一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2022•广安）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　）

A．2022    B．﹣2022    C．﹣    D．

2．（3分）（2022•广安）下列运算中，正确的是（　　）

A．3a2+2a2＝5a4    B．a9÷a3＝a3    

C．+＝    D．（﹣3x2）3＝﹣27x6

3．（3分）（2022•广安）北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截止2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为（　　）

A．1.1×108    B．1.1×109    C．1.1×1010    D．1.1×1011

4．（3分）（2022•广安）如图所示，几何体的左视图是（　　）

A．    B．    

C．    D．

5．（3分）（2022•广安）下列说法正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形    

B．相似三角形的面积的比等于相似比    

C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小    

D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

6．（3分）（2022•广安）某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量（单位：kg）如下：

26   30    28   28    30     32    34    30

则这组数据的中位数和众数分别为（　　）

A．30，30    B．29，28    C．28，30    D．30，28

7．（3分）（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（　　）

A．y＝3x+5    B．y＝3x﹣5    C．y＝3x+1    D．y＝3x﹣1

8．（3分）（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（　　）

A．2    B．    C．1.5    D．

9．（3分）（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（　　）

A．圆柱的底面积为4πm2    

B．圆柱的侧面积为10πm2    

C．圆锥的母线AB长为2.25m    

D．圆锥的侧面积为5πm2

10．（3分）（2022•广安）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0； ②2c﹣3b＜0； ③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中正确结论的个数有（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（2022•广安）比较大小：　   　3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）

12．（3分）（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 　   　．

13．（3分）（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 　   　象限．

14．（3分）（2022•广安）若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 　   　．

15．（3分）（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　   　米，水面宽8米．

16．（3分）（2022•广安）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是 　   　（结果保留π）．

三、简答题（第17题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

17．（5分）（2022•广安）计算：（﹣1）0+|﹣2|+2cos30°﹣（）﹣1．

18．（6分）（2022•广安）先化简：（+x+2）÷，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．

19．（6分）（2022•广安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式，

（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．

20．（6分）（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．

已知：　   　，　   　．

求证：　   　．

四、实践应用题（第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）

21．（6分）（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生共有 　   　人，图1中m的值为 　   　．

（2）请补全条形统计图．

（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，

22．（8分）（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．

（1）求A、B两厂各运送多少吨水；

（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．

23．（8分）（2022•广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）

参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75

24．（8分）（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形），

五、推理论证题（9分）

25．（9分）（2022•广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．

六、拓展探索题（10分）

26．（10分）（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．

（1）求此抛物线的函数解析式．

（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．

2022年四川省广安市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2022•广安）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　）

A．2022    B．﹣2022    C．﹣    D．

【分析】直接运用倒数的定义求解即可．

【解答】解：2022的到数为．

故选：D．

【点评】本题考查了倒数的定义，即乘积是1的两个数互为倒数．

2．（3分）（2022•广安）下列运算中，正确的是（　　）

A．3a2+2a2＝5a4    B．a9÷a3＝a3    

C．+＝    D．（﹣3x2）3＝﹣27x6

【分析】A．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；

B．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；

C．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；

D．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．

【解答】解：A．因为3a2+2a2＝5a2，所以A选项运算不正确，故A选项不符合题意；

B．因为a9÷a3＝a9﹣3＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；

C．因为与不是同类二次根式，不能进行合并计算，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；

D．因为（﹣3x2）3＝﹣27x6，所以D选项运算正确，故D选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进行求解是解决本题的关键．

3．（3分）（2022•广安）北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截止2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为（　　）

A．1.1×108    B．1.1×109    C．1.1×1010    D．1.1×1011

【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

【解答】解：11亿＝1100000000＝1.1×109．

故选：B．

【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握应用科学记数法—表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．

4．（3分）（2022•广安）如图所示，几何体的左视图是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】应用简单组合体的三视图的判定方法进行判定即可得出答案．

【解答】解：几何体左视图为：

．

故选：B．

【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的判定方法进行求解是解决本题的关键．

5．（3分）（2022•广安）下列说法正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形    

B．相似三角形的面积的比等于相似比    

C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小    

D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

【分析】直接利用矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推论分别分析得出答案．

【解答】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不合题意；

B．相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故此选项不合题意；

C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故此选项符合题意；

D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意．

故选：C．

【点评】此题主要考查了矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推论，正确掌握相关性质与方法是解题关键．

