1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax 2＋bx过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

① 过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？

② 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

2．如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

类型二、相似三角形

3．（矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线＝－x与BC边相交于D点．

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线y＝ax 2－x经过点A，试确定此抛物线的表达式；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

4．如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．

类型三、面积，周长分割问题

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP＝x．

（1）在△ABC中，AB＝_________；

（2）当x＝_________时，矩形PMCN的周长是14；

（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．

6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）

②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

类型四、旋转相关问题

7．如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．

（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK_______MK（填“＞”，“＜”或“＝”）．

②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK_______MK（只填“＞”或“＜”）．

（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK_______MK，证明你所得到的结论．

（3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF的度数和的值．

8．如图1，若四边形ABCD和GFED都是正方形，显然图中有AG＝CE，AG⊥CE．

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG＝CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．

①求证：AG⊥CH；

②当AD＝4，DG＝时，求CH的长．

1．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（－3，0）、（0，4），抛物线y＝x 2＋bx＋c经过B点，且顶点在直线x＝上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

2．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋1与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．已知抛物线y＝－x 2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)，其中m、n是方程x 2－6x＋5＝0的两个实数根，且m＜n．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

4．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．

（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为__________________；

（3）在（2）的条件下，延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠ACP的值．

类型五、反比例函数与特殊四边形结合

1．如图1，已知双曲线y＝（＞0）与直线y＝k′ x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：

（1）若点A的坐标为（4，2）则点B的坐标为_____________；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为_____________；

（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y＝（＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．

①说明四边形APBQ一定是平行四边形；

②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

2．我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y＝的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（－m，0）、C（m，0）（m是常数，且m＞0）．

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是_____________；

（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p、α和m的值；

②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）

（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点坐标；若不能，说明理由．

类型六、反比例函数与相似三角形结合

3．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（m，－2）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数的解析式；

（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

4．如图，是反比例函数y＝－和y＝－在第二象限中的图像，点A在y＝－的图像上，点A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交y＝－的图像于点C，AB、CD均平行于x轴，分别交y＝－、y＝－的图像于点B、D．

（1）用m表示A、B、C、D的坐标；

（2）求证：梯形ABCD的面积是定值；

（3）若△ABC与△ACD相似，求m的值．

类型七、反比例函数与翻折结合

5．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝（x＞0）的图象经过点B．

（1）求k的值；

（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y＝（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．

6．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．

（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）如图2，P点坐标为（2，－3），在反比例函数y＝的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

综合

1．如图，已知直线y＝－2x＋b与双曲线y＝（k＞0且k≠2）相交于第一象限内的两点P（1，k）、Q（，y2）．

（1）求点Q的坐标（用含k的代数式表示）；

（2）过P、Q分别作坐标轴的垂线，垂足为A、C，两垂线相交于点B．是否存在这样的k值，使得△OPQ的面积等于△BPQ面积的二倍？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．（P、Q两点请自己在图中标明）

2．在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD、DC、CB与AB．

（1）求m的值；

（2）求证：DC∥AB；

（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式

3．如图，一次函数y＝kx－7的图象与反比例函数y＝－的图象交于A（m，2）、B两点．

（1）求一次函数的解析式和点B的坐标；

（2）等腰梯形CDEF的顶点C、D在反比例函数的图象上，顶点E、F在一次函数的图象上，DE∥CF∥y轴，且C、D的横坐标分别为a、a－2，求a的值．

4．如图，直线y＝x＋b分别与x轴、y轴相交于A、B，与双曲线y＝（其中x＞0）相交于第一象限内的点P（2，y1），作PC⊥x轴于C，已知△APC的面积为9．

（1）求双曲线所对应的函数关系式；

（2）在（1）中所求的双曲线上是否存在点Q（m，n）（其中m＞0），作QH⊥x轴于H，当QH ＞CH时，使得△QCH与△AOB相似？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．下载本文