一、方法技巧

特殊值法

（一）定义

又叫特值法，即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．

这个特殊值必须满足无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；

（二）使用条件

有些选择题或填空题，用常规方法求解比较困难，若根据已知或答案所提供信息，选择某些特殊值进行分析或计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往比较简单．

（三）专题目标

通过训练，能迅速作出判断并能用特殊值法解决问题．

（四）解题思路

1．一定要按照题目所给的具体条件取值

2．所取的数值一般最大不超过，最小不超过这样的整数，例如、、最常用

3．将所取的特殊值代入题干直接判断或逐一代入题支判断即可得出正确答案

（四）应用类型

类型一  已知中具体数量关系较少的问题

类型二  化简与求值的问题

类型三  恒等式问题

类型四  解以“不论为何值时”为条件的问题

类型五  验证结论的正确性的问题

类型六  比较大小的问题

类型七  几何问题

二、应用举例

类型一  已知中具体数量关系较少的问题

【例题1】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水．先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶．请问此时甲桶内糖水多还是乙桶内的牛奶多？

A．甲桶多       B．乙桶多      C．一样多     D．无法判断

【答案】C

【解析】

题干全部为文字叙述，没有具体数据，可采用特值法．

解：令甲桶牛奶量=乙桶牛奶量=，空杯子体积为，

第一次取一杯牛奶即将甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合，

此时乙桶内牛奶和糖水的比例为：，乙桶有，甲桶， 

又从乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此时甲桶溶液量=乙桶溶液量=，且牛奶和糖水各占一半．即甲桶内糖水=乙桶内糖水．故选C．

【难度】一般

类型二  化简与求值的问题

【例题2】已知、满足，则          ．

A．       B．       C．     D． 

【答案】B

【解析】

满足题干条件的、的数据很多，但结果是唯一的，所以可以对、特殊化，令，则，故选择B．

【难度】一般

类型三  恒等式问题

【例题3】若实数、、满足，则下列式子一定成立的是（   ）

A．        B．  

C．       D． 

【答案】D

【解析】

本题三个未知数，一个方程，如果不用特值法很难解答．

取特殊值：，，，满足，

A．,

B． 

C． 

D． 

故选择D．

【难度】一般

类型四  解以“不论为何值时”为条件的问题

【例题4】不论参数取什么值，直线总通过一个定点，这个定点坐标为（ ）

A．  B．    C．  D． 

【答案】C

【解析】

由条件“不论参数取什么值”，可知的取值不影响直线通过定点，故简单的方法是将选项直接代入来验证．

将选项代入直线，可以看出只有C选项代入时恒等成立，故选C．

【难度】容易

类型五  验证结论的正确性的问题

【例题5】已知有理数、满足，则下列式子正确的是（ ）

A．      B．     C．      D． 

【答案】C

【解析】

由有理数、满足，

取，那么

A：，成立，B：，成立，C： ，成立，D：，不成立，故排除D．

取，，那么

A：，不成立，B：，不成立，C： ，成立，故选C．

点评：特殊值法将抽象的字母换成形象的数字，使解题更为方便．

【难度】一般

类型六  比较大小的问题

【例题6】当，与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【解析】

因为，取，则，因，故，故选B．

【难度】较易

类型七  几何问题

【例题7】 如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接、，则的面积为          ．

【答案】  

【解析】

因为为轴上任意一点且为轴上任意一点，本题为填空题，故选择特殊值法比较适合．

解：令，，则，，

    即， 

    ∴

【难度】较易

三、实战演练

类型一  已知中具体数量关系较少的问题

1．一个圆柱的半径比原来的圆柱的半径多倍，高是原来的，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（ ）

A．一样多   B．倍  C．倍   D．倍

【答案】D

【解析】

此题若不用特殊值法解答，势必要去寻找两者的数量关系，而这个数量关系还要靠字母来体现，若用特殊值法，数量关系明了，能轻松顺利的解答．

解：令原来的圆柱半径是,高是，则体积是

新圆柱半径是,高是，则体积是

则这个圆柱的体积是原来的倍，故选D．

【难度】一般

2．老王前几年投资的一套艺术品市价上涨了，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价的交易费后，发现与买进时相比赚了万元．问老王买进该艺术品花了多少元？