6．（3分）（2022•广安）某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量（单位：kg）如下：

26   30    28   28    30     32    34    30

则这组数据的中位数和众数分别为（　　）

A．30，30    B．29，28    C．28，30    D．30，28

【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．

【解答】解：将这组数据重新排列为26、28、28、30、30、30、32、34，

所以这组数据的中位数为＝30，众数为30，

故选：A．

【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

7．（3分）（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（　　）

A．y＝3x+5    B．y＝3x﹣5    C．y＝3x+1    D．y＝3x﹣1

【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．

【解答】解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，

故选：D．

【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．

8．（3分）（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（　　）

A．2    B．    C．1.5    D．

【分析】如图，取AB是中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．

【解答】解：如图，取AB是中点T，连接PT，FT．

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD∥AB，CD＝AB，

∵DF＝CF，AT＝TB，

∴DF＝AT，DF∥AT，

∴四边形ADFT是平行四边形，

∴AD＝FT＝2，

∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，

∴E，T关于AC对称，

∴PE＝PT，

∴PE+PF＝PT+PF，

∵PF+PT≥FT＝2，

∴PE+PF≥2，

∴PE+PF的最小值为2．

故选：A．

【点评】本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．

9．（3分）（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（　　）

A．圆柱的底面积为4πm2    

B．圆柱的侧面积为10πm2    

C．圆锥的母线AB长为2.25m    

D．圆锥的侧面积为5πm2

【分析】利用圆的面积公式对A选项进行判断；利用圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高可对B选项进行判断；根据勾股定理可对C选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可对D选项进行判断．

【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，

∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；

∵圆柱的高CD＝2.5m，

∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10πcm2），所以B选项不符合题意；

∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2cm，圆锥的高AC＝1.5m，

∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；

∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．

故选：C．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算．

10．（3分）（2022•广安）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0； ②2c﹣3b＜0； ③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中正确结论的个数有（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【分析】①正确，根据抛物线的位置，判断出a，b，c的符号，可得结论；

②③错误，利用对称轴公式，抛物线经过A（3，0），求出b，c与a的关系，判断即可；

④正确．利用图象法判断即可．

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴是直线x＝1，

∴1＝﹣，

∴b＝﹣2a，

∴b＜0，

∵抛物线交y轴于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，故①正确，

∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过（3，0），

∴9a﹣6a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②错误，

5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③错误，

观察图象可知，y1＜y2＜y3，故④正确，

故选：B．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（2022•广安）比较大小：　＜　3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）

【分析】利用平方法比较大小即可．

【解答】解：∵（）2＝7，32＝9，

7＜9，

∴＜3．

故答案为：＜．

【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．

12．（3分）（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 　10　．

【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．

方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．

【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9

＝（a+b）（a﹣b）+2b+9

又∵a+b＝1，

∴原式＝a﹣b+2b+9

＝a+b+9

＝10．

方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9

＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10

＝a2﹣（b﹣1）2+10

＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．

又∵a+b＝1，

∴原式＝10．

【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

13．（3分）（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 　二　象限．

【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围，得到1＜m+2＜2，进而得到点Q所在的象限．

【解答】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，

∴，

∴﹣1＜m＜0，

∴1＜m+2＜2，

∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，

故答案为：二．

【点评】本题考查了点的坐标，根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围是解题的关键．

14．（3分）（2022•广安）若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 　11或13　．

【分析】先求a，b．再求第三边c即可．

【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，

∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，

∴a＝3，b＝5，

设三角形的第三边为c，

当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，

当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，

故答案为：11或13．

【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．

15．（3分）（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　　米，水面宽8米．

【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．

【解答】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，

由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，

把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，

9a+2＝0，

解得：a＝﹣，

所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，

当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，

∴水面下降米，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．

16．（3分）（2022•广安）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是 　　（结果保留π）．

【分析】根据题意可得AD＝，BB1＝1，CC1＝1＝，DD1＝＝2，可发现规律半径每次增加，根据2022÷4＝505•••2，可判定弧C2022D2022的圆心是点B，即可算出弧C2022D2022的半径为505×＝，根据弧长计算方法进行计算即可得出答案．

【解答】解：根据题意可得，

AD＝，BB1＝1，CC1＝1＝，DD1＝＝2，

∵2022÷4＝505•••2，

∴弧C2022D2022的半径为505×＝，

∴弧C2022D2022的长l＝＝＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了弧长的计算及图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律应用弧长的计算方法进行求解是解决本题的关键．

三、简答题（第17题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

17．（5分）（2022•广安）计算：（﹣1）0+|﹣2|+2cos30°﹣（）﹣1．

【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，继而计算加减即可．

【解答】解：原式＝1+2﹣+2×﹣3

＝1+2﹣+﹣3

＝0．

【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的规定及绝对值的性质．

18．（6分）（2022•广安）先化简：（+x+2）÷，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．

