一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．等差数列{an}中，a2＋a8＝16，a4＝1，则a6的值为(　　)

A．15  B．17

C．22  D．

2．函数f(x)＝x－cos x在x＝处的切线方程为(　　)

A．2x－4y－π＝0  B．2x－πy＝0

C．4x－πy－1＝0  D．4x－2y－π＝0

3．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)

A．12  B．24

C．30  D．32

4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1  B．0

C．2  D．4

5．若正项等比数列{an}满足S3＝13，a2a4＝1，bn＝log3 an，则数列{bn}的前20项和是(　　)

A．－25  B．25

C．－150  D．150

6．记Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝－2an＋1，则S6的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

7．函数f(x)＝(2x－1)ex＋2x＋1的极值点的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

8．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋13ex解集为(　　)

A．(1，＋∞)  B．(－∞，1)

C．(0，＋∞)  D．(－∞，0)

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．f(x)在区间[－2，－1]上是增函数

B．x＝－1是f(x)的极小值点

C．f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数

D．x＝1是f(x)的极大值点

10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且对∀n∈N*，an>0，下列说法正确的是(　　)

A．a1＋a10＝a5＋a6

B．a5·a6C．Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N*)成等差数列

D．数列{}是等差数列

11．已知数列{an}的前n项和为S，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的是(　　)

A．数列{an＋1}是等差数列

B．数列{an＋1}是等比数列

C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1

D．Tn<1

12．已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝1，其导函数f′(x)满足>0，对于函数g(x)＝，下列结论正确的是(　　)

A．函数g(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数

B．x＝1是函数g(x)的极小值点

C．函数g(x)至多有两个零点

D．当x≤0时，不等式f(x)≤ex恒成立

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a1＝2，则S5－S3＝________.

14．已知函数f(x)＝ex－a(x＋1)，若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

15．已知各项均不相等的数列{an}满足2an＋1＝3an－an－1(n∈N*，n>1)则数列{an＋1－an}是公比为________的等比数列，若a2＝，a8＝，则a1＝________(第一空2分，第二空3分)．

16．函数f(x)＝ax2－xln x在上单调递增，则实数a的取值范围是________．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}的公差d＝2，且a1＋a2＝6.

(1)求a1及an；

(2)若等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，求数列{an＋bn}的前n项的和Sn.

18．(本小题满分12分)函数f(x)＝xln x－ax＋1在点A(1，f(1))处的切线斜率为－2.

(1)求实数a的值；

(2)求f(x)的单调区间和极值．

19．(本小题满分12分)在①a5＝b4＋2b6，②a3＋a5＝4(b1＋b4)，③b2S4＝5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

设{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，{bn}是等差数列．已知a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，a4＝b3＋b5，________.

求{an}和{bn}的通项公式．

20．(本小题满分12分)给出以下三个条件：

①数列{an}是首项为2，满足Sn＋1＝4Sn＋2的数列；

②数列{an}是首项为2，满足3Sn＝22n＋1＋λ(λ∈R)的数列；

③数列{an}是首项为2，满足3Sn＝an＋1－2的数列．

请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．

设数列{an}的前n项和为Sn，an与Sn满足________，记数列bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn；(注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．

(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝2处取得极值，求a，b的值；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,3]时，f(x)>2c恒成立，求c的取值范围．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋(a－3)x＋aln x，其中a∈R.

(1)函数f(x)在x＝2处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，求实数a的值；

(2)若函数f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1①求实数a的取值范围；

②求证：f(x1)＋f(x2)＋5>0.

模块质量检测

1．解析：由等差数列的性质可得

2a5＝a2＋a8＝16

∴a5＝8

∴公差d＝a5－a4＝8－1＝7.

∴a6＝a5＋d＝8＋7＝15.

故选A.

答案：A

2．解析：因为f(x)＝x－cos x，所以f′(x)＝1＋sin x，所以f′＝2，f＝，所以函数f(x)＝x－cos x在x＝处的切线方程为y－＝2，即4x－2y－π＝0.

