参与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x＜3}，则A∩B= {1，2} ．
| 考点： | 交集及其运算． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 直接根据两个集合的交集的定义求得A∩B． |
| 解答： | 解：∵已知集合A={1，2，3}，B={x|x＜3}，则A∩B={1，2}， 故答案为 {1，2}． |
| 点评： | 本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． |
2．（5分）函数的最小正周期为 π ．
| 考点： | 三角函数的周期性及其求法． |
| 专题： | 计算题；三角函数的图像与性质． |
| 分析： | 根据三角函数的周期公式直接加以计算，即可得到函数的周期． |
| 解答： | 解：∵函数中，振幅A=1，初相φ=，且ω=2 ∴函数的最小正周期为T==π 故答案为：π |
| 点评： | 本题给出三角函数的表达式，求它的周期，着重考查了三角函数的图象与性质的知识，属于基础题． |
3．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2＜4”的否定是 ∃x∈[1，2]，x2≥4 ．
| 考点： | 特称命题；命题的否定． |
| 专题： | 阅读型． |
| 分析： | 直接依据全称命题的否定写出即可． |
| 解答： | 解：命题“∀x∈[1，2]，x2＜4”是个全称命题， 否定是∃x∈[1，2]，x2≥4， 故答案为：∃x∈[1，2]，x2≥4 |
| 点评： | 本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化． |
4．（5分）双曲线的渐近线方程为 ．
| 考点： | 双曲线的简单性质． |
| 专题： | 圆锥曲线的定义、性质与方程． |
| 分析： | 在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程． |
| 解答： | 解：在双曲线的标准方程中，把1换成0， 即得的渐近线方程为 化简可得 ， 故答案为：． |
| 点评： | 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． |
5．（5分）设i是虚数单位，若复数z满足，则复数z的虚部为 ﹣1 ．
| 考点： | 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 利用复数的运算法则和虚部的意义即可得出． |
| 解答： | 解：∵复数z满足，∴，化为z（1﹣i）（1+i）=2（2﹣3i）（1+i），∴z=5﹣i， 故复数z的虚部为﹣1． 故答案为﹣1． |
| 点评： | 熟练掌握复数的运算法则和虚部的意义是解题的关键． |
6．（5分）在等比数列{an}中，若a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5= 5 ．
| 考点： | 等比数列的性质；等比数列的通项公式． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 由{an}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25，再由完全平方和公式知（a3+a5）2=25，再由an＞0，能求出a3+a5的值． |
| 解答： | 解：∵{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25， ∴a32+2a3a5+a52=25，即 （a3+a5）2=25． ∵an＞0，∴a3+a5=5， 故答案为：5． |
| 点评： | 本题考查等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，注意完全平方和公式的合理运用，属于中档题． |
7．（5分）曲线y=x3﹣x2在点P（2，4）处的切线方程为 8x﹣y﹣12=0 ．
| 考点： | 利用导数研究曲线上某点切线方程． |
| 专题： | 导数的概念及应用． |
| 分析： | 由求导公式和法则求出导数，再把x=2代入求出切线的斜率，再代入点斜式方程化为一般式即可． |
| 解答： | 解：由题意得，y′=3x2﹣2x， 则点P（2，4）处的切线斜率k=12﹣4=8， ∴点P（2，4）处的切线方程是：y﹣4=8（x﹣2）， 即8x﹣y﹣12=0， 故答案为：8x﹣y﹣12=0． |
| 点评： | 本题考查了导数的几何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及点斜式方程的应用． |
8．（5分）（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则= ．
| 考点： | 函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值． |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可． |
