问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？

力做的功：W = |F| |s|cos ， 是F与s的夹角

问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算

一、两个非零向量夹角的概念

已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角

说明：

（1）当θ＝０时，与同向；

（2）当θ＝π时，与反向；

（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0 ≤ ≤180 

C

二、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos 叫与的数量积，记作 ，即有  = ||||cos ，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0

注意：

1.两向量必须同起点；

2. 的取值范围；

3.数量积的定义公式形式；

4.注意特殊向量零向量

结论：两个向量的数量积的性质：

设、为两个非零向量，是与同向的单位向量

1、  =   =||cos 

2、     = 0

3、   = ||2或

4、cos  =

5、| | ≤ ||||

问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率

问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？

如何验证。

结论：向量数量积满足的运算率：

；

；

练习1、 已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·

练习2、判断正误，并简要说明理由（若易混淆可调整顺序）

1·＝；②0·＝０；③－＝；④｜·｜＝｜｜｜｜；⑤若≠，则对任一非零有·≠０；⑥·＝０，则与中至少有一个为；⑦对任意向量，，都有（·）＝（·）；⑧与是两个单位向量，则

例2、求证：

（1）.;

(2).；

(3).

例3、ABC为等腰直角三角形，且斜边AC=，求的值

练习：P109 练习A（分组做）

2.平面向量的数量积的运算性质（注意结合率和消去率不成立）

3.对于平面向量的几种运算进行比较总结

2、P111 练习A---1、2、3

        练习B---2

向量数量积的定义及性质、运算率

  那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？

结论：已知两个非零向量，

则

从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）

向量的长度、距离和夹角公式

（1）设，则或(长度公式)

（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(距离公式)

(3) cos  =（）(夹角公式)

向量垂直的充要条件

设，，

则    

向量在轴上的正射影：

作图

定义：||cos 叫做向量在所在轴上的正射影

正射影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时正射影为正值；当 为钝角时正射影为负值；当 为直角时正射影为0；当  = 0 时正射影为||；当  = 180 时正射影为 ||

挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）

练习：P108  例1

注意：射影是可正可负可为零的

例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.

练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证

例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求的正弦值

练习.已知=(3,4)，求：（1）的单位向量；

（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量

 2.几种特殊情况的讨论（注意事项）

教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？

让大多数学生知道还有某些注意事项

2、总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）

3、P115练习B---2（1）（2）、3

        练习A---1（1）（2）

        习题A---2

        习题B---4