班 级09电本一班学号 2009041501姓 名陈丽琼 同组人
实验日期2011.12.27 室温 大气压 成 绩
实验题目： 实验五 FIR数字滤波器的设计
一、实验目的
(1)掌握用窗函数法、频率采样法及优化设计法设计 FIR 滤波器的原理及方法，熟悉
相应的 MATLAB 编程。
(2)熟悉线性相位 FIR 滤波器的幅频特性和相频特性。
(3)了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。
二、实验原理:
（一）线性相位实系数 FIR 滤波器按其 N 值奇偶和 h(n)的奇偶对称性分为四种：
1、h(n)为偶对称，N 为奇数;H(ejω)的幅值关于 ω=0，π，2π 成偶对称。
2、h(n)为偶对称，N 为偶数;H(ejω)的幅值关于 ω=π 成奇对称，不适合作高通。
3、h(n)为奇对称，N 为奇数;H(ejω)的幅值关于 ω=0，π，2π 成奇对称，不适合作高
通和低通。
4、h(n)为奇对称，N 为偶数;H(ejω) ω＝0、2π=0，不适合作低通。
(二) 窗口法
窗函数法设计线性相位 FIR 滤波器步骤
1、确定数字滤波器的性能要求：临界频率{ωk}，滤波器单位脉冲响应长度 N； 2、根据性能要求，合理选择单位脉冲响应 h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应 Hd(ejω)的幅频特性和相频特性；
3、求理想单位脉冲响应 hd(n)，在实际计算中，可对 Hd(ejω)按 M(M 远大于 N)点等距离采样，并对其求 IDFT 得 hM(n)，用 hM(n)代替 hd(n)；
4、选择适当的窗函数 w(n)，根据 h(n)= hd(n)w(n)求所需设计的 FIR 滤波器单位脉冲响应；
5、求 H(ejω)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度 N，重复上述设计过程， 以得到满意的结果。
窗函数的傅式变换 W(ejω)的主瓣决定了 H(ejω)过渡带宽。W(ejω)的旁瓣大小和多少决定了 H(ejω)在通带 和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：
（1）矩形窗(Rectangle Window) w( n) = R N ( n)
（2）汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗
（3）汉明窗，又称改进的升余弦窗
（4）布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗
（5）凯塞(Kaiser)窗
其中：β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，β越大，过渡带越宽，阻带 越小衰减也越大。I0(·)是第一类修正零阶贝塞尔函数。
若阻带最小衰减表示为，β的确定可采用下述经验公式：
（三）频率采样法
频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应 Hd(e )加以等间隔采样，然后以此 Hd(k)作为实际 FIR 数字滤波器的频率特性的采样值 H(k),由 H(k)通过 IDFT 可得有限长序列 h(n) ， 然后进行 DTFT 或 Z 变换即可得 H (e jω)
(四）FIR 滤波器的优化设计
FIR 滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在 通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。
为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位 FIR 滤波器的单位脉冲响应 h(n) 的对称中心置于 n=0 处，此时，线性相位因子 α=0。令 N=2M+1，则
如希望逼近一个低通滤波器，这里 M， ω c 和 ω r 固定为某个值。在这种情况下有
定义一逼近误差函数： E (ω ) = W (ω )[ H d (e jω ) -H (e jω )]
E(ω)为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W(ω)为加权函数，K 应当等于比值 δ1/δ2，δ1 为通带波动，δ2 为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求|E(ω)|在区间 0 ≤ ω ≤ ω c 和 ω r ≤ ω ≤ π 的最大值为最小， 它等效于求最小 δ2。 根据数学上多项式逼近连续函数的理论， 用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯 一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。
在逼近过程中，可以固定 K，M，ω c 和 ω r ，而改变 δ2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函 数的极值频率 ω i ，i=0,1,...,M+1，共计可以写出(M+2)个方程
式中 ρ 表示峰值误差。一般仅需求解出 ρ，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新 的峰值误差 ρ。依此反复进行，直到前、后两次 ρ 值不变化为止，最小的 ρ 即为所求的 δ2。
这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。
三、实验内容：
（1） N=45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化的幅度谱，并比较各自的主要特点。
主要代码如下：
n=45;
y1=boxcar(n);
[h1,w1]=freqz(y1,n);
subplot(3,1,1);
plot(w1/pi,20*log(abs(h1)));
grid;
title('boxcar');
y2=hamming(n);
[h2,w2]=freqz(y2,n);
subplot(3,1,2);
plot(w2/pi,20*log(abs(h2)));
grid;
title('hamming');
y3=blackman(n);
[h3,w3]=freqz(y3,n);
subplot(3,1,3);
plot(w3/pi,20*log(abs(h3)));
grid;
title('blackman');
运行结果如图：
分析： 矩形窗函数具有最窄的主瓣宽度，但有最大的旁瓣峰值；汉明窗函数的主瓣稍宽，而旁瓣较小；布莱克 曼窗函数则更甚之。 矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但是阻带最小衰减也最差； 布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好，过度带最宽，约为矩形窗设计的的三倍。 汉明窗设计的滤波器处于矩形窗和布莱克曼窗之间。
