一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面．已知引力常量为G ，月球的半径为R ． （1）求月球表面的自由落体加速度大小g 月；

（2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M 和月球的“第一宇宙速度”大小v ．

【答案】（1）22h g t =月 （2）2

2

2hR M Gt

=；2hR

v t

= 【解析】 【分析】

（1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；

（2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M ； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】

（1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h ＝1

2

g 月t 2 月球表面的自由落体加速度大小 g 月＝2

2h t （2）若不考虑月球自转的影响 G 2

Mm

R ＝mg 月 月球的质量 2

2

2hR M Gt

＝ 质量为m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动m ′g 月＝m ′2

v R

月球的“第一宇宙速度”大小 2hR

v g R t

月＝＝ 【点睛】

结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v ．

2．在不久的将来，我国科学家乘坐“嫦娥N 号”飞上月球(可认为是均匀球体)，为了研究月球，科学家在月球的“赤道”上以大小为v 0的初速度竖直上抛一物体，经过时间t 1，物体回到抛出点；在月球的“两极”处仍以大小为v 0的初速度竖直上抛同一物体，经过时间t 2，物体回到抛出点。已知月球的半径为R ，求： (1)月球的质量； (2)月球的自转周期。

【答案】(1) (2)

【解析】 【分析】

本题考查考虑天体自转时，天体两极处和赤道处重力加速度间差异与天体自转的关系。 【详解】

(1)科学家在“两极”处竖直上抛物体时，由匀变速直线运动的公式

解得月球“两极”处的重力加速度

同理可得月球“赤道”处的重力加速度

在“两极”没有月球自转的影响下，万有引力等于重力，

解得月球的质量

(2)由于月球自转的影响，在“赤道”上，有

解得：

。

3．对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T ，已知万有引力常量为G ．求： （1）该行星的质量．

（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？

【答案】（1）2324r M GT π=（2）22

400r

g T

π= 【解析】

（1）卫星围绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．则

有：2224Mm G m r r T π=，可得23

2

4r M GT

π= （2）由

21()10

Mm

G

mg r =，则得：222400100GM r g r T π==

4．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求：

(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期．

【答案】（1） R=m M M +L, r=m M m

+L,（2）2π()

3L G M m +

【解析】

（1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+

两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：22

22244mM G mR Mr L T T

ππ==

可得 R

M

r m

＝

，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m =

+,m

r L M m

=+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM M

G m R m L L T T M m ππ==⋅+

则：()()233

42L L T M m G

G m M ππ=

=++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．

5．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q ，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：

（1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v ；

（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T ． 【答案】(1)

02tan v t α；(2)03tan 2v GRt απ；02tana

v R t

；(4)02tan Rt v α

【解析】 【分析】 【详解】

(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：

200

12tan α2gt y gt x v t v ===

解得该星球表面的重力加速度：

02tan α

v g t

=

(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：

2

GMm

mg R

= 则该星球的质量：

G

gR M 2

= 该星球的密度：

33tan α34423

v M g

GR GRt R ρπππ=

=

=

(3)根据万有引力提供向心力得：

22Mm v G m R R

= 该星球的第一宙速度为：

v =

==

(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:

2R

T v

π=

所以：

22T π==点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．

6．宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O 为抛出点。若该星球半径为4000km ，引力常量G =6.67×10﹣11N•m 2•kg ﹣

2

．试求：

(1)该行星表面处的重力加速度的大小g 行； (2)该行星的第一宇宙速度的大小v ；

(3)该行星的质量M 的大小（保留1位有效数字）。 【答案】(1)4m/s 2(2)4km/s(3)1×1024kg 【解析】 【详解】

(1)由平抛运动的分位移公式，有：

x =v 0t y =

1

2

g 行t 2 联立解得：

t =1s g 行=4m/s 2；

(2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提供向心力有：

22mM v G mg m R R

行＝＝ 可得第一宇宙速度为：

34400010m/s 4.0km/s v g R =⨯⨯=行＝

(3)据

2

mM

G

mg R 行＝ 可得：

232

2411

4400010kg 110kg 6(.)6710

g R M G -⨯⨯==≈⨯⨯行

7．“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n 圈所用时间为t ，到达A 点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B 点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n 圈所用时间为．不考虑其它星体对飞船的影响，求：

（1）月球的平均密度是多少？

（2）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？

【答案】（1）2

2

192n Gt

π；（2）1237mt t m n （，）==⋯ 【解析】

试题分析：（1）在圆轨道Ⅲ上的周期：38t

T n

=

，由万有引力提供向心力有：2

22Mm G m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭

又：3

43

M R ρπ=，联立得：22233192n GT Gt ππρ==． （2）设飞船在轨道I 上的角速度为1ω、在轨道III 上的角速度为3ω，有：11

2T π

ω= 所以33

2T π

ω=

设飞飞船再经过t 时间相距最近，有：312t t m ωωπ''=﹣

所以有：1237mt

t m n

（，）=

=⋯． 考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系

【名师点睛】本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用．同时根据万有引力提供向心力列式计算．

8．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球自转周期为T ，引力常量为G ，求： （1）地球的质量M ；

（2）同步卫星距离地面的高度h 。

【答案】(1) (2)

【解析】 【详解】

（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G

解得地球质量为：M=；

（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：

解得：；

【点睛】

本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．

9．我国预计于2022年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时

离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：

(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；

(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。

【答案】(1) (2)

【解析】

【详解】

(1)卫星在地球表面时，可知：

空间站做匀速圆周运动时：

其中

联立解得线速度为：

(2)设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1和T2，

则由开普勒第三定律有：

其中：，解得：

【点睛】

本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。

10．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

【答案】

【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

对同步卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

同步卫星与P点有相同的角速度，则有：

解得：则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为

【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．下载本文