
x -=成立，那么x 的取值范围是 ▲ ． 12．一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数
24y x bx =+-是“偶函数”，该函数的图像与x 轴交于点A 和点B ，顶点为P ，那么
△ABP 的面积是 ▲ ．
13．如果一边长为20cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿
过，那么铁圈直径的最小值为 ▲ cm （铁丝粗细忽略不计）．
14．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34、568、2469等）．任取
一个两位数，是“上升数”的概率是 ▲ ．
15．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为m 、n ，可以证明当AC ⊥BD 时（如图1），
四边形ABCD 的面积1
2
S mn =，那么当AC 、BD 所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ▲ （用含m 、n 、θ的式子表示）．
16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，点D 在AB 上，AD = AC = 9，DE ⊥CD 交BC 于
点E ，如果1
tan 2
DCB ∠=
，那么BE = ▲ ． 17．将矩形ABCD 折叠，使得对角线的两个端点A 、C 重合，折痕所在直线交直线AB 于点
E ，如果AB = 4，BE = 1，那么∠CAB 的余切值是 ▲ ．
18．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB = 90°，点P 是
AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为点C 、D ，点E 、F 、G 、H 分别是线段OD 、PD 、PC 、OC 的中点，EF 与DG 相交于点M ，HG 与EC 相交于点N ，联结MN ．如果设OC = x ，MN = y ，那么y 关于x 的函数解析式及函数定义域为 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
先化简，再求值：22
282
()24a a a a a a
+-+÷--，其中2sin 602tan 45a =︒-︒．
（第15题图1）
A
B C
D A
C
B
E
D
（第16题图）
（第15题图2） A
B
C
D
θ
A
P C H
O
G N E D M
F B
（第18题图）
20．（本题满分10分）
试确定实数a 的取值范围，使不等式组1
0,23
544(1),33x x a x x a +⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩
恰有两个整数解．
21．（本题满分10分，其中第（1）小题2分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB = 2米，BC = 1米，上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆． （1）当MN 与AB 之间的距离为0.5米时，求△EMN 的面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，△EMN 的面积为y （平
方米），求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）请你探究△EMN 的面积y （平方米）有无最大值，若有，
请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知△ABC 中，25AB =，45AC =，BC = 6．
（1）如图1，点M 为AB 的中点，在线段AC 上
取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长；
（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组
成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形． ①请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 全等（画出一个即可，不需证明）；
②试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）．
（反面还有试题）
A
C
B
M
（第22题图1）
（第22题图2）
A C
B
D
E
G
N M （第21题图）
23．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8分）
已知纸片圆O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作．
（1）①如图2，当折叠后的 AB 经过圆心O 时， AOB 的长是 ▲ ；
②如图3，当弦AB = 2时，圆心O 到弦AB 的距离是 ▲ ； （2）在图1中，再将纸片圆O 沿弦CD 折叠操作．
①如图4，当AB ∥CD ，折叠后的
AB 与 CD 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB 、CD 的距离之和为d ，求d 的值；
②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的
AB 与 CD 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，求证：四边形OMPN 是平行四边形．
（第23题图1）
A
B
O
A
B
O
（第23题图2）
（第23题图5）
A
B
D
C O P
M
N
（第23题图3）
A
B
O
P
A
B
C
D
O
（第23题图4）
24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD 是一次函数1y x =+图像的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数1y x =+，求它的图像的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数k
y x
=
(0)k >，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD ，点(2,)D m (2)m <在反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数的解析式；
（3）如图3，若某函数是二次函数2y ax c =+(0)a ≠，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD ，
C 、
D 中的一个点坐标为(3,4)，请你直接写出该二次函数的解析式．
（第24题图3）
x
y
(3,4)
-2 -1 O
1 3
2 1
2
3 4 x y O B
D
A C 1y x =+
（第24题图1）
（第24题图2）
x
y O
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）
数学课上，张老师出示图1和下面框中条件：
请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题： （1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得
AM
DM
的值为 ▲ ； ②在平移过程中，
AM
DM
的值为 ▲ （用含x 的代数式表示）； （2）艾思轲同学将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．
当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算
AM
DM
的值； （3）艾思轲同学又将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m ≤，原题中
的其他条件保持不变．请你计算AM
DM
的值（用含x 的代数式表示）．
如图1，两块等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为x ．
（第25题图1）
C
D
E
A
F
M
l
B （第25题图2）
D
E
F (C )
A
B M
l
（第25题备用图） D
E F
l
（第25题图3）
D
E
F (C )
l
A
B
2013年上海市五校初三联合调研测试
数学试卷参与评分标准
2013.2.
