一、基本知识梳理

1.算术平均值：如果a﹑b∈R+，那么                   叫做这两个正数的算术平均值.

2.几何平均值：如果a﹑b∈R+，那么                   叫做这两个正数的几何平均值

3.重要不等式：如果a﹑b∈R，那么a2+b2≥              (当且仅当a=b时，取“=”)

 均值定理：如果a﹑b∈R+，那么≥                (当且仅当a=b时，取“=”)

均值定理可叙述为：                                                              

4．变式变形：

5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。

注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值；

（3）各项或各因式都能取得相等的值。

6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。

二、常见题型：

1、分式函数求最值，如果可表示为的形式，且在定义域内恒正或恒负，则可运用均值不等式来求最值。

例：求函数的最小值。

解：

当即x=0时等号成立，

2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。

例：已知，求的最小值。

解法一：

思路二：由变形可得然后将变形。

    解法二：

可以验证：两种解法的等号成立的条件均为。

此类题型可扩展为：

设均为正数，且，求的最小值。

      ，等号成立的条件是。

3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x的取值范围，根据取值范围来进行逆向转换。

例：求函数的最小值。

思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间入手，可得一个不等式（当且仅当或时取等号），展开此式讨论即可。

   解：即

得

4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。

例：已知a,b,c均为，求证：。

证明：均为正数，，

总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。

【巩固练习】

1、若求函数最值。 答案：

2、求函数的值域。 答案：[-3，0]

3、已知正数满足求的最小值。答案：

4、已知为正数，且，求的最小值。答案：

5、若，求的最小值。答案：

6、设为整数，求证：。

三、利用不等式解题的典型例题解析：

题型一：利用均值不等式求最值（值域）

例1、（1）已知，求的最小值

（2）已知，求的最大值

变式1： 1、若，求的值域              

         2、函数的最大值为             

变式2：1、已知且，求的最小值

2、，求的最小值

3、当为正常数时，求的最小值

变式3：1、函数的图象恒过定点，若点A在直线上，其中，则的最小值为               

         2、求的最小值为                   

3、已知的最小值为            

变式4：1、已知都是正实数，且

（1）求的最小值

（2）求的最小值

题型二：利用均值不等式证明不等式

例2、已知，求证：

（1）

（2）

（3）

变式5：1、已知且不全相等，求证：

        2、已知，且，求证：

        3、已知，求证：下载本文