江苏省姜堰中学 张圣官（225500）

已知为两不等的正实数，我们称为的“对数平均数”．它与的“几何平均数”及“算术平均数”之间有如下不等关系：．

证明：不妨设．先证，即证，

 令，设，

 则，所以在递减，而，因此当时，恒成立，即成立．

 再证，即证，

 令，，

 则，所以在递增，而，因此当时，恒成立，即成立．

 该不等式本身的证明乃通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得．在处理某些与指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析．

   例1  已知函数．

（1）当时，求过点的曲线的切线方程；

（2）当存在两个不同零点时，求证：．

  分析：第（1）题易得切线方程为；第（2）题中我们先要探究：当存在两个不同零点时，需要具备什么条件，又能推得什么结论？转化为研究曲线和直线，当直线与曲线相切时，设切点为，则切线方程为，因此．这样当存在两个不同零点时，必有．进一步思考，要证明，可转化为证明，或等思路．

  方法一：即要证，令，由于，所以，为方程的两根．

由于，所以在递增，在递减．

 设，则，在递增，

 从而，当时，即，

 所以，因此，即原不等式成立．

 方法二：即要证，由于，

因而，

 令，则，

 在递增，在递减．

 设，其在递减，所以，

     所以，从而，

     由此得，即．

 本题是近年来流传甚广的一道题，其条件结论非常优美．以上两种方法散见于各种资料上，它们的特点均是通过构造辅助函数来帮助论证的．总的来说，解题过程较为繁琐，而且要经过两次构造函数才行．现在让我们换一种思路，将指数关系转化为对数关系，这样刚才的对数平均数不等式或许就能够帮得上忙．以下解法令人拍案叫绝，真的是“大道至简”！

    方法三：由于，

因而，

由对数平均数不等式知，，

 从而，即．

    例2（2010年天津高考理科21题）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数y=的图象与函数y=的图象关于直线对称，证明：当时，；

（Ⅲ）如果，且，证明：．

  分析：（Ⅰ）、（Ⅱ）略．（Ⅲ）由前知，是函数的极值点，不妨设，则根据，有，即 ，按照常规思路，一般设，则，然后通过构造函数来解决．但如此需要两次构造函数过程繁琐，而且还要用到像罗必塔法则这样高等数学的知识．还是让我们调整一下思路，利用对数平均数不等式试试看．

将两边取自然对数得，，故，

由对数平均数不等式知，，即．

    例3 (2014年江苏省南通二模试题)设函数，其图像与轴交于两点，且．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：．

解：（Ⅰ）由，当时，单调递增，不合题意；当时在递减，在递增，则根据条件有两个零点得，从而实数的取值范围为．

（Ⅱ）由，两式相减得，从而，

 在以上的对数平均数不等式中，将分别赋值为，则得

 ，即，

又是单调增函数，且，故．

例4（2011年辽宁高考理科压轴题）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，证明：当时 ，；

（3）若函数的图象与轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：．

分析：（1）、（2）略；（3）由（1）知时在单调递减且．已知函数的图象与轴交于A、B两点，设，由得，，，故，所以．

故要证，即证，即证，也即只需证．由对数平均数不等式，命题得证．下载本文