| 解答： | 解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数， ∴=f（+2）=f（）， 又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（）=f（）， 又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1， ∴有：f（）=+1=， 则=． 故答案为． |
| 点评： | 本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握． |
9．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①l⊥α，m⊂α⇒l⊥m；
②l∥α，m⊂α⇒l∥m；
③α⊥β，α⊥γ⇒β∥γ；
④α⊥β，l⊥β⇒l∥α．
在上述命题中，所有真命题的序号为 ① ．
| 考点： | 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系． |
| 专题： | 空间位置关系与距离． |
| 分析： | ①利用线面垂直的性质判断．②利用线面平行的性质判断．③利用面面垂直的性质判断．④利用线面垂直和面面垂直的性质判断． |
| 解答： | 解：①根据线面垂直的定义可知，当l⊥α，m⊂α时一定有l⊥m，所以①正确． ②当l∥α时无法确定直线l的位置，所以l∥m或l，m是异面直线，所以②错误． ③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，所以③错误． ④当l⊄α时，有直线l∥α，当l⊂α时，结论不成立，所以④错误． 故答案为：①． |
| 点评： | 本题考查空间直线、平面之间的位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直的关系的判断定理和性质定理． |
10．（5分）已知，则的值为 ．
| 考点： | 运用诱导公式化简求值． |
| 专题： | 三角函数的求值． |
| 分析： | 利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos（2α+），再利用二倍角公式化为 1﹣2，运算求得结果． |
| 解答： | 解：∵已知，则=﹣cos（2α﹣+π）=﹣cos（2α+）=1﹣2=1﹣2×=， 故答案为 ． |
| 点评： | 本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题． |
11．（5分）已知函数f（x）=ln（x﹣a）（a为常数）在区间（1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 （﹣∞，1] ．
| 考点： | 对数函数的单调性与特殊点． |
| 专题： | 函数的性质及应用． |
| 分析： | 由条件根据对数函数的定义域可得 1﹣a≥0，由此求得a的范围． |
| 解答： | 解：由于函数f（x）=ln（x﹣a）（a为常数）在区间（1，+∞）上是增函数，则1﹣a≥0，求得a≤1， 故答案为 （﹣∞，1]． |
| 点评： | 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于中档题． |
12．（5分）设P是直线x+y﹣b=0上的一个动点，过P作圆x2+y2=1的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为60°，则b= ．
| 考点： | 直线与圆的位置关系． |
| 专题： | 直线与圆． |
| 分析： | 当PO和直线x+y﹣b=0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO=30°，PO=2r=2，即圆心O到直线x+y﹣b=0的距离为2，再利用点到直线的距离公式求得 b的值 |
| 解答： | 解：由题意可得，当PO和直线x+y﹣b=0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO=30°，PO=2r=2， 即圆心O到直线x+y﹣b=0的距离为2，即 =2，解得 b=±2， 故答案为±2． |
| 点评： | 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题． |
13．（5分）已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为 ．
| 考点： | 归纳推理． |
| 专题： | 规律型． |
| 分析： | 题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，即0，，，…，此数列通项公式易求． |
| 解答： | 解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…， 即0，，，…， 由此推测，函数的图象的对称中心为 故答案为： |
| 点评： | 本题考查归纳推理，实际上可看作给出一个数列的前几项写出数列的通项公式． |
14．（5分）已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是实数，且满足，则d的取值范围是 ．
| 考点： | 等差数列的性质． |
| 专题： | 等差数列与等比数列． |