故选D.

答案：D

3．解析：设等比数列{an}的公比为q，

故a2＋a3＋a4＝q(a1＋a2＋a3)，

又a2＋a3＋a4＝2，a1＋a2＋a3＝1，

∴q＝2，

∴a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32，故选D.

答案：D

4．解析：将点(3,1)代入直线y＝kx＋2的方程得3k＋2＝1，得k＝－，所以f′(3)＝k＝－，

由于点(3,1)在函数y＝f(x)的图象上，则f(3)＝1，

对函数g(x)＝xf(x)求导得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0，故选B.

答案：B

5．解析：设正项等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由S3＝13，a2a4＝1，得，解得q＝，a1＝9.

∴an＝a1qn－1＝9·n－1＝33－n，bn＝log3an＝log3 33－n＝3－n，

则数列{bn}是以2为首项，以－1为公差的等差数列，

则S20＝20×2＋＝－150.

故选C.

答案：C

6．解析：当n＝1时，S1＝a1＝－2a1＋1⇒a1＝，

当n≥2时，Sn－1＝－2an－1＋1，由Sn＝－2an＋1，

∴an＝－2an＋2an－1⇒＝，

∴数列{an}为等比数列，

∴S6＝＝，

故选A.

答案：A

7．解析：因为f′(x)＝(2x＋1)ex＋2，设g(x)＝f′(x)

g′(x)＝(2x＋3)ex，

所以当x>－时，g′(x)>0，f′(x)递增；

x<－时，g′(x)<0，f′(x)递减，

所以f′(x)的最小值为

f′＝2－2e＝2(1－e)＝2(e0－e)>0，

所以f′(x)>0，故f(x)递增，

所以f(x)无极值点．

故选A.

答案：A

8．解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝>0，故g(x)在R上为增函数．

又g(0)＝＝3，故f(x)＋1>3ex即>3，

即g(x)>g(0)．解得x>0.

故选C.

答案：C

9．解析：在(－2，－1)上f′(x)<0，f(x)递减，A错；f′(－1)＝0，且当－20，所以x＝－1是f(x)的极小值点，B正确；在[－1,2]上f′(x)>0，f(x)递增，在[2,4]上f′(x)<0，f(x)递减，C正确；f(x)在区间[－1,2]上是增函数，x＝1不是f(x)的极大值点，D错．

故选BC.

答案：BC

10．解析：因为{an}是等差数列，设其公差为d，所以a1＋a10＝a5＋a6，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N*)成等差数列，数列是等差数列，故选项ACD正确．由∀n∈N*，an>0，得d≥0，而a5·a6＝a＋9a1d＋20d2，a1·a10＝a＋9a1d≤a5·a6，所以B选项不正确，故选ACD.

答案：ACD

11．解析：由Sn＋1＝Sn＋2an＋1即为

an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，

可化为an＋1＋1＝2(an＋1)，由S1＝a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，

则an＋1＝2n，即an＝2n－1，

又＝＝－，可得

Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1，

故A错误，B，C，D正确．

故选BCD.

答案：BCD

12．解析：g(x)＝，则g′(x)＝.当x>1时，由>0，可得f′(x)－f(x)>0，则g′(x)>0，故y＝g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故A正确；当x<1时，由>0，可得f′(x)－f(x)<0，则g′(x)<0，故y＝g(x)在(－∞，1)上单调递减，故x＝1是函数y＝g(x)的极小值点，故B正确；若g(1)<0，则函数y＝g(x)有2个零点，若g(1)＝0，则函数y＝g(x)有1个零点，若g(1)>0，则函数y＝g(x)没有零点，故C正确；因为y＝g(x)在(－∞，1)上单调递减，所以y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减，由g(0)＝＝1，得当x≤0时，g(x)≥g(0)，即≥1，故f(x)≥ex，故D错误，故选ABC.