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5．B ； 6．A ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．.10⨯； 8．23-； 9．4-或6； 10．(32)(32)x y x y ++--； 11．0x >且12x ≠
； 12．8； 13．103； 14．25； 15．1
sin 2
mn θ；
16．3； 17．2或
63； 18．21
43(01)3
y x x =-<<． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式28
(2)(2)(2)2
a a a a a a a ⎡⎤+=-⋅⎢⎥
-+--⎣⎦…………………………………………（3分） 2(2)(2)(2)2a a a a a a -=⋅+--12
a =
+．…………………………………………（3分） 当2sin602tan 4532a =︒-︒=-时，原式=
13
3
322
=
-+．……………（4分） 20．解：由
1023
x x ++>，得2
5x >-．……………………………………………………（2分）
由544
(1)33
a x x a ++
>++，得2x a <．………………………………………（2分）
∴原不等式组的解集是2
25
x a -<<． …………………………………………（1分）
又∵原不等式组恰有2个整数解，∴x = 0、1．………………………………（2分） ∴122a <≤， ……………………………………………………………………（2分）
解得
1
12
a <≤． …………………………………………………………………（1分）
21．解：（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，MN 位于DC 下方，且△EMN 中MN 边
上的高为0.5米．
∴△EMN 的面积1
20.50.52
=
⋅⋅=（平方米）
．……………………………（2分）
（2）（I ）如图1，当MN 在矩形区域滑动时：1
22
y x x =
⋅⋅=(01)x <≤．…（2分）
（II ）如图2，当MN 在三角形区域滑动：联结EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ，则F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且3GF =，∴31GH x =+-． ∵MN ∥CD ，∴
MN GH
DC GF =
，∴2(31)3
x MN +-=．…………………（1分） ∴212(31)33
(1)2333
x y x x x +-=
⋅⋅=-++(113)x <<+．………（2分） （3）（I ）当MN 在矩形区域滑动时：∵y x =(01)x <≤，∴y 的最大值是1．（1分）
（II ）当MN 在三角形区域滑动时： ∵2313323
()326
y x ++=--+(113)x <<+， ∴当132x +=
时，y 的最大值是323
6
+．………………………………（1分） ∵
32316+>，∴△EMN 的面积有最大值3236
+（平方米）．………（1分） 22．解：（1）（I ）当△AMN ∽△ABC 时：
AM MN
AB BC
=
．………………………………（1分） ∵M 为AB 的中点，25AB =，∴5AM =．
∵BC = 6，∴MN = 3．………………………………………………………（1分） （II ）当△ANM ∽△ABC 时：
AM MN
AC BC
=
．………………………………（1分） A
C B
D E
G
N M
（第21题图1）
A C
B
D
E
G
N M
（第21题图2）
H F
∵M 为AB 的中点，25AB =，∴5AM =． ∵BC = 6，45AC =，∴3
2
MN =．……………………………………（1分） ∴MN 的长为3或
32
． （2）①如图1所示，画出一个正确的图形即可．………………………………（2分）
②8个．………………………………………………………………………（2分） 画出的一个格点三角形如图2所示．………………………………………（2分）
23．解：（1）①4
3
π．………………………………………………………………………（2分）
②3．………………………………………………………………………（2分）
（2）①如图1，当折叠后的
AB 与 CD 所在圆外切于点P 时，过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交
AEB 于点E ，交CD 于点G 、交 CFD 于点F ，则点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上．
∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD ． 由垂径定理及折叠，得12PH PE =，1
2
