1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：

的递增区间是，递减区间是；

的递增区间是，递减区间是，

的递增区间是，

3．函数

最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心：

的对称轴为，对称中心为；

的对称轴为，对称中心为；

对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

四．典例解析

题型1：三角函数的图象

例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（    ）

解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。

题型2：三角函数图象的变换

例2．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。

解析：y=sin（2x+）

另法答案：

（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；

（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；

（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。

例3．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（    ）

A．（1－y）sinx+2y－3=0               B．（y－1）sinx+2y－3=0

C．（y+1）sinx+2y+1=0                   D．－(y+1)sinx+2y+1=0

解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.

点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项。

题型3：三角函数图象的应用

例4．（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。

解析：根据图象得A=2，T=π－（－）=4π，∴ω=，∴y=2sin（+），

又由图象可得相位移为－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。

根据条件=2sin（），∴=2kπ+ (k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z），∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。

∴所有交点坐标为（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

题型4：三角函数的定义域、值域

例5．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；

（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；

分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。

解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。

∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。

（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。

点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。

题型5：三角函数的单调性

例6．求下列函数的单调区间：

（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。

分析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。

故由2kπ－≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，

递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。

（2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。

题型6：三角函数的奇偶性

例7．（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：

①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；

②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；

③存在，使f（x）是奇函数；

④对任意的，f（x）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。

答案：①，kπ（k∈Z）；或者①， +kπ（k∈Z）；或者④， +kπ（k∈Z）

解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。

题型7：三角函数的周期性

例8．设的周期，最大值，

（1）求、、的值；

（2）。

解析：(1)，，，

又的最大值。，   ①  ，且 ，由 ①、解出  a=2 ,   b=3.

(2)，，

，  ，  或  ，  即  (共线，故舍去) ，   或   ，   。

点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

题型8：三角函数的最值

例9．（2000京、皖春理，10）函数y＝的最大值是（    ）

A．－1            B．＋1           C．1－            D．－1－

解析：B； 下载本文