答案：ABC

13．解析：由题意，知a4＝8，a1＝2，所以公差d＝＝＝2，所以a5＝a4＋d＝10，所以S5－S3＝a4＋a5＝8＋10＝18.

答案：18

14．解析：由题知：f′(x)＝ex－a，x∈R.①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，至多有一个零点，不合题意；

②当a>0时，令f′(x)＝0⇒x＝ln a，易知f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln α，＋∞)单调递增，故f(x)的最小值为f(ln a)＝a－a(ln a＋1)＝－aln a.

∵f(x)有两个零点，当x→±∞时，f(x)→＋∞，

∴f(ln a)<0⇒ln a>0，解得a>1

故答案为(1，＋∞)．

答案：(1，＋∞)

15．解析：因为2an＋1＝3an－an－1(n∈N*，n>1)，所以2an＋1－2an＝an－an－1，则数列{an＋1－an}(n∈N*)是公比为的等比数列．令bn＝an＋1－an，则数列{bn}是公比为的等比数列，所以a8－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋b7＝＝b1.因为b1＝a2－a1＝－a1，a8＝，所以－a1＝，解得a1＝1.

答案：　1

16．解析：f′(x)＝2ax－ln x－1，

若函数f(x)＝ax2－xln x在上单调递增，

则f′(x)≥0在上恒成立，

则a≥在上恒成立，

令g(x)＝，x∈，

则g′(x)＝＝－，

可以得出00，当x>1时g′(x)<0，

所以函数g(x)在上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝，所以a≥.

答案：

17．解析：(1)由a1＋a2＝6，得2a1＋d＝6，

又d＝2，

∴a1＝2，

∴an＝2＋2(n－1)＝2n；

(2)由题意b1＝2，b2＝2q＝4，即q＝2，

∴bn＝2n，

于是an＋bn＝2n＋2n，

故Sn＝(2＋4＋…＋2n)＋(2＋22＋…＋2n)＝n2＋n＋2n＋1－2.

18．解析：(1)函数f(x)＝xln x－ax＋1的导数为f′(x)＝ln x＋1－a，

在点A(1，f(1))处的切线斜率为k＝1－a，

∴f′(1)＝－2，即1－a＝－2，∴a＝3；

(2)由(1)得，f′(x)＝ln x－2，x∈(0，＋∞)，

令f′(x)>0，得x>e2，令f′(x)<0，得0即f(x)的增区间为(e2，＋∞)，减区间为(0，e2)．

在x＝e2处取得极小值1－e2，无极大值．

19．解析：方案一：选条件①：设等比数列{an}的公比为q，

∵a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，

∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，∵q>0，

∴q＝2，∴an＝2n－1.

设等差数列{bn}的公差为d，

∵a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6，∴，

解得，∴bn＝n，∴an＝2n－1，bn＝n.

方案二：选条件②：设等比数列{an}的公比为q，

∵a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，

∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，∵q>0，

∴q＝2，∴an＝2n－1.

设等差数列{bn}的公差为d，

∵a4＝b3＋b5，a3＋a5＝4(b1＋b4)，∴，

解得，∴bn＝n，∴an＝2n－1，bn＝n.

方案三：选条件③，设等比数列{an}的公比为q，

∵a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，

∴q2－q－2＝0，

解得q＝2或q＝－1，∵q＞0，

∴q＝2，∴an＝2n－1.

设{bn}公差为d，

∵a4＝b3＋b5，

b2S4＝5a2b3，

∴

解得

∴bn＝1＋(n－1)×1＝n.

∴an＝2n－1，bn＝n.