（2） N=15，带通滤波器的两个通带边界分别是 ω1 = 0.3π ， ω 2 = 0.5π 。用汉宁（Hanning）窗设计此线 性相位带通滤波器，观察它的实际 3dB 和 20dB 带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特 性的变化，注意长度 N 变化的影响。
程序如下：
n=15;
wn=[0.3,0.5]
b=fir1(n,wn,Hanning(n+1));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('n=15 Hanning');
figure;
n=45;
wn=[0.3,0.5]
b=fir1(n,wn,Hanning(n+1));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('n=45 Hanning');
运行结果如图： 所设计滤波器的 h(n): 相应的幅频相频特性曲线：
分析： 观察它的实际 3dB 和 20dB 带宽，发现 N=15 时，其 3DB 带宽约为 0.2pi,20db 带宽约为 0.45pi； N=45 时，其 3DB 带宽约为 0.16pi,20db 带宽约为 0.3pi 5 DSP 试验 04008012 可见 N 增大，其 3db 带宽和 20db 带宽分别减小，滤波器特性变好，过渡带变陡，幅频曲线显示其通 带较平缓，波动小，阻带衰减大。相频特性曲线显示其相位随频率变化也变大。
（3） 分别改用矩形窗和 Blackman 窗，设计（2）中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特 性的影响，比较三种窗的特点。
程序如下：
n=15;
wn=[0.3,0.5]
b=fir1(n,wn,boxcar(n+1));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('n=15 boxcar');
figure;
n=45;
b=fir1(n,wn,boxcar(n+1));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('n=45 boxcar');
figure;
n=15;
b=fir1(n,wn,blackman(n+1));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('n=15 blackman');
figure;
n=45;
b=fir1(n,wn,blackman(n+1));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('n=45 blackman');
相应的幅频曲线如图：
分析：从以上图可见： 同一 N 值，分别用矩形窗，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗设计滤波器时，主瓣宽度逐渐增大,过渡带 变宽，但阻带衰减性能变好；N 增加，主瓣变窄，旁瓣的分量增加，过渡带变陡，起伏震荡变密。 加窗处理对滤波器的频率响应会产生以下主要影响： （1）使理想特性不连续的边沿加宽，形成一过渡带，过渡带的宽度取决于窗函数频谱的主瓣宽度。 （2）在过渡带两旁产生肩峰和余振，它们取决于窗函数频谱的旁瓣；旁瓣越多，余振也越多；旁瓣相 对值越大，肩峰则越强。 （3）增加截断长度 N ，只能缩小窗函数频谱的主瓣宽度而不能改变旁瓣的相对值；旁瓣与主瓣的相对 关系只决定于窗函数的形状。因此增加 N，只能相对应减小过渡带宽。而不能改变肩峰值。肩峰值的大 小直接决定通带内的平稳和阻带的衰减，对滤波器性能有很大关系。
（4） 用 Kaiser 窗设计一专用线性相位滤波器，N=40， H d (e jω ) 如图，当 β=4、6、10 时，分别设计、 比较它们的幅频和相频特性，注意 β 取不同值时的影响。
程序如下：
n=40;wn=[0.2,0.4,0.6,0.8];
b=fir1(n,wn,kaiser(n+1,4));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('kaiser beta=4');figure;
b=fir1(n,wn,kaiser(n+1,6));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('kaiser beta=6');figure;
b=fir1(n,wn,kaiser(n+1,10));
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('kaiser beta=10');
运行结果如图：
分析： β 越大，w(n)窗越窄，频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加，过渡带变宽，相位特性变好。
（5） 用频率采样法设计（4）中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令 H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果。
程序如下：
n=40;
w=[0 0.175 0.2 0.225 0.375 0.4 0.425 0.575 0.6 0.625 0.775 0.8 0.825 1];
m=[0 0 0.5 1 1 0.5 0 0 0.5 1 1 0.5 0 0];
b=fir2(n,w,m);
[h,w]=freqz(b,1,512);
freqzplot(h,w);
title('频率采样法');
运行结果如右图所示：
分析：
四：实验思考题
1．定性地说明用本实验程序设计的 FIR 滤波器的 3dB 截止频率在什么位置？它等于理想频率响应 Hd(ejω) 的截止频率吗？
答：三分贝截止频率在主瓣内，幅度为最大幅度的一半的位置。它理论上不等于理想频率响应的截止频率，因为加了窗函数，频域上相当于是理想频率响应乘以窗函数，因此不一样。实验中读出的3dB带宽刚好和给的数值一样只是因为读数的误差，由图读得的比较不精确。
2.如果没有给定 h(n)的长度 N， 而是给定了通带边缘截止频率 ωc 和阻带临界频率 ωp， 以及相应的衰减， 你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位 FIR 低通滤波器吗？
答：可以，先根据不同窗函数的最小阻带衰减不同来选择适合（有不同的选择方法，只要符合条件即可）的窗函数，再利用主瓣宽，计算出N的值，下面就可以按前面的方法进行设计了。
六、实验总结
通过本实验FIR滤波器的设计，采用窗函数法，进一步熟悉了滤波器的设计，掌握了用窗函数设计FIR数字滤波器的原理及方法，熟悉了相应的计算机高级语言编程，从所做的图中也更熟悉了FIR滤波器的幅频和相频响应，也更清楚地知道了各种窗函数的不同。主瓣宽度和旁瓣高度是互相矛盾的两方面，主瓣宽度反映的是滤波器的通带频率和阻带频率，旁瓣高度则反映了滤波器的阻带衰减特性，设计时要兼顾双方，根据滤波器的要求相互协调。下载本文
