一．选择题（共7小题）
1．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为（ ）
A．12 B．12 C．9 D．9
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝m，那么边AC的长为（ ）
A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα
5．在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为a，若cosa＝，则这条射线是（ ）
A．OA B．OB C．OC D．OD
6．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AB＝c，∠A＝α，则CD长为（ ）
A．c•sin2α B．c•cos2α
C．c•sinα•tanα D．c•sinα•cosα
7．如图，在△ABC中，sinB＝，cosC＝，AC＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．13 B．14 C．21 D．10.5
二．填空题（共7小题）
8．如图，点P是∠α的边OA上的一点，点P的坐标为（12，5），则tanα＝________．
9．已知：在△ABC中，AC＝a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC＝），则AC边上的中线长是________．
10．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠CAD的余弦值为________．
11．如图，在四边形ABCD中，tan∠ABC＝，BD为对角线，∠ABD+∠BDC＝90°，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，若AE＝DE，EC＝DC＝5，则△ABC的面积为________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝________cm．
13．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝________．
14．如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是________．
三．解答题（共14小题）
15．在△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，c＝10，解这个直角三角形．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，求sinB及△ABC的面积．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝0.6，求cosA、tanB的值．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α．
（1）试写出α的正弦、余弦、正切这三个函数值；
（2）若∠B与∠ADC互余，求BD及AB的长．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A．∠B．∠C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形：
（1）∠A＝60°，c＝12
（2）a＝8，c＝8．
20．在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，根据下列条件，解直角三角形
（1）a＝35，c＝35；
（2）∠A＝60°，b＝4；
（3）∠B＝60°，a+b＝6．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝8，解直角△ABC．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝6，求∠ACD的各个三角函数值．
23．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的各个顶点都在正方形的顶点上，计算sinA，cosA，tanA与sinB，cosB，tanB的值．
24．在△ABC中，如图所示，∠B＝90°，AC＝5，BC＝5，解这个直角三角形．
25．等腰△ABC中，AB＝AC，如果一条腰长为5，一条中线为3，求底角的正弦值．
26．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，解这个直角三角形．
27．在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，已知a＝2，b＝6，∠A＝30°，求∠ACB、∠ABC、和c．
28．如图，在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AO＝4cm，AB＝6cm，求sin∠CAB和sin∠CBD的值．
参
1．解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．
2．解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×AC＝AC＝＝3，
∴AD＝＝＝3，
在Rt△ADB中，BD＝＝＝9，
∴BC＝CD+BD＝3+9＝12，
故B、C、D错误，
故选：A．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，
则sinA＝＝，即＝，
解得，BC＝2，
故选：A．
4．解：∠C＝90°，∠B＝α，AB＝m，
则sinα＝，
∴AC＝AB•sinα＝m•sinα．
故选：A．
5．解：∵点A的坐标为（3，4），
∴OA＝5，
∴cosa＝，
则这条射线是OA．
故选：A．
6．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，∠A＝α，
sinα＝，BC＝c•sinα，
∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A＝α，
在Rt△DCB中，∠CDB＝90°，
cos∠DCB＝，
CD＝BC•cosα＝c•sinα•cosα，
故选：D．
7．解：作AD⊥BC，
∵cosC＝，AC＝5，
∴CD＝4，
∴AD＝＝3，
∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
∴BD＝AD＝3，
∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5．
故选：D．
8．解：作PB⊥x轴于点B，
则PB＝5，OB＝12，
在Rt△POB中，tanα＝＝，
故答案为：．
9．解：AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为，
∴cosC＝，
∴∠C＝45°，
又∵AB与BC所在直线成45°角，
∴∠B＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．
∴AC＝BC＝a，
∴AB＝，
根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，
∴AC＝．
10．解：如图作AH⊥BC于H，设AC═CD＝5k，BC＝7k，
∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，
∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，
在Rt△ACH中，
∵AH2+HC2＝AC2，
∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，
解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），
当x＝3k时，
∴BH＝AH＝3k，DH＝k，
∴AD＝k，
∴cos∠CAD＝cos∠ADH＝＝＝．
故答案为．
11．解：如图，延长CE交AB于点H，延长DC、AE相交于点K，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∵∠ABD+∠BDC＝90°，
