南京市第二十七高级中学 俞泰鸿

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准》首次将教学目标分成三个方面：即知识与技能目标，过程与方法目标，态度与价值观目标。其中最突出的特点之一就是提出了“过程性目标”，这一目标变“追求学习的结果”为“强调学习的过程”，注重学生学习过程的积极体验和科学方法的掌握与内化。通过该目标的实现，学生不仅能掌握一定的数学知识，获得相应的数学技能，也能体验学习过程中产生的积极情感，形成正确的价值观，更重要的是在积极参与的学习过程中，学生能够把握方法、形成能力、发展意识，例如应用意识和创新意识等等。由于缺乏相关的经验与理论，因此在实际教学中教师常常困惑：如何实施过程性目标？因而研究和开发出一些过程性目标的教学途径与方法及评价手段也就成为一个教学中迫切需要解决的问题。

二、现状分析

受应试教育和高考指挥棒的影响，许多教师在日常的高一、高二的教学中往往把教学要求拔高到高考要求，过分地重视知识技能目标的达成，教学只重视解题，而对知识结果产生的过程，以及在过程中所内含的数学观点和思想方法的揭示视而不见。以致知识技能目标的拔高，造成过程方法目标的丢舍。出现了课堂上只重显性知识和技能的操练，而轻视学生对数学的感受和体验，有的甚至直接将数学结论抛给学生，忽视了人的一般的认知规律，把学生作为一种被填塞的容器。

教师在体现过程时不重视数学本质的揭示，思维的质量提升，而过度关注所谓的情境创设、学生活动，小组讨论等，只追求形式上的热热闹闹，而缺乏应有的数学课程的特征，某种程度异化了新课程的特点和亮点，出现我们常说的“上课热热闹闹，下课全不知道”的现状，造成了教学时间的浪费和学习过程的空泛。因此，这种所谓“热热闹闹”的课堂教学反而使得知识技能目标相比与传统的课堂教学更不落实，这也是对新课程的课堂教学理念的一种错误理解。

三、实施过程性目标的策略与方法

教学目标是每一节课的纲，是每一节课的灵魂所在，它是师生的一切教与学活动的出发点和归宿，因此，抓住了教学目标，就可以起到纲举目张的作用。实施过程性目标就是要学生在数学学习过程中经历、体验、探索知识的产生、发展和应用过程，在积极参与的学习过程中，能够获得解决问题的方法、形成分析问题、解决问题的能力、发展应用、创新意识等等。下面就以南京市高中数学新课程实验中的一些教学片段为例，谈谈实施过程性目标的策略和方法。

1．紧密联系实际，让学生经历数学化的过程

紧密联系实际，让学生经历数学化的过程，可以体现数学素材与学生已有的知识和生活经验之间的密切联系，使学生有机会经历和体验数学知识产生、形成、展开和应用的全过程，有效地联系学生的生活世界和数学世界，从具体的“生活情境”到数学的抽象、又从数学的抽象到解决具体问题的多重过程，对发展学生从数学角度认识问题的能力、抽象思维的能力、运用数学方法解决具体问题的能力，以及不断认识到数学的应用价值和文化价值都是十分重要的．

【案例1】 《基本不等式的证明（1）》（必修5）

情境1：试验室中某同学用一个两臂不一样长的天平称量物体的质量，他每次都将物体放在左右两个盘中各称一次，再把两次结果平均一下，其结果作为该物体的质量，这种计量是否准确？说明理由。

问题1：设左右两次称量的结果分别为a，b，天平的两臂长分别为l1，l2，该同学认为质量为，你认为在此问题中如何合理地表示物体的质量M呢？

问题2：在研究这个实际问题中得到了两个式子和，如果设为正数，则称为的算术平均数，称为a，b的几何平均数。那么与哪个大？

这个例子中，由于设计了联系生活的有趣的问题，激发了学生强烈的好奇心理和探究意识，学生在经历了尝试、操作、调整、分析、归纳等过程后，逐步寻找和理解其中蕴涵的解决问题的思路与方法，然后采用多种方法尝试解决这个问题，探究基本不等式的证明的途径和方法。