20．解析：选①，由已知Sn＋1＝4Sn＋2　(ⅰ)，

当n≥2时，Sn＝4Sn－1＋2　(ⅱ)，

(ⅰ)－(ⅱ)得：an＋1＝4(Sn－Sn－1)＝4an，即an＋1＝4an，

当n＝1时，S2＝4S1＋2，由a1＝2，所以

2＋a2＝4×2＋2，

所以a2＝8，满足a2＝4a1，

故{an}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an＝22n－1.

bn＝log2 a1＋log2 a2＋…＋log2 an＝log2(a1a2…an)＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，

cn＝＝＝＝－，

所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－＝.

选②，由已知3Sn＝22n＋1＋λ　(ⅰ)，

当n≥2时，3Sn－1＝22n－1＋λ　(ⅱ)，

(ⅰ)－(ⅱ)得，3an＝22n＋1－22n－1＝3·22n－1，即an＝22n－1，当n＝1时，a1＝2满足an＝22n－1，

故{an}是以2为首项4为公比的等比数列，所以an＝22n－1.

bn＝log2 a1＋log2 a2＋…＋log2 an＝log2(a1a2…an)＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，

cn＝＝＝＝－，

所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－＝；

选③，由已知3Sn＝an＋1－2 (ⅰ)，

则n≥2时，3Sn－1＝an－2 (ⅱ)，

(ⅰ)－(ⅱ)得3an＝an＋1－an，即an＋1＝4an，

当n＝1时，3a1＝a2－2，而a1＝2，得a2＝8，满足a2＝4a1，

故{an}是以2为首项4为公比的等比数列，所以an＝22n－1.

bn＝log2 a1＋log2 a2＋…＋log2 an＝log2(a1a2…an)＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，

cn＝＝＝＝－，

所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－＝.

21．解析：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

∴f′(x)＝x2＋2ax＋b.

又函数f(x)在x＝－1和x＝2处取得极值，

∴x＝－1和x＝2是方程x2＋2ax＋b＝0的两根，

∴，解得.

经检验得a＝－，b＝－2符合题意，

∴a＝－，b＝－2.

(2)由(1)得f′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，

∴当－20，f(x)单调递增；

当－1又f(－2)＝c－，f(2)＝c－，

∴f(x)min＝f(2)＝c－.

∵当x∈[－2,3]时，f(x)>2c恒成立，

∴c－>2c，解得c<－，

∴实数c的取值范围为.

22．解析：(1)依题意，f(x)＝＋(a－3)x＋aln x，x>0，故f′(x)＝x＋(a－3)＋，所以f′(2)＝－1，

据题意可知(－1)·(－)＝－1，解得a＝2，所以实数a的值为2.

(2)①因为函数f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1x2，

x2＋(a－3)x＋a>0，f′(x)>0，函数f(x)在(0，x1)和(x1，＋∞)上单调递增；

若x1故函数f(x)在(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2，且x1②由①可知，x1，x2(0所以其中0故f(x1)＋f(x2)＝＋(a－3)x1＋aln x1＋＋(a－3)x2＋aln x2

＝－x1x2＋(a－3)(x1＋x2)＋aln x1x2

＝－a＋(a－3)(3－a)＋aln a＝aln a－＋2a－，

令g(a)＝aln a－＋2a－，其中0令h(a)＝g′(a)＝ln a－a＋3，h′(a)＝－1>0，h(a)在(0,1)上单调递增．

由于h(e－3)＝－2e－3<0，h(1)＝2>0，所以存在常数t∈(e－3,1)，使得h(t)＝0，

即ln t－t＋3＝0，ln t＝t－3.且当a∈(0，t)时，h(a)＝g′(a)<0，g(a)在(0，t)上单调递减；当a∈(t,1)时，h(a)＝g′(a)>0，g(a)在(t,1)上单调递增，所以当0g(a)≥g(t)＝tln t－＋2t－＝t(t－3)－＋2t－＝－t－

又t∈(e－3,1)，－t－＝(t－1)2－5>－5，

所以g(a)>－5，即g(a)＋5>0.

故f(x1)＋f(x2)＋5>0得证．下载本文