一、定义：
设是阶矩阵，若，则称矩阵为正交矩阵。
由定义容易验证：(1) 正交矩阵的每一行(列)元素的平方和等于1；
(2) 不同行(列)对应元素的乘积等于0。
二、性质：
1、若是正交矩阵，则。
2、设是阶正交矩阵，证明：(1) 如果，则的每一元素等于它自己的代数余子式；(2) 如果，则的每一元素等于它自己的代数余子式的负值。
证明：由定义知：，而 ，所以。
又，所以。
从上式得需要的结果。
3、设是阶实矩阵，证明：(1) 如果，且的每一元素等于它自己的代数余子式，则是正交矩阵；(2) 如果，且的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则是正交矩阵。
证明：(1) 因为，所以是正交矩阵。
类似可以证明(2)。
4、设是阶实矩阵，，且。证明：(1) 如果的每一元素等于它自己的代数余子式，则是正交矩阵；(2) 如果的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则是正交矩阵。
证明：由的每一元素等于它自己的代数余子式，得：。
两边取行列式得：，所以 (*)。
因为，所以至少有一个元素不等于零。不妨设，则
而，则从(*)式得。从性质3结果知是正交矩阵。
类似可以证明(2)。
5、设是一个阶正交矩阵，证明：（1）如果有特征值，则的特征值只能是1或；（2）如果，则是的一个特征值；（3）如果，且是奇数，则1是的一个特征值。
证明：(1) 设是矩阵的一个特征值，是对应的特征向量，则。
从而 (*)
由于是正交矩阵，所以。
从而由(*)式得：。
因为，所以。
因此，即。
(2)
所以，即是的一个特征值。
(3)
由此得。
6、已知正交矩阵有二个不同特征值，证明的属于不同特征值的特征向量一定正交。
证明：由性质5知：。
因为正交矩阵有二个不同特征值，所以这二个不同的特征值分别为1和。
设这二个特征值对应的特征向量分别为，则。
由此得：
从而，即正交。下载本文