【案例2】 《直线的斜率》（必修2）

在上课开始后教师出示问题情境：

议一议：1。同学们小时候都玩过跷跷板，如果把跷跷板抽象的理解为一条直线，那么在跷跷板的运动过程中，就形成了一系列的直线，那么这些直线都经过同一点，但是这些直线的方向是各不相同的，如果我们确定一个方向，那么直线是不是就确定了呢？

2．如图，为什么大桥的引桥要很长? 滑梯从湖边滑到湖心，为什么要很高才刺激?

想一想：如何确定一条直线的倾斜程度呢？

这个例子以生活化的情境出发，使学生真切地感受到数学就在我们身边，体现了数学知识和生活之间的密切联系，而跷跷板、引桥、滑梯等问题充满了趣味性，它可以引导学生在不断地探究中，探索表达直线的倾斜程度的一般方法．

2．关注学生的数学现实，设计好学生的探究活动

设计好学生的探究活动就是要根据学生的认知发展水平和已有的知识经验，切实安排好活动程序，使学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，加上讨论、合作、交流互动等小组活动，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．这实际上倡导的是“做数学”和“用数学”，强调的是体验和感悟数学，理解和运用数学，因此，让学生在数学课上“动”起来是改革学生学习方式的重要途径．当然设计数学探究活动一定要把握思维容量，要突出数学的思维价值，设置的问题的空间应大小有度，既要符合学生的认知水平，又有一定的挑战性，这样才能能引起学生认知冲突和探究欲望，学生也必须调动自己的经验，经过一定时间的探索和研究才能解决问题。

【案例3】 《函数的单调性》（必修1）

1．在上课开始后教师出示问题：在一碗水中，加入适量的盐．设水的质量为1，盐的质量为x，盐水的浓度为y，则y与x的函数关系是 y＝（x≥0）．怎样用数学语言刻画“盐加得越多，盐水就越咸”这一特征？函数的解析式能反映出这个特征吗？

2．观察某城市某日24小时气温变化图．

（1）如何描述气温θ随时间t的变化情况？

（2）在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大这一特征，要是用数学符号来刻画，该如何表述呢？

（3）能不能说，取t1＝5，t2＝6，t3＝8，t4＝10，得到相对应的θ1，θ2，θ3，θ4的值，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ随t的增大而增大?

（4）能不能说，取该子区间内所有的输入值t1，t2，t3，…，tn，得到相对应的θ1，θ2，θ3，…，θn的值，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大？

接着学生参与给函数单调性下一个定义。

本例中，教材原来是直接通过气温变化图导入函数单调性，空间比较大，也给学生参与下定义带来了较大的障碍，因此这里因此先让学生探究一个相对简单的实际问题，给学生一个现实支撑，又针对气温变化图这个问题分设了4个小问题，搭设探究问题的台阶，使探究活动既有一定的挑战性，又不使大部分学生因难以企及而望而生畏。本例的问题设计充分考虑到了学生的知识水平和能力水平。

【案例4】《几何概型》（必修3）

上课开始后教师出示问题：

问题1：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？

问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122厘米，靶心直径为12．2厘米．运动员在70米外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率是多少？

问题3：上述两个问题的模型与前面所学过的古典概型究竟有何异同？区别在哪里？

问题4：如何将古典概型中的“有限”过渡到几何概型中的“无限”？

本例中，由于学生首先要采用适当的方法尝试进行计算，将可以穷举的自然数推广到不可以穷举的区域，然后再比较几何概型与古典概型的异同，使得该探究活动具有一定的挑战性和思维容量。如果在上课后，教师先给出几何概型的概念，然后再计算几个题目，那么就把原本探究的问题转化为计算的技能，显然就会失去探究的价值。