【解答】解：原式＝（+）•

＝•

＝x，

∵x（x﹣2）≠0，

∴x≠0，x≠2，

当x＝1时，原式＝1，

当x＝3时，原式＝3．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

19．（6分）（2022•广安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式，

（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．

【分析】（1）利用待定系数法即可解答；

（2）根据图象即可求得．

【解答】解：（1）把点A（﹣4，3）代入函数y＝（m为常数，m≠0）得：m＝﹣4×3＝﹣12，

∴反比例函数的解析式y＝﹣．

∴OA＝＝5，

∵OA＝OB，

∴OB＝5，

∴点B的坐标为（0，﹣5），

把B（0，﹣5），A（﹣4，3）代入y＝kx+b得，

解得，

∴一次函数的解析式y＝﹣2x﹣5；

（2）当x＜0时，不等式kx+b≤的解集为﹣4≤x＜0．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．

20．（6分）（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．

已知：　①BC＝AD　，　②∠ABC＝∠BAD　．

求证：　③AC＝BD　．

【分析】先组成一个真命题，利用三角形全等的判定求解．

【解答】解：∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．

又∵AB＝BA，

∴△ABC≌△BAD，

∴AC＝BD．

【点评】本题考查真假命题，及全等三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

四、实践应用题（第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）

21．（6分）（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生共有 　40　人，图1中m的值为 　15　．

（2）请补全条形统计图．

（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，

【分析】（1）由0.9h的人数及其所占百分比求出总人数，根据百分比之和为1可得m的值；

（2）总人数乘以1.2h对应的百分比可得答案；

（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【解答】解：（1）本次随机调查的学生共有4÷10%＝40（人），

m%＝1﹣（10%+7.5%+30%+37.5%）＝15%，即m＝15；

故答案为：40，15；

（2）1.2h的人数为40×15%＝6（人），

补全图形如下：

（3）列表如下：

所以抽到两名女生的概率为＝．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．

22．（8分）（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．

（1）求A、B两厂各运送多少吨水；

（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．

【分析】（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，根据A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨列出方程，解方程即可；

（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，然后根据题意列出总费用w关于a的函数解析式，并根据函数的性质求最值，以及此时a的值．

【解答】解：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，

根据题意得：x+2x＝520，

解得：x＝250，

此时x+20＝270，

答：A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨；

（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，

由题意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝2a+16220，

∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，

∴240﹣a≤150，

解得；a≥90，

∵2＞0，

∴w随x的增大而增大，

∴当a＝90时，总费用最低，

最低运费为：2×900+16220＝18020（元），

∴最低运送方案为A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：B厂运往甲地水泥150吨，B厂运往乙地水泥120吨，最低运费为18020元．

【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．

23．（8分）（2022•广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）

参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75

【分析】过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，可知四边形GDHB是矩形，根据题意，在Rt△CDG中，根据DG＝CD•cos37°和CG＝CD•sin37°求出DG和CG的长，再在Rt△ADH中，根据DH＝AH•tan65°求出DH的长，进一步即可求出BC的长．

【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：

则四边形GDHB是矩形，

∴GD＝BH，DH＝GB，

根据题意，CD＝300米，∠CDG＝37°，

∴DG＝CD•cos37°≈300×0.80＝240（米），

CG＝CD•sin37°≈300×0.60＝180（米），

∴HB＝240米，

∵AB＝450米，∠DAH＝65°，

∴AH＝210米，

∴DH＝AH•tan65°≈210×2.14＝449.4（米），

∴BC＝CG+BG＝180+449.4＝629.4≈629（米），

∴菜园与果园之间的距离为629米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形运用三角函数是解题的关键．

24．（8分）（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形），

【分析】利用轴对称图形，中心对称图形的性质，画出图形即可．

【解答】解：图形如图所示：

【点评】本题考查利用作图设计图案，等边三角形的判定和性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

五、推理论证题（9分）

25．（9分）（2022•广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；

（2）证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出＝，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠A+∠ABD＝90°，

∵OB＝OD，

∴∠ABD＝∠ODB，

∵∠BDC＝∠A，

∴∠BDC+∠ODB＝90°，

∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥CD，

∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，

∴，

∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，

∴△BDC∽△DAC，

∴＝，

∵AC＝9，

∴，

∴CD＝6，

∴，

∴BC＝4，

∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝5．

∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

六、拓展探索题（10分）

26．（10分）（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．

（1）求此抛物线的函数解析式．

（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．

【分析】（1）把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；

（2）存在．如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；

（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4），分三种情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分别求解可得结论．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；

（2）存在．

理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．

令y＝0，则x2+x﹣4＝0，

解得x＝﹣4或2，

∴A（﹣4，0），C（2，0），

∵B（0，﹣4），

∴OA＝OB＝4，

∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，

∵﹣1＜0，

∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；

（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；

∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，

∴AN＝NP1＝3，

∴P1（﹣1，3），

当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），

当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AN的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），

∴NJ＝AB＝2，

∴12+（n+2）2＝（2）2，

解得n＝﹣2或﹣﹣2，

∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．下载本文