数学(理科)              2018

一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.

1.复数等于(    ).

 A.       B.      C.       D. 

2.已知集合,则(    ).

A.       B.      C.       D. 

3.已知两个单位向量的夹角为,且满足,则实数的值为(    ).

A.1         B.        C.        D.2

4.已知,则“”是“”的(    ).

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件        C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

5.已知满足约束条件,则的最大值为(    ).

A.        B.       C.1        D.2

6.下列函数中,可以是奇函数的为(    ).

A.           B.   

C.        D. 

7.已知异面直线均与平面相交,下列命题:

(1)存在直线,使得或.

(2)存在直线,使得且.

(3)存在直线,使得与和所成的角相等.

其中不正确的命题个数为(    ).

A.0        B.1        C.2        D.3

8.有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为(    ).

A.45          B.55           C.          D. 

二.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.

(一)必做题(9～13题)

9.如果,那么____________.

10.不等式恒成立,则的取值范围为____________.

11.已知点到直线的距离相等,则的值为____________.

12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为______________.

13.如图1,为了测量河对岸两点之间的距离,观察者找到一个点,从点可以观察到点,找到一个点,从点可以观察到点,找到一个点,从点可以观察到点,并测量得到一些数据: 

,则两点之间的距离为____________.(其中取近似值).

(二)必做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14.(几何证明选讲)如图2,是圆外一点,是圆的两条切线,切点分别为中点为,过作圆的一条割线交圆于两点,若,则_________.

15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与曲线的一个交点在极轴上,则__________.

三.解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为.

(1)求.

(2)在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数在区间上的图象,并根据图象写出其在上的单调递减区间.

17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数()(单位:)资料如下:

(1)请填好2014年11月份数据的平率分布表并完成频率分布直方图.

(2)该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?

18.(本小题满分14分)如图6,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.

(1)求证:为直角三角形.

(2)试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.

19.(本小题满分14分)数列的前项和为,已知.

(1)求.

(2)求数列的通项.

(3)设,数列的前项和为,证明: .

20.(本小题满分14分)已知曲线.

(1)若曲线为双曲线,求实数的取值范围.

(2)已知和曲线.若是曲线上任意一点,线段的垂直平分线为,试判断与曲线的位置关系,并证明你的结论.

21.(本小题满分14分)已知函数.

(1)若,证明:函数是上的减函数.

(2)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值.

(3)若,证明: (其中是自然常数).下载本文