A．      B．     C．    D． 

【答案】D

【解析】

本题是选择题，已知的数量关系是百分数，因此把购入价格看作比较快捷、准确的解答此题．

解：令该艺术品两年前价格为

则现在市价为

八折售价为

交易费用为

实际售价为

利润为

因实际赚了万元，则，故购买价格为万元．选择D．

点评:本题若列方程，可设买进价格为万元，则，求解容易出错，这样题型特值法较好．

【难度】一般

3．若有一个因式为，求的值．

【答案】

【解析】

根据大纲要求这部分知识难度已降低，因此不采用特殊值法将无从下手．因式已定，故已定，故不变的，适合使用特值法．

令，把代入可求得

【难度】较难

类型二  化简与求值问题

4．如果，则的值是（ ）

A．  B． C． D．不确定

【答案】C

【解析】

试题分析：

本题已知条件只给了，因此令，即可迅速得出答案

试题解析：

解：（方法一）令，则

（方法二）∵

   ∴

点评：显然特值法对这样条件较少，但题目很繁冗复杂的问题很快捷．

【难度】较难

5．已知，则的值为________

【答案】

【解析】

因为，所以令，原式，即值为

点评：由于选择题、填空题不需要写出解题的过程，只要求出正确答案即可，解答选择题，填空题时运用特殊值法能提高解题的速度和准确性．

【难度】较易

6．若，则

A． ． ． ． 

【答案】B

【解析】

本题若用常规的方法应根据，先讨论的正负，进而讨论的正负，最后得出最终答案，相比较选择题中此题特值法比较好用．

解：（法一）∵，故，即

 ∴，则

（法二）由于，故令，则故选B．

【难度】一般

7．已知一次函数的图像不经过第三象限，则化简的结果是（ ）

A． B． C．   D． 

【答案】D

【解析】

我们不妨从已知，即一次函数的图像不经过第三象限这一条件入手，因为

的图像必经过这点，而经过这点的图像要想不经过第三象限，只有当，即，我们取代入即可得到答案．

解：∵一次函数的图像不经过第三象限

∴，即

∴取代入，

显然答案A、B错，

答案C为，由，故，故C错．

答案D为，由，故，故D正确．故选择D．

【难度】一般

类型三  恒等式问题

8．若，求的值

【答案】

【解析】

对于恒等式问题，当等式中的的字母取使等式有意义的任何一个特殊值时，等式都成立，根据恒等式这个性质，可以用特殊值法求恒等式中参数的值．

令时， 

令时， 

所以

【难度】较难

类型四  解以“不论为何值时”为条件的问题

9．求证：不论为何值时，一次函数的图像恒过一定点．

【答案】

证明：∵条件为不论为何值时，故可取特殊值

 令时， 

 令时， 

      把联立成方程组   解得： 

 当，时，成立

 所以不论为何值时，一次函数的图像恒过定点

【解析】

因为条件为“不论为何值时”，即定义范围内的所有数值都会使图象经过定点，故取两个数值即可确定这个定点．

证明：∵条件为不论为何值时，故可取特殊值

 令时， 

 令时， 

      把联立成方程组   解得： 

 当，时，成立

 所以不论为何值时，一次函数的图像恒过定点

点评：解决以“不论为何值时或为任意实数时”为条件的问题，可以取特殊值法，探求出定点，然后加以验证即可．

【难度】较难

10．若点在第一象限，则点

A．第．第．第．第四象限

【答案】B

【解析】

按题目要求取，即，则，故点为显而易见在第二象限．故选B．

【难度】容易

11．当时，点在第（ ）象限

A． 一 B． 二 C． 三  D． 四

【答案】D

【解析】

由于数学选择题的唯一性，因此取满足条件的特殊值，通过计算点的坐标为，在第四象限内，故选D．

【难度】较易

12．二次函数，若当取、时函数值相等，当取时函数值等于________．

【答案】

【解析】

本题在解答时需根据二次函数图像的特点，二次函数的对称轴为轴，则可得，从而得时，取代入中得

【难度】一般

类型五  验证结论的正确性问题

13．“如果两个三角形的三个内角与三条边六个元素中有五个元素分别相等，那么这两个三角形一定全等”，这个命题正确吗？说明理由．

【答案】不正确

【解析】

两个三角形的三边长分别取特殊值为、、或、、

因为，所以两个三角形相似，所以两个三角形三个内角分别相等，又有两条边分别相等，即五个元素相等，但这两个三角形不全等，所以这个命题是假命题．

点评：要想说明一个命题是假命题，只需举出一个符合条件但不符合结论的特殊值反例即可．

【难度】较易

14．如果、、是不全相等的实数，且，，

则下列结论正确的是（ ）

A．、、都不小于

B．、、都不大于

C．、、至少一个小于     

D．、、至少一个大于

【答案】D

【解析】

本题若不用特值法将无从下手，、、是不全相等的实数，可取范围较大，

故令，，则，，排除B、C．

故令，，则，，排除A．

故选D．

【难度】较难

15．如果方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）

A． ． ． ． 

【答案】B

【解析】

此题直接解比较困难，可采用特值法，由选项可知的取值将实数分为三部分，即、、，故可取三个特殊值来验证．

令，变形得，，有两个不相等的实数根

令，变形得，，有两个不相等的实数根

令，变形得，，没有实数根

故排除D，选择B．

【难度】较难

类型六  比较大小问题

16．若，且，则       ．若，且，则       ．

【答案】＜，＞

【解析】

因为，且，所以设，则，所以

因为，且，所以设，则，所以

点评：此题若不用特殊值法，就要考虑绝对值的性质，会显得繁琐，现在用特殊值法，会使表达更清晰直观．

【难度】一般

17．如图，数轴上的点、分别对应实数、，下列结论中正确的是（   ）

A．          B．          C．          D． 

【答案】C

【解析】

根据数轴确定出、的正负情况以及绝对值的大小，也可得到答案，使用特值法更快捷．

根据数轴，，，且，因此，令，，则

A．,应为，故本选项错误；

B．,应为，故本选项错误；

C．，故本选项正确；

D．,应为故本选项错误

故选C．

【难度】较易

类型七  几何问题  

18．正方形中，对角线的长为，点是上任意一点，则点到、的距离之和是_______________．

【答案】

【解析】

正方形中，点是上任意一点，故令与重合，则，， 

【难度】一般

19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点为线段上任意一点，过点作于点，延长至点使，作轴于点．则四边形的周长为          ．

【答案】

【解析】

由于点为线段上任意一点，故取特值的中点为点，周长可轻松得到．

解：根据题意知：点，，故，，

由于点为线段上任意一点，故取的中点为点，

由于，故

即，，

 因，故，

故四边形的周长

【难度】一般下载本文