| 分析： | 首先根据等差数列的前n项和公式化简，得（2a1+d）（2a1+3d）+（a1+d）2=﹣2，将此式看作关于a1的一元二次方程，利用△≥0 去求d的取值范围． |
| 解答： | 解：∵，由等差数列的前n项公式得（2a1+d）（2a1+3d）+（a1+d）2=﹣2， 展开并化简整理得5a12+10a1d+4d2+2=0，将此式看作关于a1的一元二次方程，d为系数． ∵a1、d为实数，∴△=100d2﹣4×5×（4d2+2 ）≥0．化简整理得d2﹣2≥0， ∴d∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞） |
| 点评： | 本题考查等差数列的前n项公式，一元二次方程根存在的判定，一元二次不等式的解法．本题的关键是用方程的眼光看待 5a12+10a1d+4d2+2=0． |
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，，求a，c的值．
| 考点： | 余弦定理；正弦定理的应用． |
| 专题： | 计算题；解三角形． |
| 分析： | （1）根据正弦定理，结合题中等式化出，结合三角形内角范围得到，从而解出． （2）由正弦定理得，代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解得a=，进而可得边c的值． |
| 解答： | 解：（1）∵在△ABC中， ∴由正弦定理得． …（2分） ∵A∈（0，π）， ∴sinA＞0，可得，． …（4分） ∵B∈（0，π），∴． …（7分） （2）∵，∴由正弦定理得． …（9分） 由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得 ． …（11分） 解之得a=，从而c=2a=． …（14分） |
| 点评： | 本题给出出三角形的边角关系，求角B的大小，并在已知边b和a、c长度关系情况下求边a、c长，着重考查了利用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题． |
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，∠DAB=90°，AD=2BC，PB⊥平面PAD．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）设点E在棱PA上，PC∥平面EBD，求的值．
| 考点： | 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． |
| 专题： | 计算题；证明题；空间位置关系与距离． |
| 分析： | （1）由PB⊥平面PAD得到PB⊥AD，结合AB⊥AD利用线面垂直判定定理，可得AD⊥平面PAB． （2）连结AC交BD于点F，连结EF．根据线面平行性质定理证出PC∥EF．梯形ABCD中证出△ADF∽△CBF，从而得到．最后在△PAC中利用平行线分线段成比例定理，即可求出的值为． |
| 解答： | 解：（1）∵PB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴PB⊥AD． …（2分） ∵AB⊥AD，AB∩PB=B，∴AD⊥平面PAB． …（5分） （2）连结AC交BD于点F，连结EF． …（6分） ∵PC∥平面EBD，PC⊂平面PAC， 平面EBD∩平面PAC=EF， ∴PC∥EF． …（9分） 由BC∥AD，得△ADF∽△CBF． ∴结合AD=2BC，得．…（12分） ∵△PAC中，PC∥EF，∴． 即的值为 …（14分） |
| 点评： | 本题在四棱锥中证明线面垂直，并求线面平行时线段的比．着重考查了空间直线与平面平行的性质定理，线面垂直的判定与性质和平行线的性质等知识，属于中档题． |
17．（14分）已知等差数列{an}的公差d大于0，且满足a3a6=55，a2+a7=16．数列{bn}满足．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求cn取得最大值时n的值．
| 考点： | 数列递推式；等差数列的性质． |
| 专题： | 综合题． |
| 分析： | （1）设等差数列{an}首项为a1，由已知结合等差数列性质得出，a3+a6=a2+a7．转化为关于a3，a6=的方程组，再利用相关性质求出a1，d，得出数列{an}的通项公式；当n=1时，b1=a1=1； 当n≥2时推导得出．可求得 （2）设cn≤cn+1，求出（等号不成立），所以n=4时，cn最大． |
| 解答： | 解：（1）∵{an}是一个公差d大于0的等差数列，则a3+a6=a2+a7． ∴解得…（2分） 则3d=a6﹣a3=6，d=2．a1=1． ∴an=2n﹣1． …（4分） ∵，① 1°当n=1时，b1=a1=1； …（5分） 2°当n≥2时，，② ①﹣②，得． ∴． …（8分） 由1°，2°，得…（9分） （2）设cn≤cn+1，即 ． …（10分） ∵an＞0，bn+2=2bn+1，∴2an≤an+3． 即2（2n﹣1）≤2n+5，∴（等号不成立）． …（12分） ∴c1˂c2˂c3˂c4，c4˃c5˃…． ∴n=4时，cn最大． …（14分） |
| 点评： | 本题考查数列通项公式求解，数列的单调性，考查转化构造、推理计算能力． |
