例1、已知数列中，前和

求证：数列是等差数列

求数列的通项公式

设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。

解：∵

∴数列为等差数列。

要使得对一切正整数恒成立，只要≥，所以存在实数使得对一切正整数

都成立，的最小值为。

例2：在等比数列中， 

求，

若

解： 由等比数列的性质可知：

      由等比数列的性质可知，是等差数列，因为

3.设，()，则的大小关系是(  C  )

A．　　B．  C．　　D．不能确定

解：因为

所以，选Ｃ．

函数与数列综合：

@1.已知在正项数列中， =2，且

在双曲线上，

数列中，

点（，）在直线上，其中是数列的前项和，求数列的通项公式；求证：数列是等比数列。若。

解：由已知带点在上知，

－＝１，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。

所以

因为点（,）在直线上，

一、错位相减法求和

例1：求和： 

 解： 

   由－得：

点拨：若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法；

      当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；

      当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。

二、裂项相消法求和

例2：数列满足=8， （）

   求数列的通项公式；

求数列的前项和。

则

所以， =8＋（－1）×（－2）＝―10－2

 对一切恒成立。

22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（II）求数列的前项和

分析：（I）由已知有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()

（II）由（I）知,

=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得 =

30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

解（I）在中，令n=1，可得，即

当时，，

.

  .                        

 又数列是首项和公差均为1的等差数列.

 于是.

(II)由（I）得，所以

由①-②得                   

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由                   

可猜想当证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设时

所以当时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时

等差等比公式热身练习

3．数列的通项公式为,则数列各项中最小项是(   B   )

A．第４项　　B．第５项　　C．第６项　　D．第７项

例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.

5．已知数列的前项和则

2．等差数列中，

A．14　　B．15　　C．16　　D．17

解

3．等差数列中，，则前10或11项的和最大。

解： 

∴为递减等差数列∴为最大。

1．已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(  D  )

2．已知等差数列中，等于（  A  ）

A．15   B．30   C．31   D．

3．等差数列的前项和记为，已知

   求通项；若=242，求

解： 

由， =242

1．

2．等比数列{a n }中，已知a9 =－2，则此数列前17项之积为        （  D  ）

    A．216               B．－216            C．217        D．－217    

3．等比数列｛an｝中，a3=7，前3项之和S3=21， 则公比q的值为    （  C  ）

A．1    B．－    C．1或－1    D．－1或

4．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于        （   A ）

A．4    B．    C．    D．2

16．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)

(1)　求证数列{an＋1}是等比数列；

(2)　求{an}的通项公式．

17．在等比数列｛an｝中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．

7.（2007重庆）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝，则公比q为（　　）

A．2                    B．3             C．4          D．8

1.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= 

A.     B.    C.     D.2 

1. 已知数列是等比数列,且

(1)求数列的通项公式; 

(2)求证:； 

(3)设,求数列的前100项和.下载本文