一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)求卫星B的运行周期．
(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】(1)
3
2
()
2
B
R
h
T
gR
p
+
= (2)2
3
()
t
gR
R h
ω
=
-
+
【解析】
【详解】
（1）由万有引力定律和向心力公式得
()
()
2
22
4
B
Mm
G m R h
T
R h
π
=+
+
①，
2
Mm
G mg
R
=②
联立①②解得：
()3
2
2
B
R h
T
R g
π
+
=③
（2）由题意得()02
B
t
ωωπ
-=④，由③得
()
2
3
B
gR
R h
ω=
+
⑤
代入④得
()
2
3
t
R g
R h
ω
=
-
+
2．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v ；
（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T ． 【答案】(1)02tan v t α；(2)03tan 2v GRt απ；
；
(4)2【解析】 【分析】 【详解】
(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：
2
00
12tan α2gt y gt x v t v ===
解得该星球表面的重力加速度：
02tan α
v g t
=
(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：
2
GMm
mg R
= 则该星球的质量：
G
gR M 2
= 该星球的密度：
33tan α34423
v M g
GR GRt R ρπππ=
=
=
(3)根据万有引力提供向心力得：
22Mm v G m R R
= 该星球的第一宙速度为：
v =
==
(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:
2R
T v
π=
所以：
22T π==点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体
3．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）同步卫星距离地面的高度h。
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】
（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G
解得地球质量为：M=；
（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得：；
【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．
4．如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自 ，地球质量为M ，B离地心距离为r ，万有引力常量为G，O为地球中
转角速度为0
心，不考虑A和B之间的相互作用．（图中R、h不是已知条件）
T
（1）求卫星A的运行周期
A
T
（2）求B做圆周运动的周期
B
（3）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】（1）0
2A T π
ω=（2
）2B T =3
）t ∆=
【解析】 【分析】 【详解】
（1）A 的周期与地球自转周期相同 0
2A T π
ω=
（2）设B 的质量为m ， 对B 由牛顿定律:
2
2
2()B
GMm m r r T π= 解得：
2B T = （3）A 、B 再次相距最近时B 比A 多转了一圈，则有：0()2B t ωωπ-∆=
解得：
t ∆=
点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2π的整数倍．
5．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX ﹣3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T ．
（1）可见星A 所受暗星B 的引力FA 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体（视为质点）对它的引力，设A 和B 的质量分别为m1、m2，试求m ′（用m1、m2表示）； （2）求暗星B 的质量m2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms 的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A 的速率v ＝2.7×105 m/s ，运行周期T ＝4.7π×104s ，质量m1＝6ms ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G ＝6.67×10
﹣11
N •m 2/kg2，ms ＝2.0×103 kg ）
【答案】（1）()32
2
12'm m m m =+()
332
2
122m v T G
m m π=+(3)有可能是黑洞 【解析】
试题分析：（1）设A 、B 圆轨道的半径分别为12r r 、，由题意知，A 、B 的角速度相等，为
0ω，
有：2101A F m r ω=，2
202B F m r ω=，又A B F F =
设A 、B 之间的距离为r ，又12r r r =+ 由以上各式得，12
12
m m r r m +=
① 由万有引力定律得12
2
A m m F G
r = 将①代入得()312
2
121A m m F G m m r =+
令121'
A m m F G r =，比较可得()
32212'm m m m =+② （2）由牛顿第二定律有：2
11
211
'm m v G m r r =③ 又可见星的轨道半径12vT r π
=④ 由②③④得
()
3
32
2
122m v T G
m m π=+ （3）将16s m m =代入
()
332
2
122m v T G m m π=+得()3322226s m v T
G
m m π=+⑤ 代入数据得
()
3
2
2
2 3.56s s m m m m =+⑥
设2s m nm =，（n ＞0）将其代入⑥式得，()
32
2
2
12 3.561s s
m n m m m m n =
=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⑦
可见，
()
32
2
26s m m m +的值随n 的增大而增大，令n=2时得
2
0.125 3.561s s s
n m m m n =<⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⑧
要使⑦式成立，则n 必须大于2，即暗星B 的质量2m 必须大于12m ，由此得出结论，暗星B 有可能是黑洞．
考点：考查了万有引力定律的应用
【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算
6．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课．若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，地球半径为R ，地球表面重力加速度g ，求： （1）地球的第一宇宙速度v ； （2）飞船离地面的高度h ． 【答案】（1
）v =（2
）h R =
【解析】 【详解】
（1）根据2
v mg m R
=得地球的第一宇宙速度为：
v =
（2）根据万有引力提供向心力有：
()2
2
24()Mm G m R h R h T
π=++， 又2
GM gR =，
解得：h R =
．
7．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。卫星的质量为m ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度大小为g ，不计地球自转的影响。求：
（1）卫星进入轨道后的加速度大小g r ；
（2）卫星的动能E k 。
【答案】（1）22gR r （2）22mgR r 【解析】
【详解】
(1)设地球的质量为M ，对在地球表面质量为m '的物体，有：2Mm G m g R
'
'= 对卫星，有：r 2
Mm G mg r = 解得：2
r 2g gR r
= (2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：2
2Mm v G m r r
= 卫星的动能为：2k 12
E mv = 解得：2
k 2mgR E r
=
8．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017年6月，“神舟十号”与“太空一号”成功对接．现已知“太空一号”飞行器在轨运行周期为To ，运行速度为0v ，地球半径为R ，引力常量为.G 假设“天宫一号”环绕地球做匀速圖周运动，求：
()1“天宫号”的轨道高度h ．
()2地球的质量M ．
【答案】(1)00 2v T h R π=- (2)300 2v T M G
π= 【解析】
【详解】
(1)设“天宫一号”的轨道半径为r ，则有：
002r v T π=“天宫一号”的轨道高度为：h r R =- 即为：002v T h R π
=- (2)对“天宫一号”有：2
220
4Mm G m r r T π= 所以有：3002v T M G
π= 【点睛】 万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．
9．我国预计于2022年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g 。求：
(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；
(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。
【答案】(1)
(2) 【解析】
【详解】
(1)卫星在地球表面时，可知：
空间站做匀速圆周运动时：
其中
联立解得线速度为：
(2)设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T 1和T 2，
则由开普勒第三定律有：
其中：
， 解得：
【点睛】
本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。
10．根据我国航天规划，未来某个时候将会在月球上建立基地，若从该基地发射一颗绕月卫星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h ，绕月球做圆周运动的周期为T ，月球半径为R ，引力常量为G ．求：
（1）月球的密度ρ；
（2）在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v ．
【答案】（1）3
23
3()R h GT R π+（2 【解析】
【详解】 (1)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G 2()Mm R h =+m 224T
π（R +h ）， 解得月球的质量为：23
24()R h M GT
π+=； 则月球的密度为：
3
233()M R h V GT R
πρ+==； （2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G 2Mm R =m 2
v R
，
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