数学试题卷（理工农医类）

满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

    1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.

    2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.

    3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

    4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

    5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数

    A．     B．    C．                D． 

2．“”是“”的

      A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件

       C．充要条件                     D．既不充分也不必要

3．已知，则

      A．          B． 2              C．3             D．6

4．的展开式中的系数相等，则n=

    A．6                B．7               C．8              D．9

5．下列区间中，函数在其上为增函数的是

    A．（-          B．         C．        D． 

6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为

    A．               B．         C． 1             D． 

7．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是

    A．               B．4                C．           D．5

8．在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为

    A．    B．      C．     D． 

9．高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

    A．             B．         C．1        D． 

10．设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为

    A．-8               B．8          C．12              D．13

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上

11．在等差数列中，，则__________

12．已知单位向量，的夹角为60°，则__________

13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________

14．已知，且，则的值为__________

15．设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16．（本小题满分13分）

设，满足，求函数在上的最大值和最小值.

17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：

   （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；

   （Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）

设的导数满足，其中常数．

   （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

   （Ⅱ） 设，求函数的极值． 

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）

如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．

   （Ⅰ）若，，求四面体的体积；

   （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）

如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．

   （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

   （Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）

设实数数列的前n项和，满足

   （I）若成等比数列，求和；

   （II）求证：对

参

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

1—5 CADBD    6—10 ACBCD

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.

11．74     12．    13．    14．    15． 

三、解答题：满分75分.

16．（本题13分）

解： 

由

因此

当为增函数，

当为减函数，

所以

又因为

故上的最小值为

17．（本题13分）

解：这是等可能性事件的概率计算问题.

   （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次重复试验.

记“申请A片区房源”为事件A，则

从而，由重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为

   （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又

综上知，ξ有分布列

18．（本题13分）

解：（I）因故

令

由已知

又令由已知

因此解得

因此

又因为故曲线处的切线方程为

   （II）由（I）知，

从而有

令

当上为减函数；

当在（0，3）上为增函数；

当时，上为减函数；

从而函数处取得极小值处取得极大值

19．（本题12分）

   （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，

即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，

且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.

在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，

由勾股定理易知

故四面体ABCD的体积

   （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.

    设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，

    故由三垂线定理知DE⊥AB.

所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°

设

在

从而

因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，

又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为

解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，

平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.

不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为

显然向量是平面ABC的法向量.

已知二面角C—AB—D为60°，

故可取平面ABD的单位法向量，

使得

设点B的坐标为，有

易知与坐标系的建立方式不合，舍去.

因此点B的坐标为所以

从而

故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

20．（本题12分）

解：（I）由

解得，故椭圆的标准方程为

   （II）设，则由

得

因为点M，N在椭圆上，所以

，

故

设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知

因此

所以

所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为

21．（本题12分）

   （I）解：由题意，

由S2是等比中项知

由解得

   （II）证法一：由题设条件有

故

从而对有

     ①

因，由①得

要证，由①只要证

即证

此式明显成立.

因此

最后证若不然

又因矛盾.

因此

证法二：由题设知，

故方程（可能相同）.

因此判别式

又由

因此，

解得

因此

由，得

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