18．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为（，0），且椭圆过点A（，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设M（0，m）（m＞0），P是椭圆上的一个动点，求PM的最大值（用m表示）．
| 考点： | 椭圆的简单性质． |
| 专题： | 圆锥曲线的定义、性质与方程． |
| 分析： | （1）由题设条件知c=，可设椭圆方程为．由点A（，1）在椭圆上，知b2=2，a2=4，由此能求出椭圆方程． （2）设P（x0，y0），则．利用丙点间的距离公式建立关于x0的二次函数，结合分类讨论思想即可求得最大值． |
| 解答： | 解：（1）由题意，c=，则a2=b2+2． …（2分） 可设椭圆方程为． ∵椭圆过点（，1），∴，解得b2=2． …（4分） （或由椭圆定义，得，则a=2，同样得2分） ∴椭圆方程为． …（6分） （2）设P（x0，y0），则． ∴=． …（9分） 由，得． …（11分） ∴当时，在y0=﹣m时，得PM的最大值为； …（13分） 当时，在y0=﹣时，得PM的最大值为． …（15分） 即…（16分） |
| 点评： | 本题考查椭圆方程的求法和点与椭圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化． |
19．（16分）某公司拟制造如图所示的工件（长度单位：米），要求工件的体积为10立方米，其中工件的中间为长方体，上下两端为相同的正四棱锥，其底面边长AB=a，高PO=．假设工件的制造费用仅与其表面积有关，已知正四棱柱侧面每平方米制造费用为2千元，正四棱锥侧面每平方米建造费用为4千元．设工件的制造费用为y千元．
（1）写出y关于a的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该工件的制造费用最小时a的值．
| 考点： | 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用． |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | （1）由长方体和四棱锥的体积的表达式，得到a和b的关系．再由柱和锥体的表面积公式建立关系式，将表达式中的b用a表示．并注意到写定义域时，利用b＞0，求出自变量a的范围． （2）用导数的知识解决，注意到定义域的，确定函数f（x）在定义域上的单调性，从而可求函数的最大值． |
| 解答： | 解：（1）AB=a，PO=，∴斜高为．…（2分） ∴一个正四棱锥的侧面积为． 一个正四棱锥的体积为． …（4分） 令长方体的高为b，则．∴． …（6分） 由b＞0，得． …（8分），定义域为．…（11分）（2），令y'=0，得． …（13分） 当，y'＜0，y为a的减函数； 当，y'＞0，y为a的增函数，…（15分） （答）该工件的制造费用最小时，a的值为（米）． …（16分） |
| 点评： | 利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时考查空间想象力也蕴含在其中． |
20．（16分）已知函数．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b=0，求实数a，b的值；
（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．
| 考点： | 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． | |||||
| 专题： | 导数的综合应用． | |||||
| 分析： | （1）求导函数，利用函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b=0，即可求实数a，b的值； （2）分类讨论，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间； （3）求导数，确定f（x）的极小值，对一切实数a∈（0，1），利用配方法，即可求f（x）的极小值的最大值． | |||||
| 解答： | 解：（1）f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1（a∈R），…（1分） 由f′（2）=9，得a=5．，…（2分） ∴ ∴f（2）=3， ∴（2，3）在直线9x﹣y+b=0上， ∴b=﹣15． …（4分） （2）①若a=0，， ∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）． …（6分） ②若a＜0，则， 令f′（x）＜0，得．∴，或x＞1． …（9分） ∴f（x）的单调减区间为，（1，+∞）． …（10分） （3），0＜a＜1， 列表： x | （﹣∞，1） | 1 | （1，） | （，+∞） | |
| f′（x） | + | 0 | ﹣ | 0 | + | |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴f（x） 的极小值为
=． …（14分）
| 当时，函数f（x）的极小值f（）取得最大值为． …（16分） | |
| 点评： | 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数得到单调性，考查函数的极值，属于中档题． |
