∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，

∵∠PAD=∠PDA=15°，

∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，

在正方形内做△DGC与△ADP全等，

∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，

∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），

∴DP=DG=PG，

∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，

∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，

在△DGC和△PGC中

，

∴△DGC≌△PGC，

∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，

同理PB=AB=DC=PC，

∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△PBC是正三角形．

∵N是CD的中点，且NG∥AD，

∴NG=AD，G是AC的中点，

又∴M是AB的中点，

∴MG∥BC，且MG=BC．

∵AD=BC，

∴NG=GM，

△GNM为等腰三角形，

∴∠GNM=∠GMN，

∵GM∥BF，

∴∠GMF=∠F，

∵GN∥AD，

∴∠GNM=∠DEN，

∴∠DEN=∠F．

∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点，

∴PQ为梯形EFSR的中位线，

∴PQ=（ER+FS），

∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，

∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），

同理Rt△BFS≌Rt△CBT，

∴ER=AT，FS=BT，

∴ER+FS=AT+BT=AB，

∴PQ=AB．

得出AEBP共圆，即可得出答案．

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP共圆（一边所对两角相等）．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB．

∴△APB≌△CEB，

∴BE=PB=2a，

∴PE==2a，

在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，

∴△PEC是直角三角形，

∴∠PEC=90°，

∴∠BEC=45°+90°=135°，

过点C作CF⊥BE于点F，

则△CEF是等腰直角三角形，

∴CF=EF=CE=a，

在Rt△BFC中，BC===a，

即正方形的边长为a．

解之得：

经检验得：是原方程解．

∴小口径水管速度为立方米/分，大口径水管速度为立方米/分．

（2）因为P（﹣1，﹣2）为双曲线Y=上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x，

同样可得，反比例函数解析式为；

（2）当点Q在直线OM上运动时，

设点Q的坐标为Q（m，m），

于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2，

而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1，

所以有，m2=1，解得m=±2，

所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，

而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，

所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），

由勾股定理可得OQ2=n2+=（n﹣）2+4，

所以当（n﹣）2=0即n﹣=0时，OQ2有最小值4，

又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，

所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，

所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）

（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD﹣GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．

又∵PB=PE，

∴BF=FE，

∴GP=FE，

∴△EFP≌△PGD（SAS）．

∴PE=PD．

②∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．

∴∠DPE=90度．

∴PE⊥PD．

（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形，

四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，

∵AP=x，∴PM=x，

∴BF=PM=，PF=1﹣．

∴S△PBE=BE×PF=BF•PF=x×（1﹣x）=﹣x2+x．

即y=﹣x2+x．（0＜x＜）．

②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+

∵a=﹣＜0，

∴当x=时，y最大值=．

（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，故可直接写出范围．

（3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE．

∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）

∵x＞0，

∴反比例函数的图象只在第一象限，

又∵B（a，3）在y=的图象上，

∴a=2，

∴B（2，3）

∵直线y=k1x+b过A（1，6），B（2，3）两点

∴

∴

故k1的值为﹣3，k2的值为6；

（2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0，

即直线的函数值大于反比例函数值，

由图象可知，此时1＜x＜2，

则x的取值范围为1＜x＜2；

（3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE．

设点P的坐标为（m，n），过B作BF⊥x轴，

∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），

∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2

∴S梯形OBCD=，即12=

∴m=4，又mn=6

∴n=，即PE=CE

∴PC=PE．

（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；

（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．

把x=4代入y=x中

得y=2，

∴A（4，2），

∵点A是直线y=x与双曲线（k＞0）的交点，

∴k=4×2=8；

（2）解法一：如图，

∵点C在双曲线上，

当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．

∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．

∴S△AOC=S矩形ONDM﹣S△ONC﹣S△CDA﹣S△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15；

解法二：如图，

过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点C在双曲线上，

当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．

∵点C、A都在双曲线上，

∴S△COE=S△AOF=4，

∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF．

∴S△COA=S梯形CEFA．

∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15，

∴S△COA=15；

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四边形APBQ是平行四边形，

∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6，

设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），

得P（m，），

过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点P、A在双曲线上，

∴S△POE=S△AOF=4，

若0＜m＜4，如图，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）•（4﹣m）=6．

∴m1=2，m2=﹣8（舍去），

∴P（2，4）；

若m＞4，如图，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）•（m﹣4）=6，

解得m1=8，m2=﹣2（舍去），

∴P（8，1）．

∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．