PG PF =．……………………（2分）
又∵EF = 4，
∴点O 到AB 、CD 的距离之和d 为：1
()22
d PH PG PE PF =+=
+=．
（1分）
P H D
C
O A
B
（第23题图1）
F
E G
P
N B M O D
C
（第23题图2）
A
O 1
O 2
（第22题图1）
C 1
B 1
A 1
（第22题图2）
P
N
M
②证明：如图2，设O 1、O 2为
APB 和 CPD 所在圆的圆心． ∵点O 1与点O 关于AB 对称，点O 2与点O 关于CD 对称，
∴点M 为OO 1的中点，点N 为OO 2 的中点．……………………………（2分）
∵折叠后的
APB 与 CPD 所在圆外切，∴连心线O 1O 2必过切点P ． ∵折叠后的
APB 与 CPD 所在圆与圆O 都是等圆， ∴O 1P = O 2P = 2，∴PM =
1
2
OO 2 = ON ，PM ∥ON ．……………………（2分） ∴四边形OMPN 是平行四边形．…………………………………………（1分）
24．解：（1）（I ）如图1，当点A 在x 轴正半轴、点B 在y 轴负半轴上时：
正方形ABCD 的边长为2．………………………………………………（1分） （II ）当点A 在x 轴负半轴、点B 在y 轴正半轴上时：
设正方形边长为a ，易得32a =，………………………………………（1分） 解得23a =
，此时正方形的边长为2
3
．………………………………（1分） ∴所求“伴侣正方形”的边长为2或
2
3
．
（2）如图2，作DE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，
易证△ADE ≌△BAO ≌△CBF ．
∵点D 的坐标为(2,)m ，2m <，∴DE = OA = BF = m ， ∴OB = AE = CF = 2 - m ．
∴OF = BF + OB = 2，∴点C 的坐标为(2,2)m -．………………………（1分） ∴22(2)m m =-，…………………………………………………………（1分） 解得1m =．…………………………………………………………………（1分）
（第24题图2）
x
y
O 1
3
2
1 3 2
A
B
C
D E
F x
y O B
D
A
C
1y x =+
（第24题图1）
∴反比例函数的解析式为2y x
=．…………………………………………（1分） （3）212388y x =
+或272234040y x =-+
或23177y x =+或2355
77
y x =-+．…（5分） 注：第（3）小题写对一个函数解析式得2分，之后每写对一个得1分
25．解：（1）① 1． ………………………………………………………………………（2分）
②
2
x
． ………………………………………………………………………（2分） （2）联结AE ，补全图形如图1所示．…………………………………………（1分）
∵△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形， ∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2， ∴BC = 1，EF = 2，∠DFE =∠ACB = 45°． ∴2AC =，22DF =，∠EFB = 90°．
∴2AD DF AC =-=，∴点A 为DF 的中点．………………………（1分） ∴EA ⊥DF ，EA 平分∠DEF ．
∴∠MAE = 90°，∠AEF = 45°，2AE =． ∵∠MEB =∠AEF = 45°，∴∠MEA =∠BEF ．
∴Rt △MAE ∽Rt △BFE ．……………………………………………………（1分） ∴
AM AE
BF EF
=
，∴22AM =．……………………………………………（1分） ∴22222DM AD AM =-=-
=，∴1AM
DM
=．……………………（1分）
（3）如图2，过点B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，联结AG ．
∵∠EBG = 90°，∠BEM = 45°，∴∠BGE = 45°．
∴BE = BG ．…………………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =∠EBG = 90°，∴∠ABG =∠CBE ．……………………………（1分） 又∵BA = BC ，∴△ABG ≌△CBE ．………………………………………（1分） ∴AG = CE = x ，∠AGB =∠CEB ．
（第25题图1）
D
E
F (C )
l
A
B
M
（第25题图2）
D
E
A
F
M
l
C
B
G
∵∠AGB +∠AGM =∠CEB +∠DEM = 45°，
∴∠AGM =∠DEM ，∴AG ∥DE ．…………………………………………（1分） ∴
2
AM AG x
DM DE ==．
…………………………………………………………（1分） 注：第（3）小题直接写出结果不得分下载本文