设∠ABD＝α，则∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣α，
∵EC＝DC，
∴∠CED＝∠CDE＝90°﹣α，
∵∠AEH+∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠AEH＝α，
∴∠BHE＝90°，
∵∠K+∠KDE＝90°，∠CDE+∠CEK＝90°，
∴∠K+∠CEK＝α，
∴sinK＝sin∠ABD，即，
∴，
解得，
∵，
∴设CH＝7a，BH＝6a，
∴HE＝HC﹣CE＝7a﹣5，AH＝AB﹣BH＝，
∵∠AEH＝∠EBH＝tan∠ABE，
∴tan∠AEH＝tan∠ABE，
即EH2＝AH•BH，
解得a＝1（舍去），
∴CH＝7a＝7，
∴．
故答案为：．
12．解：∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝，
∴cos∠A＝＝，
∵AC＝8cm，
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
13．解：如图，过D作DE⊥AC于点E．
则DE∥BC．
∵CD是AB边上的中线，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝×8＝4．
在直角△DEC中，EC＝＝＝3，
∴tan∠ACD＝＝，
故答案是：．
14．解：过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥CD于E，如图所示：
则∠ADE＝∠ODC＝∠DEB＝∠CEB＝90°＝∠OAB，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，DE＝AB＝3，
∴BE＝＝＝4，
∵∠BCE+∠OCD＝∠AOC+∠OCD＝90°，
∴∠BCE＝∠AOC，
∴cos∠BCE＝＝cos∠AOC＝，
∴CE＝BC＝×5＝3，
∴CD＝CE+DE＝3+3＝6，
∵∠AOC＝∠BCE，∠ODC＝∠BEC＝90°，
∴△OCD∽△CBE，
∴＝，
即＝，
解得：OD＝，
∴点C的坐标为（，6），
故答案为：（，6）．
15．
解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵3a＝b
∴
根据勾股定理知：c2＝a2+b2得
102＝
解得b＝5
∴a＝5
∴∠A＝30°
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°
16．解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3
∴由sinA＝得
根据勾股定理，AC2＝AB2﹣BC2
解得AC＝
∴
∴△ABC的面积为：
17．解：AB＝＝＝10，
∵∠C＝90°，
∴AC＝＝＝8，
cosA＝＝＝0.8，
tanB＝＝＝．
18．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α，
∴＝，
∴，，；
（2）∵∠B与∠ADC互余，AC＝6，∠ADC＝α，cosα＝，
∴，
解得AB＝，
∴＝12，
∴BD＝BC﹣CD＝12﹣3＝9，
即BD＝9，AB＝6．
19．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴b＝c＝6，
∵tanA＝，
∴a＝6•tan60°＝6；（2）sinA＝＝，
∴∠A＝45°，∠B＝90°﹣∠A＝45°，
b＝a＝8．
20．解：（1）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，a＝35，c＝35，
∴b＝，sinA＝，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
即∠A＝45°，∠B＝45°，b＝35；
（2）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＝60°，b＝4，tanA＝，
∴，∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴a＝4，
∴c＝，
即∠B＝30°，a＝4，c＝8；
（3）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠B＝60°，a+b＝6，tanB＝，
∴∠A＝30°，，
解得，a＝3﹣3，b＝9﹣3，
∴c＝2a＝6，
即∠A＝30°，a＝3﹣3，b＝9﹣3，c＝6．
21．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝45°，DC＝8，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝8，
∵sinA＝，sinA＝，BC＝8，
∴AB＝20，∠A≈24°，
∴AC＝＝4，∠B≈66°，
即在△ABC中，∠A≈24°，∠B≈66°，AB＝20，BC＝8，CA＝．
22．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝6，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B
∵∠CDB＝90°，CD＝3，BD＝6，
∴＝，
∴，，，
∴，，
即∠ACD的各个三角函数值分别是：，．
23．解：∵在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，
∴AC＝，BC＝，AB＝，
∴＝4×3﹣，
解得，CD＝1，
∴AD＝＝2，BD＝＝3，
∴sinA＝＝＝，cosA＝＝，tanA＝，
sinB＝，cosB＝，tanB＝，
即sinA＝，，，．
24．解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝5，
∴AB＝＝．
∵sinA＝，BC＝5，AC＝5，
∴sinA＝．
∴∠A＝45°．
∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°．
即：AB＝5，∠A＝45°，∠C＝45°．
25．解：根据题题可知，分两种情况：
第一种情况：当这条中线为底边中线时，如图1所示，
∵等腰△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC＝5，AD＝3，
∴sinC＝．
即底角的正弦值是；
方法一：第二种情况：当这条中线为腰上的中线时，如图2所示，
BD是△ABC的中线，
作AE⊥BA于点E，作DF⊥BC于点F，
∵AB＝AC＝5，
∴AE是△ABC的中线，
∵BD＝3，OE⊥BC，DF⊥BC，
∴△BOE∽△BOD，
∴＝，
设BC＝2x，则BE＝x，EF＝x，
∵AB＝5，AE⊥BC，BE＝x，
∴AE＝＝，
∴OE＝AE＝，
∵BO＝BD＝2，
∴OE＝＝，
∴＝，
解得x＝，
∴DF＝＝×＝
∴sinC＝＝＝；
方法二：等腰△ABC中，AB＝AC，腰长为5，腰上的中线为3，
cos∠BAC＝，
cos∠BAC＝．
解得BC＝．
∴底边上的高为：＝．
∴底角的正弦值＝．
即底角的正弦值是．
26．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，
∴∠A＝30°．
∴c＝2a．
∴a＝4，c＝8．
∴b＝．
即：a＝4，b＝，c＝8，∠A＝30°．
27．解：∵在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，已知a＝2，b＝6，∠A＝30°，
∴，tan30°＝＝tanA，
∴此三角形为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°．
∴c＝＝．
即∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，c＝4．
28．解：∵在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AO＝4cm，AB＝6cm，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°，AC＝BD＝2AO＝8cm，AB＝CD＝6cm．
∴．
∴sin∠CAB＝，sin∠CBD＝．下载本文