3．以问题串形式设计教学过程，凸显研究方法

以问题串形式设计教学过程，可以引导学生以自主探索、合作交流的学习方式，使学生在解决这些问题串的过程中感受数学、体验数学和理解数学，发展解决问题的策略，树立正确的数学观，帮助学生发现问题、提出问题、思考问题，丰富学生的学习活动方式．因此，设置问题串不仅要体现数学思想方法，使学生学习分析、解决问题的方法，还要凸显和强化过程意识，设计好问题串及其递进序列，使过程与结果并重．

【案例5】《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象》（必修4）

1．探索φ对图象的影响．

利用几何画板，同时作出函数y＝sin(x＋1)和y＝sinx的图象．

问题1：函数y＝sin(x＋1)和y＝sinx的图象有什么关系？

问题2：既然图象是由点构成的，那么能否从点的变化对这样的过程加以解释？

问题3：一般地，函数y＝sin(x＋φ)和y＝sinx的图象有什么关系？

2．探索A对图象的影响．

利用几何画板，同时作出函数y＝3sinx和y＝sinx的图象．

问题4：函数y＝3sinx和y＝sinx的图象有什么关系？

问题5：能否仍然结合点的变化来思考函数图象的变化？此时该研究两个函数图象上什么样的两个对应点？还是纵坐标相同的两个点吗？

问题6：你能得到函数y＝sinx和y＝sinx的图象有什么关系吗？

问题7：一般地函数y＝Asinx（A＞0且A≠1）和y＝sinx的图象有什么关系？

3．探索ω对图象的影响．

利用几何画板，同时作出函数y＝sin2x和y＝sinx的图象．

问题8：函数y＝sin2x和y＝sinx的图象有什么关系？

问题9：能否仍然结合点的变化来思考函数图象的变化？此时又该考虑两个图象上什么样的两个对应点？

问题10：你能得到函数y＝sinx和y＝sinx的图象有什么关系吗？

问题11：一般地函数y＝sinωx（ω＞0且ω≠1）和y＝sinx的图象有什么关系？

本例从实例出发，循序渐进地提出了11个问题，这些问题由易到难，环环相扣，渐次深入，从而得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的特点，体现了研究问题的方法：由具体到一般的方法，引导学生经历研究问题的过程：探索φ对图象的影响、探索A对图象的影响、探索ω对图象的影响。整个问题串形成了研究问题的一个“序”，这种“序”充分体现问题的层次感，也更适合学生研究．

【案例6】 《抽样方法的选择》（必修3）

在上课开始后教师依次出示问题情境：

某地产品质量检验部门为了了解市场上节能灯的质量，现在

需要派出一个调查组进行调查．

问题1 你认为应该采用全面普查，还是采取抽样调查？

问题2 调查组在某市场要检查50只的A品牌节能灯的质量，抽取10只节能灯进行检查，应怎样进行抽样？

问题3 调查组在某市场要检查1000只的A品牌节能灯的质量，抽取100只节能灯进行检查，应怎样进行抽样？

问题4 调查组在某市场要检查1000只节能灯，其中A品牌的占20％，B品牌的占30％，C品牌的占50％，要抽取100只节能灯进行检查，应怎样进行抽样？

通过对几个问题的讨论，感受合理选择抽样方法的必要性．然后引导学生对简单随机抽样、系统抽样和分层抽样进行列表比较．

对照表格提出问题：

问题5 在选择抽样方法时要注意什么？

问题6 怎样选择抽样方法？

这个例子中，原来只是简单的抽样方法的选择的课，由于设计了了问题串扩大了探索的空间，具有较强的挑战性，学生在不断地尝试、比较和探究的基础上进行鉴别和选择，不仅使学生经历比较选择的过程，也使学生体验和感受研究问题的方法和策略，整个学习过程的设计有效地凸显了数学的思维价值．

总之，实施过程性目标可以为学生提供了充分的机会，让学生亲历建构的过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方法，对培养学生的创新意识，提高学生的数学素养具有重要意义。

(本文获江苏省2008年高中数学优秀教学论文评选一等奖)下载本文